斗】与两次求者数同【又因一率二率可用约分约之为四与五而法益简】
然则第三率何以独异【第三率径用今麻不以豆九十石乗之是与并两首率为首率并两次率为次率者逈别】曰重列之第三即先得之第四故可以对去不用不惟不用亦可不求【重列之第三率既无乗并之用则原列之第四率不必更求其数】而乗除之用已偹【今麻原系第三率今仍用为第三是三率之用本无所缺】即所求之得数已清矣【若第三率用豆九十石乗过之则所得第四率亦必为豆九十石乘过之米得数后必以九十石除之始能清出米数反多曲折今对去豆九十石不用则所得四率即米数直截了当】故为简法
又式
假如有战兵七百名毎年额饷一万二千六百两内有新着伍兵三百名已经应役七个月问该饷银若干答曰三千一百五十两
依重测并乘除法当以【十二月】乘【七百名】得【八四○○】为法以【七个月】乗【一万二千六百】得【八八二○○】又以【三百名】乘之得【二六四六○○○○】为实法除实得三千一百五十两为兵三百名七个月之饷今用约分以【七百】与【三百】约为七与三【皆百约之】则首率次率各有【七】对去不用可省并乘
重列之时径以【十二】为首率饷银【一二六○○】为次率【三】为三率依法乘除而得四率 又以首率【十二】三率【三】约为四与一则径以饷【一二六○○】为实以四为法除之得【三千一百五十】合问变测法【古谓之同乗异除在三率谓之变测即几何原本之互视法也】
凡异乘同除皆以先有之一率为法【即首率】以先有之又一率乘今有之一率为实【即二率三率相乗】
若同乘异除则反以今有之一率为法【同文算指列于第三今依法实之序定为首率】以先有之两率自相乘为实【同文算指列于第一第二今定为第二第三】虽亦以法除实得今所求之又一率【即四率】与诸三率同而法实相反故曰变测
假如用秤称物物重秤不能称外加一锤称得【八十四斤】本锤【一斤五两】加锤【一斤三两】问其物实重若干
答曰一百六十斤
一 锤重二十一两 为法
四 实重一百六十斤法除实得数
法以锤【一斤五两作二十一两】加锤【一斤三两作十九两】共重【四十两】为先有之一率称重【八十四斤】为先有之又一率相乘【三三六○】为实以本锤重【二十一两】为今有之一率为法法除实得实重【一百六十斤】为所求今有之又一率合问
假如秤失去锤有所称物【重一百六十斤】今以他物代锤【重四十两】称得重【八十四斤】问锤重若干 答曰一斤五两
一 物重一百六十斤
二 称得重八十四斤
三 【他物代锤】重四十两
四 锤重二十一两
假如布幔一具用布十六丈五尺布濶二尺今有布濶一尺五寸如式作幔该用若干
答曰二十二丈
一 今濶一尺五寸
二 原濶二尺
三 原长十六丈五尺
四 今长二十二丈
假如储粟方窖长【一丈二尺】濶【九尺】深【一丈】今欲别穿一窖藏粟与之等长亦【一丈二尺】但深加【二尺五寸】该濶若干
答曰濶七尺二寸
一 今深十二尺五寸
二 原深十尺
三 原濶九尺
四 今濶七尺二寸
【此原长不动而加深减濶也 今深今濶相乘得九十尺与原深乘原濶等以乘长一十二尺得一千零八十尺亦等则其藏粟等】
又问若依原窖之濶【九尺】但加长【三尺】该深若干
答曰深八尺
一 今长十五尺
二 原长十二尺
三 原深十尺
四 今深八尺
【此原濶不动而加长减深也今长乘今深得一百二十尺与原长乘原深等以乘濶九尺并得一千零八十尺】
假如有方仓高【一丈八尺】濶【二丈】深【二丈一尺】今更造一仓亦深【二丈一尺】但高减三尺问阔若干
答曰濶加四尺【共濶二十四尺所储米石即同原仓之容】
一 今高十五尺
二 原高十八尺
三 原濶二十尺
四 今濶二十四尺
【此原深不动而减高増濶也当与右二条叅防仓之高即窖之深仓之深即窖之长】
【今高乘今濶得三百六十尺与原高乗原濶等再以深二丈一尺乘之得七千五百六十尺与原仓之容积等】
假如原借八五色银四十八两今还九六色银问该若干答曰四十二两五钱
一 今银色九六 为法
四 今还四十二两【五钱】法除实得数
【解曰原银八五色是毎两实折八钱五分故以乘原银得四十两零八钱乃折实纹银之数也还银九六色是毎九钱六分成一两故以除折实纹银得四十二两五钱为应还之数凡零乘数反损零除数反增详别巻】
假如有田一区用三十二人耕治五日而毕今用四十人问该几日 答曰四日
一 今用四十人
二 原用三十二人
三 原耕五日
四 今耕四日
假如决水修池水窦濶三尺十二日涸出今开濶八尺问水涸几日
答曰四日有半
一 今濶八尺
二 原濶三尺
三 原十二日
四 今四日半
假如额兵五千六百设有一年之饷今祗留兵三千三百六十名问其饷可支几时
答曰一年零八个月
一 今兵三千三百六十
二 原兵五千六百
三 原设饷十二个月
四 今可支二十个月
歴算全书巻三十六
钦定四库全书
厯算全书巻三十七
宣城梅文鼎撰
笔算巻四
通分法【并减乘除并有子母通分之用故别自为巻其畸零以十百千万为等者不用此法】
凡整数下有零分而不以十分成整当用通分其法以一整数剖为若干分是为母数其所零分在母数中得几分之几是为子数
通分子母列位法
通分列位其法有三曰化整为零曰以整零曰收零为整
假如有物一斤四两则以一斤通为十六两加入所四两共二十两而列之
二○【斤以十六两为母其所四两是子今化斤为两则可乘除谓之以母从子也】
若欲通为铢则以毎两二十四铢为母通二十两为四百八十铢
四八○【此以斤通为两两又通为铢是两次用通分也】
若畸零累析有用通分三次四次以上者准此论之如皇极经世一元有十二防一防有三十运两次通之则一元有三百六十运 一运有十二世一世有三十年两次通之则一运有三百六十年
若以元通为年则用四次【元通为防防又通为运运又通为世世又通为年是四次用通分也】通得十二万九千六百为一元年数
假如古歴十九年七闰谓之一章其月谓之章月二三五【此以毎年十二月通十九得二百二十八月加入闰七月共得二百三十五月为一章之月】右化整为零 古通分法曰通以分母纳以分子盖言以分母通其整数而以所零分加入也然亦有不纳子而但通其整之时既以分母通之则整数不用全化为分故西学谓之化法
别有变零为整之法与此化整为零之法似同而实不同所以为零乘之用盖化整则全化为零而不用整变零则全变为整而不用零其数则同【谓自一至九之数】
其等则异【谓如零陞为单单陞为十之类】详见零除条
凡通分化整为零以便乘除不必更书其母若列位本法以整零当以母数子数并而书之曰几分之几【若分下有小分则曰几分之几又几分分之几】
假如有整数二十五有零分为整数十二分之七又仍零秒为分数三十分之十四
【此如歴法一周十二宫一宫三十度今得星行二十五周又七宫十四度也】
假如有整数十六又零数为整数七分之五
【此以一整数剖为七分而所零分适得其五也七为分母五为分子】
假如有零数为整数三十分之十四又有小分为分数六之五
【此原无整数但有分又有小分其分以三十为母十四为子是一整数剖为三十而得其
十四也小分以六为母五为子是一大分又剖为六而得其五也小分母古谓之秒母】
右以整零
凡母数必大于子数其常也乗除之后有子数反多者法当以母数收之为整而其零
假如有零分十六其分母九【此以子数反大当以母数收为整】
【九之十六】 收得一【九之 十六分内除九分收为整余七七分是为整一又九分之七也】
假如方田之法以方五尺为步其积二十五尺今有积七十尺
【步法二十五尺而积有七十尺子数反多法当收整】
【七十尺内除五十尺收为二步剩二十尺不能成步是为整二步又二十五分步之二十】
假如古厯法以十九年为一章四章为一蔀今距元中积一百年问在第几蔀第几章
畣曰第二蔀第二章之第六年
【法先以章法十九收九十五年成五章剰五年 次以蔀法四收四章成一蔀剩一章
通列之成一蔀一章零五年是为已过之数今正在交第二蔀第二章之第六年也】
右收零为整【凡欲乗除必化整为零既乘除矣仍必收零为整此二者相须为用也】此外仍有除零附整之法其法以分母为法分子为实实如法而一得零数为整数十分之几或百分千分万分之几所谓退除为分秒也见除法命分
通分并子法
通分并子其类有三曰母同者曰母不同者曰大分又小分者而所以并之之法有七曰径并法曰变分母法曰互乗法曰连乘法曰维乘法曰截并法曰通母纳子法
径并法
凡分母数同者径并其子并满母数收为整【数在三宗以上而母同者皆可径并其子或大分之下有小分而分母同者并用此法】
假如有丝五分斤之四又五分斤之三并之若干畣曰整一斤【又五分斤之二】
【此因两母同为五故径并其子子数七母数五是子满母数而且
有余也当以母数收之得整一零五之二】
以上分母同者径并其子为通分并法之一类
变分母法
凡分母不同而有比例可求者变而同之可省互乘假如有数【六之三】又加【四之一】共若干
畣曰共四之三
【法以六之三母子各损三之一变为四之二则两母同为四而其子可并矣
所以然者四与六是倍半比例故去三分之一即相同也】
假如有金【八分两之五】又【四分两之三】并之若干
答曰一两又八分两之三
【八与四为折半比例然不以八折半者其子奇数不可半也故以四之三
加倍即母数齐同可相并矣】
互乘法
凡分母不同而无比例可求者先互乘以同其母再以母互乘其子而并之【数在三宗以上而母不同者皆可用此法】
假如有物【四分石之三】又【七分石之四】共若干 答曰整一石又【卄八分石之九
先以右母四互乘左母七得卄八又互乘子四得十六变七之四为
卄八之十六 次以左母七互乘右母四及子三变四之二为卄八
之卄一 两母既同遂并其子为二十八之三十七
以满共母二十八収为整一仍余九】
凡三母内有两母相乘与余一母同者只用一互乘即可相并假如有甲乙丙丁四数乙得甲【七之六】丙得甲【五之四】丁得甲【卅五之二十三】若合乙丙丁三数得甲数若干 答曰得甲数二【又三十五之十一
法以乙丙两母相乘三十五与丁母同数即用乙母七互乘丙五之
四得三十五之卄八丙母五互乘乙七之六得三十五之三十以并
丁三十五之二十三共得卅五之八十一以满母卅五成整数合问
归整】得甲数二【又卅五之十一】
连乘法
凡数三宗以上者用母连乘为共母又以各母除之得数以乘其子为子而并之并满共母收为整
假如有数六【之四】又加三【之一】又加五【之四】并之若干
答曰整一【又九十之法以六乘三得一十八又以五七十二 乘之得九十为连乘之共母
即六除共母得数以乘之四之数
即三乘共母得数以乘之一之数
即五除共母得数以乘之四之数】
归整得一又【九十之七十二】
觧曰【此即互乘也试以五互乘六之四得三十之二十 又以三互乗之即成九十之六十 以六互乗三之一得十八之六又以五互乘之即成九十之三十 以六互乗五之四得三十之二十四又以三互乗之即成九十之七十二】维乘法【此古维乘法也与母除共母以乘子之法所
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