假如经商获利二千两原本三千二百两已经四年问毎年毎两之息
答曰毎两息一钱五分六厘二毫半
法曰先以四年乗原本【三千
二百】得【一万二千八百】为总法【本法宜以
二千二百除二千得毎两之息再以四年除之得毎
年毎两之息今并两次除为一次除足简法也】
截除法【与并除相反所以便初学】
凡除有法数位繁者或可以截为两次除以从简易假如五十六人分银【一千五百一十二两】各若干
答曰各二十七两
【此因法五十六是七八相乘之数故先以八除得一百八十九两仍用为实再以七除之得二十七两合问】
【或先用七除得数二百一十六两复以八除之亦得二十七两为毎人数】
【右省除式也只作一直线书原实于右纪得数于左而以九九数呼而减之不必另书减数凡法只一位者用此为便】
假如铜一百二十八斤价二十两问毎斤若干
答曰毎斤一钱五分六厘二毫半【原法三位今用截除三次俱一位为法可用省除】
假如银一千○八十两置田二百一十六亩问田价每亩若干
答曰五两 【原法三位今用六除三次亦同】
约分法
凡命分有可约者以法约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等以等约之【以等数除母子数则皆除尽西人谓之纽数】
假如八十一人分银二十七两问各数 答曰各得三分两之一
法曰【以八十一除二十七不能各得一两依命分法八十一为分母二十七为分子命为八十一分两之二十七又以法约之为三之一】解曰【八十一是三个二十七若剖毎两为八十一分即各得其二十七分是三之一也】
分母八一 【约分法曰置分母八十一用递减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减】分子二七 【之仍余二十七如是则两数齐同是有等也即用此等数二十七为法转除分母八】减余五四 【十一得三除分子得一如此则不用细分但以毎两均剖为三而各得其一分即三又减分子】二七 【人共一两也若分子是五十四则用转减法以子五四】仍余二七 【转减母八一余廿七又以母余二十七转减子五四亦余卄七是相等也就以此等数卄七为法除母八一得三除子五四得二是为约得三之二】
假如米八十五石分结一百○二人问各若干
答曰各得六分石之五
法曰【人多米少不能各一石依命分法以一○二为分母八五为分子命为一百○二之八十五以法约之为六分之五】【约分法曰置分母一百○二以分子八十五减之得余十七用转减法以余十七减分子八十五余六十八又递减之余五十一又减之余三十四又减之余亦十七是相等也就此等数十七为法转除母数一百○二得六除子数八十五得五约为六分之五解曰一百○二是六个十七八十五是五个十七故曰六之五即六人共米五石也若以米毎石均分六分八十五石共得五百一十分为实以一百○二人为法除之得五是毎 所得为一石米中六分之五也】
厯算全书巻三十五
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
歴算全书卷三十六
宣城梅文鼎撰
笔算卷三
异乘同除法
以先有之数知今有之数两两相得是生比例莫善于异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故西法谓之三率今先明同异名之説以着古法次详三率之用以显通理
异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟为同名布与粟为异名也
何以为异乗同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乗是谓异乗若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先有之二件乘除之也】
问何以不先除后乗曰以原总物除原物总价则得每物之价以乗今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乗故变为先乗后除其理一也
假如原有豆一百○八石价银三十六两今有豆一百三十五石问价若干
答曰四十五两
法曰置今豆一百三十五石以原豆价三十六两乗之得四千八百六十两为实以原豆一百○八石为法除之得四十五两为今豆应有之价【见以物求价也若还原则以价求物】
假如原有银四十五两买豆一百三十五石今有银三十六两问豆若干
答曰一百○八石
法以豆一百三十五石乘价三十六两得四千八百六十石为实以价四十五两为法除之得一百○八石合问西人三率法
其法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可以互求
【今冇之二率先只有其一合前有之二率共为三率以求之而得今有之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】
假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乘【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】
若互用之以四率为一率则十二与九之比例若四与三故曰可以互求【此即还原之理】
【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是
此以上图之四率为
一率也故其序皆倒
而所得四率即上图
之一】
又更而互之
凡二三相乘与一四相乘等积此立法之根观右图可明【四九相乘三十六而十二与三相乘亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四此后两图互求之理】
又错综之
此又以前图之二与三更之则前两率之第二变为后两率之第一而其比例亦等【凡一率二率为前两率乃先有之二件也三率四率为后两率乃今有之两件也今以二率三率相易则是先有之次率变为今有之首率也然以比例言之在前图为三与四若九与十二者在此图则三与九亦若四与十二也】
若以一率除二率得数以乗三率亦得四率【如以一率三除二率九得三以乘三率四亦必得四率十二以一率四除二率十二得三以乗三率三亦得四率九但先除后乗多有不尽之分故异乗同除为算家大法乃中西两术所同也】
试仍以古图明之
原有小麦十二石 换食盐九石 【俱四分之三比例若以上□左】今有小麦 四石 换食盐三石 【右更置即成三率之前四图】
更之【以纵为横】
原有粱米 三石 换棉布九疋 【俱三倍之比例若以上下左右】今有粱米 四石 换棉布【十二】疋 【更置即成三率之错综四图】辨法实
凡三率之用皆以二率乘三率为实首率为法除之以得所求为四率
然何以定其孰为一率孰为二率三率也曰此则古人同异名之法不可易也诀曰凡今有之已知者常定为三率【其未知者待算而知则常为四率】视先有之物与三率之今有同名者定为首率其与今有异名必为二率矣
又诀曰凡三率之法以三件求一件其所求之一件未知而三件则巳知也此已知之三件中必有两件同名【如价与价物与物之类】就以此同名之两件审其孰为先有定为首率【其今有者则为三率而其余异名之一件亦必先有也恒为二率】
假如有句股形田长一百三十五步阔四十五步今截相似形长一百○八步问阔若干
答曰截阔三十六步
定法实诀
以今截长一百○八步定为三率长与长同名以原长一百三十五步定为首率濶与长异名以原濶四十五步定为二率
又诀【此巳知之三件是原长原阔截长内长与长同名以原长是先有之数定为首率截长是今有之数为三率原濶与长异名为次率】
按原长与原濶即大句大股截长截濶即小句小股也四者皆可以递互相求三率中更互错综之理尤为易见
以比例言之大股与大句若小股与小句也更之则小股与小句亦若大股与大句也此为以股求句反之而以句求股则大句与大股亦若小句与小股也又更之则小句与小股亦若大句与大股也
又错综之则大股与小股若大句与小句也而大句与小句亦必若大股与小股矣又小句与大句若小股与大股也而小股与大股亦必若小句与大句矣是为三率之八变
异乘同除定位法
三率定位与乗法除法无异【乗法以实单位为根定所对得数为法尾数除法以法首上一位作识定所对得数为所求单数并详前巻】但所用之实以二率三率相乗而得握算者或疑其数之骤陞而不能守其定法则定位必讹而其理益晦矣故复论之【诸家算术往往有定位不确者皆由见乘后数多未免惊怖而輙为酌改故也】
假如六个时辰马行二百一十里今行五个时辰当有若干里
答曰一百七十五里
论曰试以六时除马行【二百一十里】得每时行【三十五里】以乘【五】时亦得【一百七十五里】原无可疑今先乗后除故以【一千○五十里】为实骤观之似乎太多究竟除后得其本数而已
假如银【三十二两】换钱【三万六千文】今有银【二十八两】问钱若干答曰三万一千五百文
若以【三十二两】除【三万六千】得毎两钱【一千一百二十五文】以乗【二十八两】亦得三万一千五百文【知得数之同则知一百万零八千之非误】
异乗同除约分法
三率内有两率相凖可用约分者即改用所约之数易繁为简如法乘除所得无误而用加防矣【两率者其一首率其一次率或三率也凡以法约之必两率相准次率三率祗用其一皆取其与首率相凖也 或两率并为偶数则俱折半或两率并可均剖为四则折半两次或两率并可均分为三则各取三之一或两数互减而得等数则以等数约之并如约分法】
【论其比例 半之则 以三约之 以九约之 再约之为十八比 九与八 则六与十 则二与十 则为一十六若九 之比例 六之比例 六之比例 与八若十九与八 亦若九 若三十三 若十一与 十一与十八也十九与 与八十八 八十八八十八八十八】
假如赁房九个月银七十八两问住二年该若干答曰二百零八两【法以二年成二十四个月依式列之】
四二百零八【八乗廿六即得此数】假如八色金六十两换银二百八十八两今有九色金五十两该若干
答曰二百七十两【此以金折成足色六十两作四十八两五十两作四十五两算之】
四 二百七十【十八乘十五得此数右皆约得一数为首率故不须除但以二率乗三率即得所求为四率】
重测法【三率有叠用两次者谓之重测即两个异乘同除】
假如有夏布四十五丈欲换棉布但云毎夏布三丈价二钱棉布七丈价七钱五分问换棉布若干 答曰二十八丈一 夏布 三丈先用为法
四 价 三两 法除实得此数
重列
一 价【七钱五分】又用为法
四 棉布 【二十八丈】 法除实得此数
此因两布各有其价故先用法求得第四率以夏布变为银就以此定为重列之第三率【即今价也】而以棉布价【七钱五分】为首率【以与今价同名也】棉布【七丈】为次率【以与今价异名也】如法乘除得所换棉布为四率
并乗除法
以两次乘除并而为一是合两三率为一三率也即古法之同乘同除【古以并乘为异乗同乗以并除为异除同除今乘除俱用并法故谓之同乘同除也】假如今有芝麻五十四石欲换黄米但云芝麻三石换緑豆五石换黄米三石问该换黄米若干
答曰六十七石五斗
本法 重列
一 麻三石豆四石
二 豆五石米三石
三 今麻 【五十四石】今豆九十石【此重列之第三即先得之第四乃本法也】四该豆 【九十石】 米【六十七石五斗】
简法【即并法】
【今以两首率相乘为首率
亦以两次率相乘为次率
以两九十石对去不用故三率
省乗是为并法实简法也】
论曰本用两次乘除今以豆【四石】乘麻【三石】得【十二石】以除是并两次除为一次除也以米【三石】乘豆【五石】得【十五石】以乗是并两次乘为一次乗也依法求之即得所换米【六十七石五斗
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