二千四百二十五较前代为密至前明西法渐入中土历数之学始称美备自汉时西人多禄亩以迄明第谷则立为本天高卑本轮均论诸说用三角推算其术尤精乃定岁实为三百六十五日又千万分日之二百四十二万一千八百七十五较之郭守敬又减万分之三有奇 国朝西人刻白尔噶西呢等更相推考又以本天为椭圆均分其面积为平行度又月离古历皆谓月每日行十三度又十九分度之七东汉贾逵始言月行有迟疾至刘洪列为差率元郭守敬定为转分进退时各不同犹今之有初均也迨今西法益明始知太阴共有十种行度皆因日行盈缩及本天高卑两弦朔望而生均与旧法迥殊惟因古时历年既浅所差甚微非一时所能灼见迨岁月迁流积微成着然后共见而差法立焉此非前人之智不若后人也盖前人不能预见后来之差而后人则能考前代之度分也故世愈以降历愈以明其势则然此历法所以古疏而今密者良有由也考泰西历学起于罗马国罗马历自奴马至该撒儒略一年为十二月乃祭司与大吏任意改定后该撒儒略征请亚力山太天算家锁西日呢定历始创三百六十五日及三百六十六日二假岁实之法以三百六十六日为闰日之年每四年一闰与郭守敬第谷等所定之岁实略近乃于耶稣降生前四十五年正月初一日为始改用新历按史记当在汉宣元之间是时历法尚乱故史称其年为乱年嗣后儒略之令未行而死死后祭司不明历以本年为第一闰年至第四年又为闰年如是每三年中一闰历三十六年法当闰九日而误闰十二日该撒亚古士督觉其误下令十二年不置闰日乃合儒略之本意后不复改至小余积久自生差遂为格勒固里改之当汉儒子婴初始元年新莽建国四年及天凤三年等俱为闰日之年历家咸依此上推迄唐时始有九执历元季始有回回历统回部各国犹太等历言之也欧罗巴人又从回历加精近世噶西呢等踵起阐微发奥推测尤详当时西法并宗之然而术分疏密今古殊途理至精微中西一辙我 国家推恩中外一视同仁遂聘西人襄理历法此 历象考成等书所由来也
然于历算诸学皆殚极精微惟中国向以闰月定四时成岁其故因地球历三百六十五日五小时三刻三分四十五秒而绕日一周月约二十九日十二小时二刻十四分二秒而追绕地球一周地绕日一周而月绕地十二次有十日有奇故三年一闰五年再闰十有九年而七闰始合其期惟二十四节气古时皆平分岁实故谓恒气今以日行盈缩而定其损益谓之定气而节气一周与岁实仍同焉西国以太阳躔恒星十二宫分岁实为十二分彼既不以月圆为例故无正月二月等名目俗称外国正月二月者乃华人称之则然尔在西国历家固无所谓月也然其十二月之日数亦各不同以黄道上有高卑差而日躔即因之有加减也如磨碣宫日躔最卑行速故二十八日而行一宫若巨蟹宫日躔最高行迟故三十一日而行一宫总以三百六十五日为一年较诸岁实尚欠五小时有奇故每四年闰一日又因四倍五小时有奇尚不足一日之数故又历一百二十八年而少闰一日法应闰三十二日者则闰三十一日始合其期夫闰日乃以太阳行度纪年闰月则以太阴行度作岁虽月分闰法各有不同而岁序纪纲则无少差异此谓之不约而合者也中国以正月朔为岁首梅勿庵谓西国以日躔斗四度为正月朔或云西国以地球当最卑为过年之期二者所差尚微因最卑东行每岁约六十二秒恒星东行每岁约五十一秒仅差十一秒须积至三百二十七年有奇始差一度推今岁冬至最卑点距冬至点后十度五十八分四十一秒自注此论系光绪丙戌年作冬至后二十日内日行最速每日约一度有零故冬至越十日而为西国过年之期即中国十二月初八日也西人恒以过年前八日为耶稣诞辰即太阳躔第十二宫第二十五日故耶稣诞辰在中国冬至后三日也虽然中西两历不同而实同然而同之中又有不同焉耶稣诞辰后冬至三日者在近今六十年中则然尔推原厥故并非关乎理法之疏密而由于立法之各异天象之变迁惟西国总以地球当最卑为过年之期最卑又每岁东行约六十二秒约历六十年而差一度故六百年之间而最卑距冬至已差至十度矣若以日躔斗四度为过年之期大略相同如今年最卑后距冬至十度零越六百年而当变为距二十度零则西国过年之期亦将在中国冬至后二十日而耶稣诞辰即因之变为后十三日矣大凡六十年中亦有一二日参差今岁交冬至节在十一月二十七日卯初故为后三日设于二十六日亥时交冬至则变为后四日矣惟查康熙戊辰年瞻礼单耶稣诞辰则在冬至后四日似以日躔斗四度为过年之期也考最卑与冬至同度当在宋理宗时自宋以上又差而前故上溯汉哀帝庚申年最卑以前距冬至约二十二度十六分所以耶稣降生之辰当在哀帝庚申年十月即冬至前二十七或二十八日为小雪后二三日也一千九百年之间已差至三十一日此所谓同之中更有不同者也愚准最卑东行之理推之自今以往约历一万零一百四十年之久则地球绕日之轨道最卑最高将易位置是最卑点当夏至点而西国过年之日在中华夏至之期即耶稣诞辰在中国夏至前七日矣当是时北半地球夏生酷暑冬有严寒愈近北极而其苦愈甚盖最卑最高所受日光之比若十六与十五比地土皆环绕北冰海披离下垂故南半球多水北半球多陆水可回光故难受亦难散陆能传热故易受而易散夏至北极朝日日光直射北半球惟地球适当最高则相宜乃彼时适当最卑其积热应得百度者增而为一百零七度冬至南极朝日日光斜照北半球若地球当最卑则尚宜乃彼时适当最高其余热应有二十度者减而为十八度虽略能以行度之盈缩而迭相消长然曷若今日消长之自然也或曰寒暑表上升降数度在人似不大觉何苦之有曰伏暑增两三度不能隆冬减两三度不能不见夫赤日当空火伞方张之候竟有多挂一丝而不能者此何故欤又不见云愁水结灯寒榻冷之间直有欲把刀剪而难堪者此又何故欤夏至时且将增七度之热而人有不唤苦者乎自此更历万余年而仍复今日此又天运之循环而中西岁月之大不同者至于最卑最高之根源及最卑之运行弗替则其故甚微一时不可思议虽欧洲楚精天文家亦莫明其妙惟大约其故必在恒星焉
更定测北极出地简法
胡惟德
西人颜家乐测北极出地简法见赤水遗珍畴人传亦载之其法先于其处测一恒星自出地平至正午所历之时及其高度以时变赤道度以其大矢为一率正矢为二率高度正弦为三率得四率为正弦查表得度内减去星距天顶度余与九十度相加折半转减九十度得北极出地度但此法必北极出地不满半象限星过子午圈在天顶南赤道北而后可否则不合李氏壬叔以其非通法也而改之见所着天算或问其法视星在赤道南北不同而大矢正矢异其乘除视星之高弧或深弧南北不同而两弧异其加减法虽略备转失之繁故颜氏法简而不备李氏法备而不简学者卒难领悟今变通两家缀为公法诸题均可一以贯之并补图演草于后推步之家庶有取焉光绪十二年丙戌夏六月丁澣识于沪滨格致堂
法曰于一处任测一恒星自出地平至子午圈所历之时及在子午圈之高弧乃以时化度以其本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦为三率得四率为正弦检表得度为星之深弧与高弧相加以减半周折半得北极出地度自地平圈南至星出地最高点为高弧自地平圈北至星入地最深点为深弧两弧如有过象限者仍用本角度不用外角度
图略
如图午癸丙丁有依子午圈剖成平圆面乙丁为地平癸为北极癸乙为北极出地午为赤道交子午圈点甲为星甲丙为星道径甲丁为高弧甲壬为其正弦乙丙为深弧庚丙为其正弦甲辛为星道度本角正矢辛丙为星道度外角正矢星一昼夜而一周故以时化度即星道度甲辛壬与辛庚丙两句股形为同式故星道度本角正矢即甲辛弦与星道度外角正矢即辛丙弦比若高弧正弦即甲壬股与深弧正弦比即庚丙股此比例而得深弧正弦之理也甲癸与癸丙两弧相等并为深弧加北极出地之度以甲丁高弧减乙己丁半周余甲乙弧为北极出地倍度又加深弧之度故井高弧深弧以减半周折半即北极出地度此加减而得北极出地之理也何以知星道度本角正矢为甲辛外角正矢为辛丙也如甲卯丙未为依星道剖成平圆面甲丙为星道径丑甲为星出地平至子午圈所过之度甲心丑为本角其正矢为甲辛丑心丙为外角其正矢为辛丙也
于一处测得一恒星自出地平至子午圈历二十六刻二分高弧六十三度求北极出地草曰以星出地平至子午圈时刻化度得九十八度其本角正矢为一一三九一七三外角正矢为八六八二七乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦八九一六五为三率求得四率六七三二九八为深弧正弦检表得四十二度十九分与高弧相加得一百零五度十九分以减半周得七十四度四十一分折半得三十七度二十分三十秒即北极出地度
对数草曰九十八度本角正矢对数为一五六五八九七一外角正矢对数为九九三四九一五八三乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九九四九八八八八为三率求得四率九八二八二七为深弧正弦对数检表得四十二度十九分如前法加减得北极出地
于一处测得一恒星自出地平至子午圈历十四刻十二分高弧七度求北极出地
草曰以星出地平至子午圈时刻化度得五十五度三十分其本角正矢为四三三五九三八外角正矢为一五六六四六二乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦一二一八六九三为三率求得四率四四二六六五为深弧正弦检表得一百五十三度五十三分与高弧相加得一百六十度五十三分以减半周得十九度七分折半得九度三十三分三十秒即北极出地度
对数草曰五十五度三十分本角正矢对数为九六三七八三一外角正矢对数为一一九四九四三九乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九八五八九四四七为三率求得四率九六四三七一五八五为深弧正弦对数检表得一百五十三度五十三分如前法加减得北极出地
于一处测得一恒星自出地平至子午圈历四十二刻二分高弧一百二十一度求北极出地
草曰以星出地平至子午圈时刻化度得一百五十八度其本角正矢为一九二七一八三九外角正矢为七二八一六一乃以本角正矢为一率外角正矢为二率高弧正弦八五七一六七三为三率求得四率三二三八六九三为深弧正弦检表得一度五十一分与高弧相加得一百二十二度五十一分以减半周得五十七度九分折半得二十八度三十四分三十秒即北极出地度
对数草曰一百五十八度本角正矢对数为一二八四九二三一五外角正矢对数为八八六二二二七六七乃以本角正矢对数为一率外角正矢对数为二率高弧正弦对数九九三三六五五九为三率求得四率八五一三七一一为深弧正弦对数检表得一度五十一分如前法加减得北极出地
附真数对数求正矢法
真数求正矢以余弦减半径即得如弧之过象限者其余弦为负故以加为减
对数求正矢无论过象限与否以半弧正弦对数倍之加二之对数三一二九九九减半径对数一即得盖首率半径中率通弦即半弧倍正弦得末率为倍正矢故通弦自乘半之半径除之为正矢而通弦自乘半之即半弧正弦自乘又二乘之也今对数倍之为自乘加为乘减为除故半弧正弦对数倍之加二之对数减半径对数即正矢对数也
近代畴人着述记
华世芳
畴人传自罗茗香续后未有再续者近时算家着述序跋足继前贤而开后学者颇不乏人顾或僻处偏隅遗书未显或英年多故着作未成亦往往而有欲搜访而续辑之诚未易言矣然而覃精数理者名山之绝业也多方蒐录者尚友之苦心也不揣檮昧勉效管窥意在网罗有伤繁冗谨分条诠次如左
仪征阮文达公元尝以虞推小雅十月之交在幽王六年因用时宪术士推幽王六年十月朔正得入交督漕运时立粮艘盘粮尺算法颁行各省又尝溯古今沿革之原究中西异同之致掇拾史书荟萃籍创为畴人传自黄帝以降甄而录之得二百八十人综算氏之大成纪步天之正轨至今游艺之士奉为南鍼
甘泉罗茗香士琳少时所着有比例汇通四卷摘九章中切于日用者汇为比例十二种意主发明西法后益专精于天元四元之术着观我生室汇稿已刻者凡九种曰句股容三事拾遗本博绘亭之法取句股中旧有之容方边容圆径益以西法之容中垂交互相求一以天元御之曰三角和较算例取斜平三角中两边夹一角术熔入立天元一法用和较推演成式曰四元玉监细草以朱松庭原书秘奥难读殚精一纪步为全草补漏订讹申明疑义曰演元九式括玉监中进退升降消长诸例借无数之数入以正负开方式曰台锥积演以玉监中有茭草形段果积垒藏二门足补少广之缺爰取台锥形引而申之曰周无专鼎铭考以四分周术为主佐以三统汉术推得宣王十六年九月既望甲戌与铭词合曰续畴人传以阮传历年已久有应续增入者因复增补得六卷曰弧矢算术补以李四香弧矢算术其术未备爰增二十七术合成四十术曰增广新术推广正升斜升横升之算法以求太阴随地随时之明魄方向
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