交角之弧】未丙边减半周其余甲丙成寅角【甲辛及子丙皆象限各减辛丙则辛子即甲丙而为寅角之弧】酉丙边减半周其余乙丙成丑角【午丙及壬乙皆象限各减丙壬则壬午即乙丙而为丑角之弧】是三边尽易为角也【寅角丑角并原边减半周则原边即两外角弧与酉未成癸外角等】故三角减半周得次形三边算得次形三角减半周得原设三边
右三角俱钝形弧角相易为斜弧次形第二用之第二支
论曰若所设为乙未丙形则未角易为次形癸寅边【径用丁辛子形内以当癸寅不须言外角】乙外角为丑癸边【亦以己壬当丑癸与用酉外角同理】丙角为丑寅边【径以丙交角之弧甲午当丑寅不言外角】 若所设为甲酉丙形则酉角易为丑癸边【己壬径当丑癸不言外角】甲外角为寅癸边【用丁辛当癸寅即甲外角】丙角为丑寅边【亦申午当丑寅不言外角】
又论曰此皆大边径易次形不必复言又次
三甲乙丙形【一钝角两锐角】易为丑癸寅形
如法引甲乙边作全圜引余二边各满半周又以甲为心作丁壬癸丑辰半周以乙爲心作戊庚辛癸寅亥弧以丙为心作己午子丑寅夘弧三弧线相交成丑癸寅次形与元形相当而角为弧弧爲角
论曰易甲角为次形丑癸边【于癸丁象限减壬癸成丁壬为甲角之弧于丑壬象限亦减壬癸即成癸丑边其数相等】乙外角为次形癸寅边【于癸戊象限减癸辛成辛戊为乙外角之弧于寅辛象限亦减癸辛即成癸寅边其数相等】丙角为次形丑寅边【于丑午象限减丑子成午子为丙角之弧于寅子象限亦减丑子即成丑寅边其数相等】则角尽为边又甲乙边为癸角【于甲丁象限乙戊象限各减乙丁则戊丁等甲乙而癸角角之弧】乙丙边成寅角【于乙辛及子丙两象限各减丙辛则辛子等乙丙而为寅角之弧】甲丙边为丑外角【于甲壬及午丙两象限各减丙壬则午壬等甲丙而为丑外角之弧】则边尽为角
右一钝角两锐角形弧角相易为斜弧次形第二用之第三支
论曰若所设为甲丙酉形【三角俱钝而有两大边】则以甲外角为次形丑癸边酉外角为癸寅边丙外角为丑寅边又以三边为次形三外角【并与第二支未丙酉形三钝角同理】 若所设为丙未酉形乙未丙形【并一钝二锐而有两大边】皆依上法可径易为丑癸寅次形观图自明
甲乙丙形【三边并大三角并钝】易为次形
法以本形三外角之度为次形三边【午己为乙外角之度而与癸壬等丑辛为甲外角之度而与癸寅等申亥为丙外角之度而与寅壬等】以本形三边减半周之余为次形三角【甲乙减半周其余戊乙或子甲而并与辰丁等即癸角之度甲丙减半周其余戊丙而与丑庚等即寅角之度乙丙减半周其余子丙而与午亥等即壬角之度】并同前术论曰此即厯学防通所谓别算一三角其边为此角一百八十度之余者也然惟三钝角或两钝角则然其余则兼用本角之度不皆外角
右三角俱钝形弧角相易同第二支【惟三边俱大】
子戊丙形【一大边二小边一钝角二锐角】
其法亦以次形【癸壬癸寅】二边为本形【子戊】二角之度寅壬边为丙外角之度次形【寅壬】二角为本形二小边之度癸角为大边减半周之度
论曰此所用次形与前同而用外角度者惟丙角其子角戊角只用本度为次形之边非一百八十度之减余也 若设戊丙乙形子丙甲形并同【戊丙乙形惟次形癸寅边为戊外角其余癸壬边之度为乙角寅壬边之度为丙角则皆本度子丙甲形惟次形癸壬边为子外角其余寅壬边之度为丙角癸寅边之度为甲角则皆本度】
右一钝角二锐角与第三支同【惟为边一大一小】
第五斜弧正弧以弧角互易【内分二支】
一甲乙丙形【甲乙边适足九十度余二边一大一小角一钝二锐】易为丑癸寅正弧形【癸正角余锐三边并小】
法曰引乙丙小边成半周【于乙引至夘补成丙乙夘象限又于丙引至午成丙辛午象限即成半周】作夘亥庚丑寅午以丙为心之半周【截丙甲大边于庚使丙庚与丙乙夘等乃作庚夘弧为丙角之度即庚与夘皆正角依此引至午亦得正角而成半周以丙为心】作甲丑癸辛戊以乙为心之半周【引甲乙象限至戊成半周于甲于戊各作正角聨之即又成半周而截乙辛成象限与乙戊等即辛戊为乙外角度而此半周以乙为心】作乙壬癸寅弧以甲为心【甲戊半周折半于癸成两象限从癸作十字正角弧一端至寅一端至乙成癸乙象限其所截甲壬亦象限即乙壬为甲角之弧而甲为其心】三弧线相交成一丑癸寅次形与本形弧角相易而有正角
论曰次形丑寅边即本形丙角之度【丑夘及寅庚皆象限各减丑庚则丑寅即庚夘而为丙角之弧】癸寅边即甲角之度【寅壬及癸乙皆象限各减癸壬则癸寅即壬乙而为甲角之弧】癸丑边即乙外角之度【丑辛及癸戊皆象限各减癸辛则丑癸即辛戊而为乙外角之弧】是角尽易边也又寅角为甲丙边所成【庚丙及壬戊皆象限各减丙壬则寅角之弧庚壬与甲丙减半周之丙戊等】丑角为乙丙边所成【午丙及辛乙皆象限各减辛丙则丑角之弧午辛与乙丙边等】癸正角为甲乙边所成【癸正角内外并九十度而甲乙象限为癸外角弧若减半周则乙戊象限为癸交角弧】是边尽为角而有正角也
又辰戊丙形【辰戊边象限余并同前】易为正弧形【并同前法观图自明】
乙丙戊形【乙戊边足一象限余并小】易为正角形则丑寅度即丙外角丑癸度即乙角寅癸度即戊角是角为边也又寅角生于丙戊丑角生于乙丙癸正角生于乙戊是边为角
辰甲丙形【辰甲象弧余二边大三角并钝】易为正角形则丑寅边为丙外角丑癸边为辰外角寅癸边为甲外角角为边也又寅角生于甲丙丑角生于辰丙而癸正角生于辰甲【并准前条诸论推变】是边为角而且有正角也
右本形有象限弧即次形有正角而斜弧变正弧为弧角互易之第一支
丙乙甲形【丙正角余两锐角相等边三小相等者二】易为己癸壬次形【角一钝二锐锐相等】
法以甲为心作寅己丑半周则甲角之度【子寅弧】成次形一边【己壬】以乙为心作夘己午半周则乙角之度【夘辰弧】成次形又一边【己癸】此所成二边相等以丙为心作亥癸壬未半周则丙角之度【癸壬象限】即为次形第三边 依法平分次形以己壬酉形求壬角得原设甲丙边【壬角之度癸子与甲丙等】乙丙边【壬癸两锐角原同度而癸角之度辰壬与乙丙等故一得兼得也】求半己角倍之成己角以减半周得原设乙甲边【己外角之度午寅或丑夘并与乙甲等】
论曰本形有正角次形无正角而有象限弧得次形之象限弧得本形之正角矣
若设丙戊丁形【丙正角两钝角同度二大边同度一边小】易为己癸壬次形与上同法惟丁戊用外角
若设甲丙戊形【丙正角余一锐一钝而锐角钝角合成半周边二大一小而小边与一大边合成一半周】易为己癸壬次形亦同上法惟甲用外角戊用本角而同度所得次形之边亦同度【甲外角之度子寅成次形巳壬边戊本角乏度辰夘成次形己癸边而四者皆同度】其转求本形也用次形之壬角得甲丙以减半周即得丙戊【或乙丙丁形亦同】
右本形有正角而次形无正角爲弧角互易之第二支
或三角形无相同之边角而有正角【其次形必有象限边】或无正角而有相同之边角【其次形亦有等边等角】准此论之
次形法补遗【角一锐一钝边二大一小】
附算例 三角求边 三边求角
甲乙丙形【甲角一百二十度乙角一百一十度丙角八十五度为一锐二钝】三角求边
如法易为丑寅癸次形【癸寅边六十度当甲角丑癸边七十度当乙角寅丑边当丙角并以角度减半周得之】
求甲乙边【即次形癸外角】法以【甲乙】两角正相乗半径除之得数【八一三八○】为一率半径【一○○○○○】为二率【甲乙】两角相较【十度】之矢与丙角减半周【九十五度】大矢相较得数【一○七一九七】为三率求得四率【一三一七二四】爲次形癸角大矢内减半径成余【三一七二四】捡表得癸外角【七十一度三十分】为甲乙边【本宜求癸角以减半周得甲乙今用省法亦同】
论曰三角求边而用次形实即三边求角也故其求甲乙边实求次形癸角得癸角得甲乙边矣然则两角正仍用本度者何也凡减半周之余度与其本度同一正也【甲角一百二十度之正八六六○三即次形癸寅边六十度之正乙角一百一十度之正九三九六九即次形丑癸边七十度正】独丙角用余度大矢何也正可同用而矢不可以同用也【丙以外角易为次形丑寅边九十五度其大矢一○八七一六而丙角本八十五度是锐角当用正矢故不可以通用】然则两角较矢又何以仍用本度曰两余度之较与本度同故也【甲角乙角之较十度所易次形之癸寅边丑癸边其较亦十度】所得四率为大矢而甲乙边小何也曰余度故也【甲乙边易为癸外角而四率所得者癸内角也故为甲乙减半周之余度】用余度宜减半周命度矣今何以不减曰省算也虽不减犹之减矣【四率系大矢必先得癸外角七十一度半以减半周得癸内角一百○八度半再以癸内角减半周仍得七十一度半为甲乙边今径以先得癸外角之度为甲乙边其理无二】
求甲丙边 如上法以边左右两角正【甲八六六○三丙九九六一九】相乘半径除之得数【八六二七三】为一率半径【一○○○○○】为二率【甲丙】两角相较【三十五度】矢【一八○八五】与乙外角【七十度】矢【六五七九八】相较得数【四七七一三】为三率求得甲丙边半周余度之矢【五五三○四】为四率【捡表得六十三度二十七分】以减半周得甲丙边【一百一十六度三十三分】
论曰此亦用次形三边求寅角也【以甲角所易癸寅边丙角所易寅丑边为角旁二边以乙角所易丑癸边为对角之边求得寅角之度辛子与酉丙等即甲丙减半周余度】求乙丙边 如法以边左右两角正【丙九九六一九乙九三九六九】相乘半径除之得数【九三六一二】爲一率半径【一○○○○○】为二率【丙乙】两角较【二十五度】矢【○九三六九】与甲外角【六十度】矢相较【四○六三一】爲三率求得余度矢【四三四○三】为四率【捡表得五十五度三十二分】以减半周得乙丙边【一百廿四度廿八分】
论曰此用次形三边求丑角也【丙角易寅丑边乙角易丑癸边为角旁二边甲角易癸寅为对边求得丑角度午壬与未丙等即乙丙边减半周余度】又论曰此所用次形之三边三角皆本形减半周之余度【甲乙同己辰即癸外角度则次形癸角为甲乙边之半周余度也寅角之度子辛与酉丙等甲丙边之余度也丑角之度午壬与未丙等乙丙边之余度也是次形三角皆本形三边减半周之余度矣其次形三边爲本形三角减半周之余己详前注】故所得四率为角之大小矢者皆必减半周然后可以命度若他形则不尽然必须详审
如甲未丙形【甲角六十度丙角九十五未角一百一十】易丑寅癸次形则其角易为边用本度者二【甲角弧丁辛六十度易次形癸寅边丙角弧申午九十五度易次形寅丑边】用余度者一【未角弧壬戊一百一十度其半周余度己壬七十度易次形丑癸边】而其边易为角用本度者二【未丙边五十五度三十二分与午壬等成次形丑角甲未边余度未酉七十一度三十分与丁戊等成癸外角则次形癸角一百○八度三十分为甲未边本度】用余者者一【甲丙边一百十六度三十三分其余度酉丙六十三度二十七分与辛子等成次形寅角】若一槩用余度算次岂不大谬
又如乙丙酉形【乙角七○丙角九五酉角一二○】用【癸寅丑】次形【前图】求丙酉边
如法以边左右两角正【丙九九六一九酉八六六○三】相乗去末五位得数【八六二七三】为一率半径【一○○○○○】为二率以【酉外角丙角】相差【三十五度】矢【一八○八五】与乙角矢【六五七九八】相较【四七七一三】爲三率求得正矢【五五三○四】为四率【次形寅角之矢】捡表得六十三度二十七分为丙酉边
论曰此所用四率与前条求甲丙边之数同而边之大小迥异一为余度一为本度也【前条为余度之矢故甲丙边大此条为本度之矢故丙酉边小】又所用矢较亦以不同而成其同【前条以两角相差此则以酉外角与丙角相差不同也而相差三十五度则同前条用乙外角之矢此条用乙本角又不同也而矢数六五七九八则同】其理皆出次形也
求酉乙边 如法以两角正【乙九三九六九酉八六六○三】相乗去末五位【得八一三八○】为一率半径为二率【酉外角乙角】相差【十度】之矢与丙角【九十五度】之矢相较【得一○六一九七】为三率求得大矢【次形癸角之矢】为四率【一三一七二四】捡表【得一百○八度三十分】为酉乙边【此与前条求甲乙边参防即见次形用法不同之理如
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