方一十至方九十】初商十数者有次商
有三者初商所得必百数也【自方一百至方九百】初商百数者有次商又有三商
有四者初商千也有商四次焉
有五者初商万也有商五次焉
次商法曰依前术定位则知其宜有次商与否
若已开得单数虽减积不尽不必更求次商也虽未开得单数而初商减尽亦不必更求次商也惟初商未是单数而减积又有不尽是有次商矣次商者 倍初商为亷法用小筹以除之【初商一则用第二筹初商七则用第一第四两筹皆取倍数】视筹积数有小于余实者用之为亷积视亷积在小筹某行命为次商数
既得次商减去亷积即用次商数为隅法以求隅积隅积小平方也即隅法自乘之数也【可借开方筹取之】若隅积大于余实不及减者转改次商及减而止
以数明之 假如积一百其方根十即除实尽此独用方法无亷隅矣若积一百四十四初商十除实百余四十四则倍初商之根得廿为亷法【在初商之两旁故曰亷亷有二故倍之也】次商二以乘亷得四十为亷积又次商二为隅法自乘得四为隅积共四十四除实尽开其根得一十二也
商三次以上法曰次商所得尚非单数而减积又有不尽是有第三次商矣
商第三次者合初商次商数皆倍之为次亷法 如前用筹以除余实求得第三商以减亷积
又即以第三商之数为隅法以求隅积皆如次商
商四次五次以上并同第三商
命分法曰但开至单数而有余实者是不尽也不尽者以法命之法以所开得数倍之又加隅一为命分不尽之数为得分 凡得分必小于命分
亦有开未至单宜有续商而其余实甚少不能除作单一者亦如法命之而于其开得平方数下作圈纪其位如云平方每面几十○又几十几分之几 或平方每面几百○○又几百几十几分之几
若欲知其小分别有开除分秒法见第七巻
列商数法曰凡初商得数而书之有二法 其法依前隔位所作以最上一为主凡得数皆书于此之上一位五以上者又进一位故有二法也
其故何也五以上之亷倍之则十故豫进一位以居次商四以下虽倍之犹单数也所以不同凡归除开平方须明此理不则皆误矣 大约所商单数必在亷法之上一位乃法上得零之理也平方有实无法亷法者乃其法也
凡次商列位亦有二法 次商用归除除法者皆书于筹之第一位故次商以之
看次商所减之数其筹行内第一位是空与否若不空即以次商数对而书之对余实首一位是也
若第一位是圈即以次商数进位书之以暗对其圏余实上一位是也
知此则知空位矣次商有一定之位故空位亦一定也如次商与初商隔位则作圈隔两位作两圈是也
商三次以上书法并同
隅积定位法曰凡减隅积皆视其隅数为何等【隅数即次商之数也或单或十或百千等】以求其积
隅数是单其减隅积亦尽于单位
隅数是十其减隅积必尽于百位
隅数是百其减隅积必尽于万位
隅数千其隅积必百万
隅数万其隅积必亿
每隅数进退一位则隅积差两位【隅积小平方也故皆与初商同理】
还原法曰凡开方还原皆以所开得数为法又为实而自相乘之有不尽者以不尽之数加入即得原数
假如有积三百六十平方开之
列位【单位作圈】作防【从单位起】
视首位有以首位三百独商之乃视平方筹积数有小于○三者是○一也○一之方一故商一十【有二故初商是十】
于原实内减去方积一百余二百六十【初商是十知有次商】以上一为主凡得数皆书于此之上一位此常法也四以下用常法
次倍初商【一十】作【二十】用第二筹为亷法
视筹第九行积一八小于二六次商九于初商一十之下去亷积一百八十余八十【所减数在筹上一位不空故以商数九对余实首位书之】
次以次商九为隅法其隅积八十一大于余实不及减应转改次商为八视筹之第八行积数【一六】减亷积一百六十余一百【所减第一位下空故对位书之】
乃以次商八为隅法减隅自乘积【六十四】余【三十六】不尽
隅数单故减隅积亦尽于单位
初商【一十】次商【八】共【一十八】是已开至
单位也而有单位也以法命之 以平方【一十八】倍之又加隅【一】共【三十七】为命分
命为平方一十八又三十七分之三十六
还原法
以平方一十八用筹为法即以平方
一十八为实而自相乘之得三百二
十四加入不尽之数三十六共得三
百六十如原数
命分还原论详别巻
假如有积一十二万九千六百平方开之
列位 作
视首位无在次位以两位一
十二万合商之
乃视平方筹积有小于一二者是
○九其方三也于是商三百【三故初商百】减去方积九万余三万九千六百【初商百故知有次商】
次倍初商【三百】作【六百】用第六筹为亷法
视筹第六行积数【三六】小于【三九】次商六十于初商三百之下减去亷积三万六千余三千六百【所减首位不空故对书之】次以次商【六十】为隅法减隅积三千六百恰尽【隅数十故减隅积必尽于百位】
凡开得平方三百六十○ 开方虽未至单减积已尽是方面无单数也后仿此
还原法
以所得平方三百六十○为法为实而自相乘之得一十二万九千六百○○如原数
假如有积一千平方开之
列位 作防
视在次位以首二位一千○百合商之
乃视平方筹小于【一○】者【○九】也【○九】
之方三商作三十【二防故初商十】减方积九百余一百次以初商【三十】倍作【六十】用第六筹为亷法
视第六筹第一行是【○六】小于【一百】次商一千初商三十之下减亷积六十余四十【所减是○六首位空也故书于进位以对其○今虽对于余实以所减六十言之犹进位也列位之理明矣】
次以次商一为隅法减隅积一余三十九不尽【隅积尽单位】
所开已至单位而有不尽以法命之倍所商三十一又加隅一共六十三为命分
命为平方三十一又六十三分之三十九
此以上皆初商四以下列位之例 皆以最上之一为主而书其初商所得数于防之上一位乃常法也
假如有积四千○九十六平方开之
列位 作
视在次位以四千○百合商之
乃视平方筹积数有三六小于四○
其方六也商作六十【二防故初商十】减方积
三千六百余四百九十六【初商十故知有次商】
以最上一为主而书其得数于之上两位乃进法五以上用进法
次倍初商【六十】作【一百二十】为亷法【用第一第二两筹】视筹第四行积数【四八】小于余实次商四于初商六十之下减亷积四百八十余一十六【所减是○四八首位空也故次商四进位书之若初商不进则次商同位矣】
次以次商四为隅法减隅积一十六恰尽【隅数单故隅积尽单位】
凡开得平方六十四
假如有积八千○九十九以平方开之
列位 作
视在次位以八千○百合商之
乃视平方筹有【六四】小于【八○】 其方
八也于是商八十【二防故初商十】除实六千
四百余一千六百九十九【初商是十宜有次商】次以初商八十倍作一百六十为亷
法【用第一第六两筹】
合视两筹第一行积【一六】与余实同宜商【一十】因无隅积改用第九行【一四四】次商九于初商八十之下减亷积一千四百四十余二百五十九【所减第一位不空故对位书之】
次以次商九为隅法减隅积【八十一】仍余一百七十八不尽【隅数单隅积尽单位】
已开至单位而有不尽以法命之 应倍所商八十九又加隅一共一百七十九为命分
命为平方八十九又一百七十九分之一百七十八【因少一数故不能成九十之方】
假如有积二千五百四十八万二千三百○四平方开之列位 作
视在次位以二千五百万合商
之
乃视平方筹积有【二五】与实相
同其方五也商五千【四防故初商千】除方积二千五百万余四十八万二千三百○四【初商千有次商】
【又法既以四防知所得为五千倍之则为一万即亷法也法上一位便是单逆上三倍则五千位矣】
次倍初商【五千】作【一万】为亷法【用第一筹】
视筹第四行积四与余实同次商四十于初商五千之隔位减亷积四十万余八万二千三百○四【所减是○四故进位书之以对其○然与初商五千犹隔一位故知所得为四十此定位之法之妙也】次以次商四十为隅法减隅积一千六百余八万○七百○四【隅数十故减隅积尽于百位 商至十有末商】
次合初商次商倍之得【一万○○八十】为亷【用第一第八并二空位共四筹】
【大凡商五数以上则其亷法视所商方数必进一位不论初商次商皆然若四以下则其亷法视方数必同位亦初次商尽然】
合视筹内第八行积数【八○六四】小于余实又次商八于先商五千○四十之下减亷积八万○六百四十余六十四【此所减第一位亦是○故商数八亦进位书之以对其○】
次以末商八为隅法用减隅积六十四恰尽【隅数是单故减隅积亦必尽于单位】
凡开得平方五千○四十八
以上皆商五以上进书例也
常法中有初商得二或四者进法中有初商得七或九者并杂见开方分秒法并开方捷法中
开立方法【筹算三】
勿庵氏曰物可以长短度者泰西家谓之线线之原度一横一缩而自相乘之以得其羃积者平方也西法谓之方面方面与线再相乘而得其容积则立方也西法谓之体
解曰平方长濶相等形如碁局立方长濶髙皆相等形如骰子细分之有方有平亷有长亷有小隅总曰立方
立方亦有实无法以所有散数整齐之成一立方形故亦曰开
立方长濶髙皆等今所求者其一边之数故西法亦曰立方根
如图方者初商也初商不尽
则再商之于是有三平亷三
长亷一小隅共七并初商方
形而八合之成一立方形
如图方形者长濶髙皆如初商之数
方形只一
如图平亷形者长濶相同皆如初商数其厚则如次商数 【平亷形凡三以辅于方形之三面】长亷者长如初商数其两头髙与濶等皆如次商数 【长亷形亦三以补三平亷之隙】
小隅者长濶髙皆等皆如次商数 【其形只一以补三长亷之隙】
商三位图
如后图一方三平亷三长亷
一小隅除实仍不尽则更商
又得次平廉次长廉各三
次小隅一合之共十五形凑
成一大立方形 次平亷之
长濶相等皆如初商并次商
之数厚如三商数其形三以
辅初商并次商合形之外 次长亷之长如初商并次商之数其濶与厚相等皆如三商数其形亦三以补次平亷之隙次小隅之长濶髙皆等皆如三商数其形只一以补次长亷之隙
立方筹式【列后】
解曰上三位者自乘再乘之积也假如根一十则其积一千根二十则其积八千乃至根九十则其积七十二万九千也 次两位者自乘之积即平方也置于立方
筹者以为亷法之用假如初商一百则
其平亷亦方一百其积一万乃至商九
百则其平亷方九百而积八十一万也
又如次商一十则其长亷之两头亦必
方一十而积一百乃至次商九十则其
长亷之两头必方九十而积八千一百
也 下一位者方根也假如立积一千
则其根一十立积八千则其根二十乃
至积七十二万九千则其根九十也
立方筹三位何也自乘再乘之数止于三位也且以为初商之用故只须三位其余实虽多位皆亷积耳
用法曰先以积列位至单位止无单者作圈以存其位次作从单位起每隔两位作一【即满三位去之之法也】讫视最上一以为用
在首位者独商之以首位为初商之实
单数商法也 若千若百万若十亿若万亿若千万亿凡以三位去之余一位者皆与单法同
在次位者合首两位为初商之实
十数商法也 若万若千万若百亿若十万亿若兆凡以三位去之余二位者皆与十同法
在第三位者合首三位为初商之实
百数商法也 若十万若亿若千亿若百万亿若十兆凡以三位去之余三位者皆与百同法
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