两正为两邉比例图
乙丙丁三角形丁乙邉大对丙角
丁丙邉小对乙角术为以丁乙邉
比丁丙邉若丙角之正与乙角
之正
解曰试以丁丙为半径作丁甲线为丙角正又截戊乙如丁丙半径作戊己线为乙角正丁甲正大于戊己故丁乙邉亦大于丁丙
问丁甲何以独为丙角正也曰此以丁丙为半径故也若以丁乙为半径则丁甲即为乙角之正如图用丁乙为半径作丁甲线为乙角正又引丙丁至戊令戊丙如丁乙半径作戊己线为丙角正
即见乙角之正丁甲小于戊己
故丁丙邉亦小于丁乙
解曰正者半径所生也故必两
半径齐同始可以较其大小前图
截戊乙如丁丙此图引丁丙如丁乙所以同之也
三正逓相为三邉比例图
乙丁丙钝角形丁钝角对乙丙大邉丙次大角对乙丁次大邉乙小角对丁丙小邉其各邉比例皆各角正之比例
试以乙丁为半径作丁甲线为乙
小角之正又引丙丁邉至戊使
戊丙如乙丁作戊己线为丙角之
正又展戊丙线至庚使庚丙如乙
丙作庚辛线为丁钝角之正【如此则三邉皆若三正皆若股】其比例为以乙丙大邉【同庚丙】比乙丁次邉【同戊丙】若丁钝角之正庚辛与丙角之正戊己
又以乙丁次大邉【同戊丙】比丁丙小邉若丙角之正戊己与乙角之正丁甲
又以丁丙小邉比乙丙大邉【同庚丙】若乙小角之正丁甲与丁钝角之正庚辛
问庚辛何以为丁角正曰凡钝角以外角之正为正试作乙癸线为丁角正【乙丁癸角外角也故其正即为丁钝角正】必与庚辛等何也庚丙辛句股形与乙丙癸形等【庚丙既同乙丙又同用丙角辛与癸又同为方角故其形必等】则庚辛必等乙癸而乙癸既丁角正矣等乙癸之庚辛又安得不为丁角正乎【凡取正必齐其半径此以丁甲为乙角正是用乙丁为半径也而取丙角正戊己必引戊丙如乙丁其丁角正庚辛又即外角之正乙癸是三半径皆乙丁也】
试取壬丙如丁丙作庚壬线即同
乙丁半径则壬角同丁角壬外角
即丁外角而庚辛正之半径仍
为乙丁【庚壬同乙丁故】
此以庚壬当乙丁易乙丁丙形为
庚壬丙则庚辛正亦归本位与前图互明
试以各角正同居一象限较其弧度
如图甲乙丙形丙角最大其正乙丁亦最大所对甲乙邉亦最大甲角次大其正丑壬亦次大所对
乙丙邉亦次大乙角最小其正
丙夘亦小所对丙甲邉亦最小【丙乙
二角正并乙丙为半径甲角取正截丑甲如乙丙亦以乙丙为
半径】乃别作一象弧【如戊己】仍用乙丙
为半径【取戊庚如乙丙】而以先所得各角
之余取度于丁作乙丁为丙角
之正于壬作丑壬为甲角之正
于夘作丙夘为乙角之正即
如元度而各角之差数覩矣【戊庚半径既同乙丙则丁庚即丁丙而为丙角余又壬庚即甲壬为甲角余夘庚即夘乙为乙角余】
解曰角无大小以弧而知其大小今乙丁正其弧乙己是丙角最大也丑壬正其弧丑己是甲角次大也丙夘正其弧丙己是乙角最小也而对邉之大小亦如之故皆以正为比例也
或疑钝角之度益大其正反渐小而其所对之邉则渐大何以能相为比例乎曰此易知也凡钝角正即外角之正而外角度原兼有余两角之度故钝角之正必大于余两角而得为大邉之比例也如乙丙甲钝角形丙钝角最大其正乙丁亦最大而所对乙甲邉亦最大乙角次大其正丙夘亦次大而所对甲丙邉亦次大甲角最小其正丑壬亦小而所对乙丙邉亦最小【截甲丑如乙丙从丑作丑壬即甲角正】
乃从乙作乙庚弧【以丙为心乙丙为半径】为
丙外角之度又作辛丙半径与甲
乙平行分乙庚弧度为两则辛庚
即甲角之弧度其余辛乙亦即乙
角之弧度从辛作辛未正与丑
壬等又自庚截癸庚度如辛乙则
癸庚亦乙角之弧作癸子正与丙夘等此显丙外角之度兼有乙甲两角之度其正必大于两角正也虽丙钝角加大而外角加小则乙甲两角必又小于外角又何疑于钝角正必为大邉比例乎
试更以各角切员观之则各角之对边皆为其对弧之通
如图三角形以各角切员则乙丙邉为丙戊乙弧之通而对甲角甲丙邉为丙己甲弧之通而对乙
角甲乙邉为乙庚甲弧之通而
对丙角则是各角之对邉即各角
对弧之通也夫通者正之
倍数则三邉比例即三正之比
例矣
又试以各邉平分之则皆成各角之正
于前图内更以各邉所当之弧皆平分之【丙戊乙弧平分于戊防丙己甲弧平分于己防乙庚甲弧平分于庚防】自员心【丁】各作半径至其
防即分各边为两平分【以丁壬戊
半径分乙丙边于壬以丁辛己半径分甲丙边于辛以丁
癸庚半径分甲乙边于癸则所分之边皆为两平分】则
弧之平分者即原设各角之
度而边之平分者即皆各角
之正【丙丁戊角以丙戊为弧丙壬为正而丙
丁戊角原为丙丁乙角之半必与甲角同大故丙戊半弧
即甲角之本度丙壬半边即甲角之正乙丁戊角亦然】
【凖此论之则甲丁己角原为甲丁丙角之半必与乙角同大故甲己半弧即乙角之本度甲辛半边即乙角之正己丁丙角亦然又乙丁庚角原为乙丁甲角之半必与丙角同大故乙庚半弧即丙角之本度乙癸半边即丙角之正庚丁甲角亦然】夫分其边之半即皆成正则边与边之比例亦必如正与正矣【全与全若半与半也】
问三角之本度皆用半弧何也曰量角度必以角为员心真度乃见今三角皆切员边则所作通之弧皆倍度也故半之乃为角之本度
如图以甲角爲心甲丁爲半径作员则其弧丑丁子乃甲角之本度也而平分之丙戊及戊乙两弧并与丑丁子弧等【试作戊丙及乙戊两必相等又并与丑子等凡等者弧亦等】故乙
戊丙弧必爲甲角之倍度
【余角类推】
问三邉求角何以用和较相乗也曰欲明和较之用当先知和较之根凡大小两方以其邉相并谓之和相减谓之较和较相乗者两方相减之余积也
如图甲癸小方丁癸大方于大方
内依小方邉作己庚横线又取己
辛如小方邉作辛壬线成己壬小
方与甲癸等大方内减己壬小方
则所余者为乙庚及庚壬两长方
形夫乙己及丁庚及庚辛并两邉之较也甲己庚则和也若移庚壬长方为乙甲长方即成丁甲大长方而为较乗和之积故凡两方相减之余积为实以和除之得较以较除之亦得和矣
依此论之若有两方形相减又别有两方相减而其余积等则为公积故以此两方之和较相乗为实而以彼两方之和为法除之得彼两方之较或以彼两方之较为法除之亦必得和
【如图有方二十九之幂八百四十一与方二十七之幂七
百二十九相减成较二乗和五十六之积
又有方十六之幂二百五十六与方十二之幂一百四十
四相减成较四乗和二十八之积
两积同为一百一十二故以先有之较二和五十六相乗】
【为实以今有之和二十八为法除之即得较四为今所求数】
是故三角形以两之和乗较为实以两分底之和为法除之得较者为两和较相乗同积也两和较相乗同积者各两方相减同积也
何以明之曰凡三角形以中长线分为两句股则两形同以中长线为股而各以分底线为句是股同而句不同也句不同者不同也大者句亦大小者句亦小故两上方相减必与两句上方相减之余积等而两和较相乗亦等
如图甲乙丙三角形以甲丁中长线分为两句股形则丙乙为两句之和【未寅及子夘并同】丙戊为两句之较【未子及寅夘并
同】未夘长方为两句之较乗
和也又丙己为两之和【辰壬
同】酉丙为两之较【辰癸及辛庚壬
午并同】癸壬长方为两之较
乗和也此两长方必等积
问两上方大于两句上方何以知其等积曰依句股法上方幂必兼有句股上方幂是故甲丙幂内【即癸甲大方】必兼有甲丁股丙丁句两幂乙甲幂内【即辛己小方】亦兼有甲丁股乙丁句两幂则是甲丁股幂者两幂所同也其不同者句幂耳【股幂既同则幂相减时股幂俱对减而尽使非句幂不同巳无余积】然则两幂相减之余积【于癸甲大方内减己辛相同之申甲小方所余者癸辛申丙两长方成磬折形】岂不即为两句幂相减之余积乎【于丁子方内减丁寅相同之戊丑小方所 所余者丑子及戊未两长方成磬折形】由是言之两和较相乗之等积信矣【于幂相减之癸辛申丙磬折形内移申丙补庚壬即成和较相乗之癸壬长方又于句幂相减之丑子未戊磬折形内移戊未补丑夘即成和较相乗之未夘长方两磬折形既等积则两长方亦等积】
问和较之列四率与诸例不同何也曰此互视法也同文算指谓之变测古九章谓之同乗异除乃三率之别调也何则凡异乗同除皆以原有两率之比例为今两率之比例其首率为法必在原有两率之中互视之术则反以原有之两率为二为三以自相乗为实其首率为法者反系今有之率与异乗同除之序相反故曰别调也
然则又何以仍列四率曰以相乗同实也三率之术二三相乗与一四相乗同实故可以三率求一率【二三相乗以一除之得四以四除之即仍得一若一四相乗以二除之亦可得三以三除之亦仍得二】互视之术以原有之两率自相乗与今有之两率自相乗同实故亦以三率求一率【原两率自相乗以今有之率除之得今有之余一率若今两率自相乗以原有之率除之亦即得原有之余一率】但三率之术以比例成其同实互视之术则以同实而成其比例既成比例即有四率故可以列而求之也
如图长方形对角斜剖成两句股则相等而其中所成
小句股亦相等【甲壬戊与甲己戊等则甲
乙丙与甲辛丙等丙丁戊与丙庚戊等并长方均剖故也】即所成长方之积亦必相等
【于甲壬戊句股形内减去相等之甲乙丙及丙丁戊两小】
【句股存乙丙丁壬长方又于甲己戊句股形内减去相等之甲辛丙及丙庚戊两小句股存辛己庚丙长方所减之数等则所存之数亦等故两长方虽长濶不同而知其必为等积】今以甲乙为首率乙丙为次率丙丁为三率丁戊为四率则乙丁长方【即乙丙丁壬形】为二三相乗之积【此形以乙丙二率为濶丙丁三率为长是二率三率相乗也】辛庚长方【即辛己庚丙形】为一四相乗之积【此形以辛丙为长丙庚为濶而辛丙原同甲乙乃一率也丙庚原同丁戊乃四率也是一率四率相乗也】既两长方相等则二三相乗与一四相乗等实矣此列率之理也
一甲乙
二丙乙
三丙丁
四戊丁
在异乗同除本术则甲乙及丙乙为原有之数丙丁为今有之数戊丁为今求之数其术为以原有之甲乙股比原有之丙乙句若今有之丙丁股与戊丁句也故于原有中取丙乙句与今有之丙丁股以异名相乗为实又于原有中取同名之甲乙股为法除之即得今所求之丁戊句是先知四率之比例而以乗除之故成两长方【二率乗三率成乙丁长方以首率除之必变为辛庚长方】故曰以比例成其同实也
互视之术则乙丙与丙丁为原有之数甲乙为今有之数丁戊为今求之数术为以乙丙较乗丙丁和之积若丙庚较【即丁戊】乗丙辛和【即甲乙】之积故以原有之乙丙较丙丁和自相乗为实以今有之甲乙和【即辛丙】为法除之即得今所求之丁戊较【即丙庚】是先知两长方同积而以四率取之故曰以同实成其比例也
然则又何以谓之互视曰三率之用以原有两件自相比之例为今有两件自相比之例是视此之差等为彼之差等如相慕效故大句比大股若小句比小股【大句小于大股几倍小句亦小于小股几倍又大句大于小句几倍大股亦大于小股几倍】互视之用以原有一件与今一件相比之例为今又一件与原又一件相比之例是此视彼之所来以往彼亦视此之所往以来如互相酬报故之较比句之较反若句之和比之和【之和大于句故句之较反大于若和之数大于句几倍则较之数句大于亦几倍】是以别之为互视也
如图以甲乙为一率丙乙为二率丙丁为三率丁戊为四率作甲戊成两句股次引甲乙及丁戊防于壬成
乙丁长方为二三相乗之积
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