一三一一一六四八七六 同 七 八
八 九一七八一五四一 同 八 九
九六四七六六六八七 同 九 十
十 四六六三二一 同 十 十一
十一 三三九一四二 同 十一十二
十二二四八七 同 十二十三
十三 一八三七 同 十三十四
十四一三六 同 十四十五
十五 一 同 十五十六
十六一
正数 三四八一七九六四七六九七二一五二
负数 一三九四二八五八三七四七五一四
减得三三四二三七五五四八六九四九七一二
首位二三三四二三七五五四八六九四九七一二
加二
内减四一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四
之对数
三除之四七七一二一二五四七一九六六二四三七一 三之对数
内加二 七七八一五一二五三八三六四三六三二 六之对数
之对数
二乘三 九五四二四二五九四三九三二四八七四二 九之对数
之对数
假如求七之对数
法依前求得七之用数一八减去单一得八为递次乘法乃以乘法乘对数根得三四七四三五五八五五二二六一四五为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得一三八九七四二三四二九四一为第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得七四一一九五九一五七八二为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得四四四七一七五四九五为第四数负 如是递求得二八四六一九二三为第五数正 一八九七四六为第六数负 一三一为第七数正 九为第八数负 乃诸正数得三四七四四二九九七七六六三九一五一又诸负数得一三八九七八六八一五七四二九一以负减正得三四六五三二一九五六四八六为用数之对数以用数系降三位乃于首位加三得三三四六五三二一九五六四八六为一千零八之对数以系二与八与九叠乘所得乃二八九之三对数得二一五八三六二四九二九五二四九六五三八减之得八四五九八四一四二五六八三二二即七之对数也
用数一八
乘法八
第一数 三四七四三五五八五五二二六一四五 乘法乘之一乘二除得
二 一三八九七四二三四二九四一 同 二 三
三七四一一九五九一五七八二 同 三 四
四四四四七一七五四九五 同 四 五
五二八四六一九二三 同 五 六
六一八九七四六 同 六 七
七一三一 同 七 八
八 九
正数 三四七四四二五九七七六六三九一五一
负数 一三八九七八六八一五七四二九一
减得三四六五三二一九五六四八六
首位加三三三四六五三二一九五六四八六
三对数二一五八三六二四九二九五二四九六五三八
减得八四五九八四一四二五六八三二二 七之对数
按此用第二术开极多位九乘方法也旧法求二之对数亦以一二四为用数而以单一下十五空位零一之一为一率单一下十五空位零一之对数即今所用之对数根为二率用数开平方四十七次以其单一下之零数为三率求得四率然后以平方四十七次折小率一百四十余万亿乘之得用数之对数夫一率之一本可省除今既开极多位九乘方其折小之率分为一无量数而一无量数之一亦可省乘开方既用零数则第一数亦可置不用而竟以第二数为第一数止须求得开方零数以对数根乘之即得用数之对数而递求数之例干求得数后乘之与乘第一数得数必同故竟以乘法乘对数根为第一数也本应以对数根乘不用之第一数然后以乘法乘之而不用之第一数系单一故可省乘其求对数根用第一术而此用第二术者盖对数根之用数系多位畸零凡多位畸零者除便于乘故以一次除代一乘一除既用除法则用第一术与第二术同一畸零除法不如第一术之降位稍易矣若今所求之用数均位少而无畸零不惟乘法止一二位抑且用第二术则除法即单一可以省除故虽降位稍难而终以第二术为便也
假如有借数求二十三之对数
法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘之得一千零三十五降三位得一三五为二十三之用数减去首位单一得三五为递次乘法乃以乘法乘对数根得一五二三六八六六六一三八一三四为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得二六六五三七一六五七四一七为第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得六二六七九一九七五三四为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五为第四数负 如是递求得四五六一九九二九八三为第五数正 一三三五八一二九为第六数负 三九九一七四三一为第七数正 一二二二四七一为第八数负 三八三二为第九数正 一一九八为第十数负 三八为第十一数正 一为第十二数负 乃并诸正数得一五二六五一八二二四五七一九九五八又并诸负数得二六六一六八四三一六三五四三八一以负减正得一四九四三四九七九二九三六五五七七为用数之对数以系降三位乃于首位加三得三一四九四三四九七九二九三六五五七七为一千零三十五之对数以系五与九叠乘所得乃以五与九两对数相得一六五三三一二五一三七七五三四三六七九三减之得一三六一七二七八三六一七五九二八七八四即二十三之对数也
用数一三五
乘法三五
第一数 一五二三六八六六六一三八一三四 乘法乘之一乘二除得
二二六六五三七一六五七四一七 同 二 三
三六二六七九一九七五三四 同 三 四
四 一六二九二八二八九二二六五 同 四 五
五 四五六一九九二九八三 同 五 六
六一三三五八一二九 同 六 七
七三九九一七四三一 同 七 八
八 一二二二四七一 同 八 九
九 三八三二 同 九 十
十一一九八 同 十 十一
十一 二八 同 十一十二
十二一
正数 一五二六五一八二二四五七一九九五八
负数 二六六一六八四三一六三五四三八一
减得一四九四三四九七九二九三六五五七七
首位三一四九四三四九七九二九三六五五七七
加三
二与九 一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三
对数共
减得一三六一七二七八三六一七五九二八七八四 二十三之对数
按求十万对数前法为便以真数无畸零也若求八对数则真数本属畸零当依求对数根之法为便矣大要求对数之法难于起始以后偏求各数审择用之可耳又今所求之对数系十八位小除二位故须递求多数若求十一二位更不必递求多数也
附对数还原
论借用本数
对数为真数之率数而恒以一为本数第一率既有本数第一率又有率数则依以本数为根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒?而一不可用为本数何也整率之第一数可截本数依本率乘数累乘而得若零率之第一数则累乘中无其数对数之为率数皆零率也故其第一数不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率之首位单一者则任倍大若干率而累乘所得之第一数必仍为单一而不变整率遇单一而不变则零率遇单一其第一数必仍为单一而不变无疑矣故凡零率而第一数可用单一者则可知而亦可递求也第一数既必须用单一则以一为第一率内减单一其减余数大而不能递求矣此借用本数之所由来也而借用之本数莫善于一一何以言之盖用第二术则其首位之单一为通用除法既可省除而减去单一得一为通用乘法只须降六位亦可省乘而降位又易故以一一为便也惟诸对数系以一为第一率之率数今用一一为第一率则率数不合矣法先求得一一之对数用为除法凡诸对数以除法除之其所得数即以一一为本数第一率之率数也
假如以一一为借用本数求其对数为除法
法以对数根降六位得四三四二九四四八一九三三为第一数正 以第一数降六位一乘之二除之得二一七一四七二为第二数负 以第二数降六位二乘之三除之得一为第三数正 乃以第一第三两数相内减第二数得四三四二九四二六四七五六二为借用本数之对数即求率数之除法也
本数一一
乘法一
第一数 四三四二九四四八一九三三 乘法乘之一乘二除
二 二一七一四七二 同 二 三
三 一
得数 四三四二九四四八一九三四
减得四三四二九四二六四七五六二 一一之对数
论借用率数
前言以一一之对数除所设对数为率数而一一之对数单位下有七空位诸对数至小者止一空位今以借用本数之对数除之其率数必甚大率数既大则每次通用乘法虽降六位而每次用率数之乘法且不止升六位则位仍不降而不可求矣故须参用旧法先求得自二至九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九各对数列为表视所设对数有首位者先去首位其余足减何数之对数递次减之减至有六七空位然后以借用本数之对数除之为借用率数则率数小而可求矣求得数后再以递减对数之真数累乘之复视首位所减何数依数升若干位即得所求之真数也
求备减表
自二至九各对数依前所求列之自一一至一九各对数内其一二与一四与一五与一六与一八均可加减而得惟一一与一三与一七与一九须仍前求得用数然后递求若一一至一九则原数即可递求不必再求用数至一一至一九则递求各数与一一至一九相同止须逐数递降一位减之即得若一一至一九则再降一位减之以后各数并同此法
真数 假数小余
二三一二九九九五六六三九八一一九四九
三四七七一二一二五四七一九六六二四三七一
四六二五九九九一三二七九六二三八九八
五六九八九七四三三六一八八五一
六七七八一五一二五三八三六四三六三二
七八四五九八四一四二五六八三二二
八九三八九九八六九九一九四三五八四七
九九五四二四二五九四三九三二四八七四二
一一 四一三九二六八五一五八二二五四一七
一二 七九一八一二四六四七六二四八二六九
一三 一一三九四三三五二三六八三六七六九六
一四 一四六一二八三五六七八二四八二七一
一五 一七六九一二五九五五六八一二四二二
一六 二四一一九九八二六五五九二四七七九六
一七 二三四四八九二一三七八二七三九二七八
一八 二五五二七二五五一三三六六九一
一九 二七八七五三六九五二八二八九六一九
真数 假数小余
一一四三二一三七三七八二六四二五六六五
一二八六一七一七六一九一七五五九八
一三一二八三七二二四七五一七二二四六
一四一七三三三三九二九八七八三五四三
一五二一一八九二九九六九九三八七四四
一六二五三五八六五二六六六八四一二六四
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