除本积得二借根 一二借根半之得三借根 以三借根除本积得四借根 三四借根半之得五借根 以五借根除本积得六借根 下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止
此术奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根
算例
假如平积九十九求方根
大初商一□?○为一借根 一借根除本积得□?九九为二借根 一二借根半之得□?九九五为三借根 三借根除本积得□?九九四九七四为四借根 三四借根半之得□?九九四九八七此已消尽六位故六位下弃之也为五借根即方根
开诸乘方捷术一
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根 下皆如是求至借根渐大与方根密合而止或置外根降一乘积本乘乘数加一乘之为递次除法更捷
算例
假如平积五十求方根
以□?七一之平积五□?○四一为外积□?七一为外根求得一□?四二为递次除法 小初商□?七为一借根 一借积四□?九减本积余以除法除之得□?○七四以加一借根得□?七七四为二借根 二借积四□?九九九五五六减本积余以除法除之得□?○六六五以加二借根得□?七七一六五为三借根截去末二位得□?七七一即方根
开诸乘方捷术二
大初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根渐小与方根密合而止
算例
假如平积八八求方根
以□?三之平积□?九为外积□?三为外根求得□?六为递次除法 大初商□?三为一借根 一借积□?九内减本积余以除法除之得□?○三三三三三以减一借根余□?二九六六六为二借根 二借积□?八八七一五五内减本积余以除法除之得□?○一一九以减二借根余□?二九六六四八一为三借根截去末二位得□?二九六六四即方根
开诸乘方捷术三
小初商为一借根 以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法 一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根以下逐数皆一加一减相间为三借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与方根密合而止
算例
假如平积五十求方根
以□?七之平积四□?九为内积□?七为内根求得一□?四为递次除法 小初商□?七为一借根 一借积四九减本积余以除法除之得□?○七一四以加一借根得□?七七一四为二借根 二借积五□?○四六九七内减本积余以除法除之得□?○三三五以减二借根得□?七七一六为三借根截去末一位得□?七七一即方根
开诸乘方捷术四
大初商为一借根 以略小于本积之积为内积其根为内根以内积与内根加一之积相减又减一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根以下逐数皆一减一加相间 下皆如是求至借根大者渐小小者渐大与方根密合而止
算例
假如平积八八求方根
以□?二九之平积□?八四一为内积□?二九为内根求得□?五八为除法 大初商□?三为一借根 一借积□?九内减本积余以除法除之得□?○三四四八二七以减一借根余□?二九六五五为二借根 二借积□?八七九四一九减本积余以除法除之得□?○一一七二以加二借根得□?二九六六五为三借根 三借积□?八八一二二二内减本积余以除法除之得□?○二一以减三借根得□?二九六六四七为四借根截去末一位得□?二九六六四即方根
天元开诸乘方捷术一较数余积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积凡天元借根求借积法以借根乘隅加减长廉以借根乘之加减平廉又以借根乘之加减立廉又以借根乘之至加减方后又以借根乘之即借积也外根之于外积亦然减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数加二借根为三借根 下皆如是求至借根渐大与元数密合而止
算例
假如平方负积十六正方二正隅一求元数
以□?三二之积一□?六六四为外积□?三二为外根求得□?八四为递次除法 小初商□?三为一借根 一借积一五□?五减本积余以除法除之得□?○一一九以加一借根得□?三一一九为二借根 二借积一□?五九六六一六一减本积余以除法除之得□?○四二八以加二借根得□?三一二三为三借根 三借积一□?五九九九一二九减本积余以除法除之得□?○一三以加三借根得□?三一二三一三为四借根截去末三位得□?三一二三即元数
天元开诸乘方捷术二和数余积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又加一为递次除法 一借积减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根以后逐数皆一加一减相间 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求小元数
以□?一之积□?三为外积□?一为外根求得□?二为递次除法 小初商□?○九为一借根 一借积□?二七九减本积余以除法除之得□?○五五以加一借根得□?○九五五为二借根 二借积□?二九七九七五内减本积余以除法除之得□?○三九八七以减二借根余□?○九五一一为三借根 三借积□?二八九九六一九九减本积余以除法除之得□?○一九五以加三借根得□?○九五一二为四借根 四借积□?二九一八五六内减本积余以除法除之得□?○九二八以减四借根得□?○九五一一九为五借根截去末一位得□?○九五一一九即小元数
天元开诸乘方捷术三益积用此术
大初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根加一之积相减又减一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数减一借根为二借根 二借积内减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积一百六十八负方二十二正隅一求元数
以三□?○之积二四□?○为外积三□?○为外根求得三□?八为递次除法 大初商三□?○为一借根 一借积二四□?○内减本积余以除法除之得□?一八九四七三以减一借根余二□?八一五为二借根 二借积一七□?一五八一内减本积余以除法除之得□?○九四二三以减二借根余二□?八一为三借根 三借积一六□?八三四内减本积余以除法除 之得□?○八九四以减三借根余二□?八一为四借根 四借积一六□?八三内减本积余以除法除之得□?○七八九以减四借根余二□?八一为五借根弃零得二□?八即元数
天元开诸乘方捷术四翻积用此术
小初商为一借根 以略大于本积之积为外积其根为外根以外积与外根减一之积相减又加一为递次除法 一借积内减本积余以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求大元数
以□?三之积□?三为外积□?三为外根求得□?二为递次除法 小初商□?三为一借根 一借积□?三内减本积余以除法除之得□?○五以加一借根得□?三五为二借根 二借积□?二八九七五减本积余以除法除之得□?○一二五以减二借根得□?三四八七五为三借根 三借积□?二九一二三四三内减本积余以除法除之得□?○六一七一以加三借根得□?三四八八一一七一为四借根截去末三位得□?三四八八一为大元数
天元开诸乘方捷术五
如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法 乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求虽求至数十位亦非难事
算例
假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之
先用前除法□?八四增求一位得□?三一二三一仍为借根以借根演得借积一□?五九九九九五三六一减本积得余积□?○四六三九 乃用前得元数□?三一二三一又为外根如前求得除法□?八二四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得□?八二四六三为除法 除法除余积得□?○五六二五五五截去末二位以加前得元数得□?三一二三一五六二五为元数 如再欲增求则以现得十位元数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位元数之积减本积之余也得数又可消得九位矣
按正诸乘方亦可用右术
天元开诸乘方捷术六
方廉隅相减以除本积得一借根 一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根 二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止
算例
假如平方负积十八正方二十□?○九负隅一求小元数方隅相减得一□?九九以除本积得□?○九四五二为一借根 一借根步至方法得一□?九九九五四八以除本积得□?○九二为二借根 二借根步至方法得一□?九九九九八以除本积得□?○九九弃零得□?○九即小元数
凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣
若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后
又算例
假如立负方积一亿正方一亿十万一千负廉十万一千一正隅一求元数
方廉隅正负减得一亿以除本积得□?一即元数也
右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此
天元开诸乘方捷术七
以方为递次除法 除法除本积得一借根 一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同名相加异名相减以除法除之得二借根 二借根诸数加减本积以除法除之得三借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
右术亦方大者用之为便
算例
假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数
以方除本积得□?一九五一二为一借根 一借根??廾乘隅得□?三八七一八加本积以方除之得□?一九九七六为二借根 二借根??廾乘隅得□?三九九四加本积以方除之得□?一九九九八八为三借根收零进一得□?二为小元数
又算例
假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数
以方除本积得三三三三□?三为一借根 一借根立积乘隅得三十兆七三五九二五九加本积以方除之得三四五六□?七为二借根 二借根立积乘隅得四十兆一三三三三一加本积以方除之得三四七一□?○为三借根 三借根立积乘隅得四十兆一八一八五六一加本积以方除之得三四七二□?七为四借根 四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三一加本积以方除之得三四七二□?九为五借根即元数
又算例
假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数
以方除本积得五万为一借根 一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五□?○为二借根 二借根平积乘廉得一百兆九一四六二五以减本积二借根立积乘隅得八十兆三七四二三以加本积减余数以方除之得四四六一□?六为三借根 三借根平积乘廉得一百兆九九五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二四以加本积减余数以方除之得四四四八□?七为四借根 四借根平积乘廉得一百兆九七九九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八四三九一以加本积减余数以方除之得四四五□?六为五借根 五借根平积乘廉得一百兆九八七八四以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五□?三为六借根 六借根平积乘廉得一百兆九八五一七以减本积六借根立积乘隅得
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