上有两角相连是相等者定俱直角中间线为垂线
反用之若是直角则两线定俱是垂线
第十一界
凡角大于直角为钝角
如甲乙丙角与甲乙丁角不等而甲乙丙大于甲乙丁则甲乙丙为钝角
第十二界
凡角小于直角为锐角
如前图甲乙丁是
通上三界论之直角一而己钝角锐角其大小不等乃至无数
是后凡指言角者俱用三字为识其第二字即所指角也 如前图甲乙丙三字第二乙字即所指钝角若言甲乙丁即第二乙字是所指锐角
第十三界
界者一物之终始
今所论有三界防为线之界线为靣之界靣为体之界体不可为界
第十四界
或在一界或在多界之间为形
一界之形如平圆立圆等物多界之形如平方立方及平立三角六八角等物 图见后卷
第十五界
圜者一形于平地居一界之间自界至中心作直线俱等
若甲乙丙为圜丁为中心则自甲至丁与乙至丁丙至丁其线俱等
外圆线为圜之界内形为圜
一说圜是一形乃一线屈转一周复于元处所作如上图甲丁线转至乙丁乙丁转至丙丁丙丁又至甲丁复元处其中形即成圜
第十六界
圜之中处为圜心
第十七界
自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜两平分
甲丁乙戊圜自甲至乙过丙心作一直线为圜径
第十八界
径线与半圜之界所作形为半圜
第十九界
在直线界中之形为直线形
第二十界
在三直线界中之形为三邉形
第二十一界
在四直线界中之形为四邉形
第二十二界
在多直线界中之形为多边形【五邉以上俱是】
第二十三界
三边形三边线等为平边三角形
第二十四界
三边形有两边线等为两边等三角形【或锐或钝】
第二十五界
三边形三边线俱不等为三不等三角形
第二十六界
三边形有一直角为三边直角形
第二十七界
三边形有一钝角为三边钝角形
第二十八界
三邉形有三锐角为三邉各锐角形
凡三边形恒以在下者为底在上二边为腰
第二十九界
四边形四边线等而角直为直角方形
第三十界
直角形其角俱是直角其边两两相等
如上甲乙丙丁形甲乙边与丙丁边自相等甲丙与乙丁自相等
第三十一界
斜方形四边等俱非直角
第三十二界
长斜方形其边两两相等俱非直角
第三十三界
以上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形
第三十四界
两直线于同靣行至无穷不相离亦不相逺而不得相遇为平行线
第三十五界
一形每两边有平行线为平行线方形
第三十六界
凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为余方形
甲乙丁丙方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊己线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊己庚辛两线
交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬己丙及戊壬辛乙两方形谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形
求作四则
求作者不得言不可作
第一求
自此防至彼防求作一直线
此求亦出上篇葢自此防直行至彼防即是直线
自甲至乙或至丙至丁俱可作直线
第二求
一有界直线求从彼界直行引长之
如甲乙线从乙引至丙或引至丁俱一直行
第三求
不论大小以防爲心求作一圜
第四求
设一度于此求作彼度较此度或大或小【凡言度者或线或面或体皆是】或言较小作大可作较大作小不可作何者小之至极数穷尽故也此说非是凡度与数不同数者可以长不可以短长数无穷短数有限如百数减半成五十减之又减至一而止一以下不可损矣自百以上增之可至无穷故曰可长不可短也度者可以长亦可以短长者增之可至无穷短者减之亦复无尽尝见庄子称一尺之棰日取其半万世不竭亦此理也何者自有而分不免爲有若减之可尽是有化爲无也有化爲无犹可言也令巳分者更复合之合之又合仍爲尺棰是始合之初两无能并爲一有也两无能并爲一有不可言也公论十九则
公论者不可疑
第一论
设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等
第二论
有多度等若所加之度等则合并之度亦等
第三论
有多度等若所减之度等则所存之度亦等
第四论
有多度不等若所加之度等则合并之度不等
第五论
有多度不等若所减之度等则所存之度不等
第六论
有多度俱倍于此度则彼多度俱等
第七论
有多度俱半于此度则彼多度亦等
第八论
有二度自相合则二度必等【以一度加一度之上】
第九论
全大于其分【如一尺大于一寸寸者全尺中十分中之一分也】
第十论
直角俱相等【见界说十】
第十一论
有二横直线或正或偏任加一纵线若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇甲乙丙丁二横直线任意作一戊己纵线或正或偏若戊己线同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁线愈长
愈相近必有相遇之处
欲明此理宜察平行线不得相遇者【界说卅四】加一垂线即三线之间定为直角便知此论两角小于直角者其行不得不相遇矣
第十二论
两直线不能为有界之形
第十三论
两直线止能于一防相遇
如云线长界近相交不止一防试于丙乙二界各出直线交于丁假令其交不止一防当引至甲则甲丁乙宜为甲丙乙圜之径而甲丁
丙亦如之【界说十七】夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦右半也【界说十七】甲丁乙为全甲丁丙为其分而俱称右半是全与其分等也【本篇九】
第十四论
有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等
甲乙丙丁线等于甲乙加乙戊于丙丁加丁己则甲戊大于丙己者庚戊线也而乙戊大
于丁己亦如之
第十五论
有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与元所赢之度等
如上图反说之戊乙己丁线不等于戊乙加乙甲于己丁加丁丙则戊甲大于己丙者戊庚线也而戊乙大于己丁亦如之
第十六论
有几何度等若所减之度不等则余度所赢之度与减去所赢之度等
甲乙丙丁线等于甲乙减戊乙于丙丁减己丁则乙戊大于丁己者庚戊也而丙己大于甲戊亦如之
第十七论
有几何度不等若所减之度等则余度所赢之度与元所赢之度等
如十四论反说之甲戊丙己线不等于甲戊减甲乙于丙己减丙丁则乙戊长于丁己者亦庚戊也与甲戊长于丙己者等矣
第十八论
全与诸分之并等
第十九论
有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较【相减之余曰较】
如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七
几何原本卷一之首
钦定四库全书
几何原本卷一
西洋利玛窦撰
第一题
于有界直线上求立平边三角形
法曰甲乙直线上求立平边三角形先以甲为心乙为界作丙乙丁圜次以乙为心甲为界作丙甲丁圜两圜相交于丙于丁末自甲
至丙丙至乙各作直线即甲乙丙为平边三角形论曰以甲为心至圜之界其甲乙线与甲丙甲丁线等以乙为心则乙甲线与乙丙乙丁线亦等何者凡为圜自心至界各线俱等故【界説十五】既乙丙等于乙甲而甲丙亦等于甲乙即甲丙亦等于乙丙【公论一】三边等如所求【凡论有二种此以是为论者正论也下仿此】
其用法不必作两圜但以甲为心乙为界作近丙一短界线乙为心甲为界亦如之
两短界线交处即得丙
诸三角形俱推前用法作之【详本篇卄二】
第二题
一直线线或内或外有一防求以防为界作直线与元线等
法曰有甲防及乙丙线求以甲为界作一线与乙丙等先以丙为心乙为界【乙为心丙为界亦可作】作丙乙圜【第三求】次观甲防若在丙乙之外则自甲至丙作甲丙线【第一求】如上前图或甲在丙乙之内则截取甲至丙一分线如上后图两法俱以甲丙线为底任于
上下作甲丁丙平边三角形【本篇一】次自三角形两腰线引长之【第二求】其丁丙引至丙乙圜界而止为丙戊线其丁甲引之出丙乙圜外稍长为甲己线末以丁为心戊为界作丁戊圜其甲己线与丁戊圜相交于庚即甲庚线与乙丙线等
论曰丁戊丁庚线同以丁为心戊庚为界故等【界説十五】于丁戊线减丁丙丁庚线减丁甲其所减两腰线等则所存亦等【公论三】夫丙戊与丙乙同以丙为心戊乙为界亦等【界説十五】即甲庚与丙乙等【公论一】
若所设甲防即在丙乙线之一界其法尤易假如防在丙即以丙为心作乙戊圜从丙至戊即所求第三题
两直线一长一短求于长线减去短线之度
法曰甲短线乙丙长线求于乙丙减甲先以甲为度从乙引至别界作乙丁线【本篇二】次以乙为心丁为界作圜【第三求】圜界与乙丙交于
戊即乙戊与等甲之乙丁等葢乙丁乙戊同心同圜故【界説十五】
第四题
两三角形若相当之两腰线各等各两腰线间之角等则两底线必等而两形亦等其余各两角相当者俱等
解曰甲乙丙丁戊己两三角形之甲与丁两角等甲丙与丁己两线甲乙与丁戊两线各等题言乙丙与戊己两底线必等而两三角形亦等甲乙丙与丁戊己两角甲丙乙与丁己戊两角俱等
论曰如云乙丙与戊己不等即令将甲角置
丁角之上两角必相合无大小甲丙与丁己甲乙与丁戊亦必相合无大小【公论八】此二俱等而云乙丙与戊己不等必乙丙底或在戊己之上为庚或在其下为辛矣戊己既为直线而戊庚己又为直线则两线当别作一形是两线能相合为形也辛仿此【公论十二 此以非为论者驳论也下仿此】
第五题
三角形若两腰等则底线两端之两角等而两腰引出之其底之外两角亦等
解曰甲乙丙三角形其甲丙与甲乙两腰等题言甲丙乙与甲乙丙两角等又自甲丙线任引至戊甲乙线任引至丁
其乙丙戊与丙乙丁两外角亦等
论曰试如甲戊线稍长即从甲戊截取一分与甲丁等为甲己【本篇三】次自丙至丁乙至己各作直线【第一求】即甲己乙甲丁丙两三角形必等何者此两形之甲角同甲己与甲丁两腰又等甲乙与甲丙两腰又等则其底丙丁与乙己必等而底线两端相当之各两角亦等矣【本篇四】又乙丙己与丙乙丁两三角形亦等何者此两形之丙丁乙与乙己丙两角既等【本论】而甲己甲丁两腰
各减相等之甲丙甲乙线即所存丙己乙丁两腰又等【公论三】丙丁与乙己两底又等【本论】又乙丙同腰即乙丙丁与丙乙己两角亦等也则丙之外乙丙己角与乙之外丙乙丁角必等矣【本篇四】次观甲乙己与甲丙丁两角既等于甲乙己减丙乙己角甲丙丁减乙丙丁角则所存甲丙乙与甲乙丙两角必等【公论三】
増从前形知三边等形其三角俱等
第六题
三角形若底线两端之两角等则两腰亦等
解曰甲乙丙三角形其甲乙丙与甲丙乙两角等题言甲乙与甲丙两腰亦等
论曰如云两腰线不等而一长一短试辩之若甲乙为长线即令比甲丙线截去所长之度为乙丁线而乙丁与甲丙等【本篇三】次自丁至丙作直线则本形成两三角形其一为甲乙丙其一为丁乙丙而甲乙丙全形与丁乙丙分形同也是全与其分等也【公论九】何者彼言丁乙丙分形之乙丁与甲乙丙全形之甲丙两线既等丁乙丙分形之乙丙与甲乙丙全形之乙丙又同线而元设丁乙丙与甲丙乙两角等则丁乙丙与甲乙丙两形亦等也【本篇四】
是全与其分等也故底线两端之两角等者两腰必等也
第七题
一线为底出两腰线其相遇止有一防不得别有腰线与元腰线等而于此
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