遍乗得数 上位一品减尽 中位二品余十个月为总法 下位本色余三百六十六石为本色实
折色余二百四十四石为折色实
乃以总法除本色实得三十六石六斗为二品毎月俸本色数 以乙二品十个月计三百六十六石减乙共本色六百二十七石余二百六十一石以乙一品六个月除之得四十三石五斗为一品月俸本色
又以总法除折色实得二十四石四斗为二品月俸折色 以乙二品十个月计二百四十四石减乙共折色五百○五石余二百六十一石以乙一品六个月除之亦得四十三石五斗为一品月俸折色【其右行亦可互求则先得甲数也】
于是以一品本色折色并之得每月俸八十七石【本折各半支】
以二品本折并之得毎月俸六十一石【四六支本色六分折色四分】
厯算全书卷四十一
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
钦定四库全书
厯算全书卷四十二
宣城梅文鼎撰
方程论卷三
致用
笇之用惟防其説惟详详説之斯能捷用省笇列位诸法由是以生也故致用次之
致用有二一者省笇一者列位【例襍见诸卷中故不具列而备论其理】省算法亦有二一者行有空则省算一者数偶同则省乗
凡方程之法去繁就简同者去之异者存之归于一法一实而已矣故三色以上有空位则可径求
若三色方程无空位者必湏乗减得数变为二色以求之此常法也若内有一行中空一位则以所空之位列于首而先以其余两行不空者如法乗减得数即重列之与原有空位者相对如二色方程也【以两行无空者相乗对减则减去一色惟余二色其有空者原只二色故可相对如二色也】则省一笇【原法乗减三次今只两次故曰省一笇】
凡三色方程不论一行有空或两行各有空或三行各有空皆只省一算何也其各行中虽有空位而不相对故也何以知其不相对若两行有空而又相对则径可以二色算之矣即不成三色方程 三色有空例襍见前卷
凡四色五色以至多色有几行空位者如上省算径求最为简防若中行无空则必如法乗减以五色变四色四色变三色三色又变二色渐次求之不可径求而省算也今诸书所载皆其各位之有空者耳非通法也而欲以此尽方程可乎
凡四色方程有乗减六次者常也 若有一位空则省一算 一行中空两位或两行各空一位而相对则省二算 若一行空两位又一行空一位则省三算止矣 或有四行中各空一位而不相对亦只省一算而已何也惟首位空乃能省算若首位不空而空在下数位则乗减之后自然补实不能省矣 亦有两行各空两位而只省二算者亦以空位相左乗后补实耳故虽四行中各空两位亦只省三算也
假如四色中有一行空两位则将此无空之三行如法乗减变为两行又将此两行如法乗并变为一行此减余一行却有二位恰兴空两位之行相对矣便以重列如二色方程取之此最方程中要法而诸书未及也故详论之
若四色方程有两行各空一位而又相对则将其无空之两行如法互乗而减去此不空之位变为一行与空位之两行同列如三色法而之尤为易见
其四色各行空两位而省三算即今诸书中所载是也可无更赘然但欲知其为省算方程而非常法耳
其四色无空乗减六次者竟无其式故误以省算为常然既明其理亦不必一一为式矣
凡五色方程无空则有乗减十次者常法也【五色变四色则有四算四色又变三色则有三算三色又变二色则有二算二色又一算乃得法实合之为十算】故五色而为四图者亦常法也【原列一图以减余重列为四色而三色而二色又各一图合之为四图】
若有空一位则省一算 或空两位而省二算【湏两位空在一行或两行俱空首位乃可】 空三位而省三算【湏空在一行或三行同空首位或一行首位空一行首次两空则可】 空四位而省四算【湏一行空三位而一行又空一位恰与空三位者同或二行俱空首位而一行又空首次两位乃可或两行俱空首次亦可】 空五位而省五算【湏两行空首位而一行空首次三位或两行空首次而一行空首位或一行空首次而一行空首次三之位乃可】 空六位而省六算【湏一行空首位一行空首次一行空首次三行位乃可】
省至六算止矣六算以上虽多空位无闗省算也
今诸书有载五色方程者皆其各行空三位者耳总计之有空十五位而其为法亦必用四算然后得数则所省者亦只六算而竟不知其为省算之法则习而不察也
假如五色方程内只有行空三位法当以有空之三色列于上而先以其无空之四行如法乗减变为四色者三行又以乗减变为三色者二行又以乗减变为二色者一行则恰与空位之行相对矣再乗减一次得所求矣故曰省三算也【变四色时省一算变三色时省一算变二色时省一算共省三算】
假如五色方程内有两行各空二位而相对法当以有空之二色列于首次而先以其无空之三行如法乗减变为四色者二行又以乗减变为三色者一行则恰与空位之两行相对矣于是以三色法取之得所求矣故曰省四算也【变四色时省二算变三色时亦省二算】
假如五色方程内有两行空首位又一行空首次三之三位法当以无空之两行如法乗减变为四色者一行则恰与空首位之两行相对矣 乃以原数两行减余一行相并列之用相乗减变为三色者两行又相乗减变为二色者一行则又恰与空三位者相对矣 乃以原空三位者与减余列而求之即得之矣故曰省五算也【变四色时省三算变三色与二色又各省一算】
若五色方程内有两行各空三位者即如一行空两位一行空三位也法以无空之三行先用乗减变为四色者两行又以乗减变为三色者一行则恰与空首位次位者对矣取出原空两位者与减余列而求之变为二色者一行又恰与空三位者相对矣又取出与减余列而求之即得所问故亦省五算也【变四色三色时各省二算变二色时又省一算共五】其两行虽各空三位而不相对故也【若各空三位而相对即成二色方程矣】
若五色方程各行俱有空位不等要之省六算止矣省六算者必一行空首位而省一算一行空首次而省二算一行空首次三之位而省三算其余空位必不相对不能省算与无空同也
其法先以不空之两行乗减得数变为四色与空首位者相对又乗减变为三色与空首次者相对又乗减变为二色与空三位者相对再乗减即得所求诸列不能悉具智者反隅可也
论曰常与变相待而成告方方程省算而特详其不省之算者欲穷其变先得其常也
以上所论虽止五色引而伸之若六色七色八色九色乃至多色其理一也
以常言之 二色者一算 三色者三算 四色者六算 五色者十算 六色者十五算 七色者二十一算 八色者二十八算 九色者三十六算十色者四十五算 十一色五十五算 十二色者六十六算
以空位言之 三色者有省一算 四色者有省一算至三算 五色者有省至六算 六色者有省至十算 七色者省十五算 八色有省二十一算九色有省二十八算 十色有省三十六算 十一色有省四十五算 十二色有省五十五算
以省算所用而言之 三色者有只用二算 四色者有只用三算 五色有只用四算 六色有只五算 七色有只六算 八色有只七算 九色有只八算 十色有只用九算 十一色有只十算 十二色有只十一算
总而言之 二色则只一算 三色则有二算或三算 四色则有三算以至六算 五色则有四算以至于十算 六色则有五算至十五算 七色则自六算至二十一算 八算则自七算至二十八算九色则自八算至三十六算 十色则自九算至四十五算 十一色自十算至五十五算 十二色则自十一算至六十六算
扩而充之犹举一隅耳然其法不外于和较与和较之襍与变愚故不欲以四色五色等分为之目也 必如此则方程之法乃为通法若诸书所列四色者必各行空二位五色必各空三位非通法也方程者所以御襍糅正负也而必逓空相等乃可用算是法有所不及而穷于问也岂古人立法之意哉
此以上论空位省算省算者乗减并俱省之也非若省乗者但省互乗而不省减乗
凡方程互遍乘者取其首位齐同耳故乘减一次则少一色以首位之齐同必减而尽也然亦有其首位之数偶尔相同者法当径以对减而省其互乗此虽省其乗而不省其减并故与前论省算同而微异也
假如和数方程首位同则径减矣 若较数者又湏论其正负之名 同数矣而又同名径对减矣 同数而不同名则更其一行之正负以相较而后减并焉此要诀也不则首位虽减去而其下之同异淆则加减皆误矣
若和较襍者首位之数同亦必以较数首位之名名其和数之一行而后减并之但省其互乗可也
以上论同数省乗
亦有首位数虽不同而可以分数相命者则以其分数改其一行之数以从一行则首位齐同而可以对减省其互乗焉可矣
若较数或和较襍皆如前法齐同其首位之名斯减并无误耳【较数首位同名则仍之异名者改一行以相从和较襍者以较首位之名名其和数之一行】
假如两首位为五与十是倍数也则半之盖五与十互乗各得五十而其下诸数从之而溢矣今但以首位十半之为五而其下诸数皆半之以相减并则五之之行可无乗而数亦简明殊散人怀也
若两首位为二十与二是十之一也则以退位之法乗之使二十之一行皆为十之一 若为八为四亦倍数也 若为八与二是四之一也四除其八之行则得矣 若九与三则三之一也以三除九则亦三而其一行皆三除之则可减倂矣然三除多有不尽不如只以三因其三之行也 若为五与三则六因其五之行而退位 五与二则四因退位 五与四则八因退位皆同 若六十四与八则八之一也八除其六十四之行犹互乗也 若此类者不可枚举得其意者酌而用之可也尤要在首位之必同名亦有不可强齐者如七与二九与四之类只用互乗为无弊也省乗者为省事而设也强齐之反多事矣此以上论分数省乗
此外又有不拘首位者但数同则径以对减施之二色为宜盖二色方程只湏减去一色其所余即一法一实矣然亦湏同名方可减去若异名者改而齐之可也
假如较数方程其中一色同名而又同数径减去矣若但同数而不同名则更其一行之正负乃减去之
假如和较杂其中一色同数则以之为主使和数一行皆与此一色同名乃减去之
若和较则不湏尔但同数者即减去之此二色捷法
合此三者省算之理备矣
问田粮七则起科甲有上田一亩上次田一亩输粮七斗乙有上田一亩上次四亩上中一亩粮一石八斗丙有上次上中田各一亩粮五斗丁有上中田中田各二亩粮五斗戊有中田三亩中次五亩中下五亩已有中下八亩下田十三亩庚有中下田下田各十亩皆粮五斗问各则若何
法曰此方程防续法也以甲乙丙借作三色己庚借作二色各如法求得田则则其中两色自知
先以甲乙两行徧互乗减去上田 余上次田三亩上中田一亩 粮一石一斗 用与丙行乗减 上次田减尽 余上中田二亩为法 粮四斗为实法除实得二斗为上中田则例
就以上中田则减丙粮五斗余三斗为上次田则例以上次田则减甲粮七斗余四斗为上田则例【以上三色法也】
又以上中田则例乗丁田二亩得四斗以减丁粮五斗余一斗以二亩除之得五升为中田则例
又以戊中田三亩乗其则例得一斗五升以减戊粮五斗余三斗五升为戊田中次中下各五亩之共数因此处防而不属故又先求末两行
再以二色法用己庚两行如法遍乗减去中下田余下田五亩为法粮一斗为实法除实得二升为下田则例【以八因庚行而退位省乗法也】
以庚下田十亩乗其则例得二斗以减庚粮五斗余三斗以中下田十亩除之得三升为中下田则例【以上二色法也】
乃以戊中下田五亩乗其则例得一斗五升以减戊中下中次共三斗五升余二斗以戊中次五亩除之得四升为中次田则例
计开 上田每亩粮四斗上次田每亩粮三斗上中田每亩粮二斗 中田每亩粮五升中次田每亩粮四升 中下田每亩粮三升下田每亩粮二升
论曰此虽七色因行中防续即非七色借三色二色之法知其首尾而中行亦见焉所省良多然非省乗其势则然也以其疑于省算也故附之其末
又有数偶相同不论三色四色但一减之后即得一法一实者非省算也然亦省算之类故亦附録一条以见其例
假如縀纱绢不知价但云以縀一匹纱五匹易绢九匹余价二两六钱又以縀二匹绢八匹易纱四匹余价六两八钱又以縀三匹易纱六匹绢七匹少价一两二钱
畣曰縀每匹价银三两纱每匹一两 绢每匹六钱
法列位
因中
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