五分六门长一尺阔五寸厚二寸欲知基深广防何
按题意谓以一尺三寸量基之广未余六寸以一尺一寸量之余二寸以一尺二寸量之余三寸以六寸量之亦余三寸以二寸五分量之余五分以一尺量之余三寸以五寸量之亦余三寸以二寸量之余一寸以求广也其求深之意亦同
答曰深三丈七尺一寸 广一丈二尺三寸
术曰以大衍求之置甎方长阔厚为元数以小者为单起一先求总等存一位约众位【列为多者随意立号】乃为元数连环求等约为定母以定相乗为衍母各定约衍母得衍数满定去之得竒竒定大衍得乗率以乗衍数得用数次置广深多少数多者乘用少者减元数余以乘用并为总满衍母去之不满得广深
草曰置四甎方长阔厚系八数城甎厚有分为小者皆通之为单大方得一百三十分小方得一百一十分城甎长得一百二十分阔得六十分厚得二十五分六门甎长得一百分阔得五十分厚得二十分
锥行置之右列位稍多甎名相互今假八音为号位先以最少者自木二十与革二十五求等得五乃反约木二十为四木四与土五十求等得二以约五十为二十五木四与匏六十求等得四约六十为一十五木四与竹一百求等得四约一百为二十五木四与丝一百一十求等得二约一百一十为五十五木四与石一百二十求等得四反约木四为一以木一与金求等得一不约为木与诸数求等约讫为一变得数具图如后
次以革二十五与土五十【按前巳约土为二十五次变不应复用原数然于得数却无碍】求等得二十五约五十为二以革二十五与匏一十五求等得五约匏一十五为三以革二十五与竹二十五求等得二十五约竹二十五为一又以革二十五与丝五十五求等得五约丝五十五得一十一以革二十五与石一百二十求等得五约一百二十为二十四以革二十五与金一百三十求等得五约金一百三十得二十六革与诸数徧约讫为二变具图如后
乃以土二与匏三竹一丝一十一求等皆得一不约以土二与石二十四求等得二及约土二得一又不土一与金二十六求等得一不约土与诸数约讫为三变具图如后
乃以匏三与竹一丝十十一求等皆得一又以匏三与石二十四求等得三约石二十四为八又匏三与金二十六求等得一不约匏与诸数约讫以为四变次以竹一与丝一十一与石二十四【按巳约为八云二十四误】与金二十六求等皆得一竹与诸数约讫为五变次以丝一十一与石二十四【按误同上】与金二十六求等皆得
一不约为六变复以石二 【十】四【按误同上】与金二十六求等得二约金二十六为一十三至此七变连环求等约俱毕得数为定母列图如后
右定母列右行以相乗得八万五千八百为衍母以各定母约衍母各得衍数其竹木土定得一者为无
金定一十三得衍数六千六百石定八得衍数一万七百二十五丝定一十一得衍数七千八百竹定一无衍匏定三得衍数二万八千六百土定一无衍数革定五五得衍数三千四百三十二木定一无衍数各满定母去之得竒数
金得竒九石得竒四丝得竒一匏得竒一草得竒七其丝匏得竒数一者便以一为乗率其金石革三处竒数皆与本定母用大衍求一入之各得乘率列右行
金得三石得五丝得一革得一革得一十八各为乘率寄左行衍数各得为用数
凡诸用数同类者类必多可互借以补无者先验革元数二十五与木元数二十为同类求等得五以等五约衍母八万五千八百得一万七千一百六十乃于革用数内减出以补木位为木用余四万四千六百一十六为革用次验竹元数一百与土五十为同类以求等得五十以等五十约衍母八万五千八百得一千七百一十六亦于革用内各借与竹土为用数革止余四万一千一百八十四为用得诸定用数
按无用数则此条可省借数转生烦扰非法也其所以可用借补者盖以同类之元数其较余之竒偶必同故一数可分用也然惟元数同偶者为然同竒则有不可用者此题可用因题中余数未过小元数
也
右行定用始列锥行假号求得今照甎色迁次列之
旣照甎次序列用数于右行乃验问题所谓大方甎砌广多六寸小方多二寸城甎长多三寸城甎阔多三寸厚多五分六门长多三寸阔多三寸厚多一寸对本用列左行各对乘之具图如后
两行乗毕金得一百一十八万八千丝得一十五万六千石得一百六十万八千七百五十匏得八十五万八千革得二十万五千九百二十竹得五万一十四百八十土亦得五万一千四百八十木得一十七万一千六百乃并前八位数共得四百二十九万一千二百三十分为总满衍母八万五千八百去之不满一千二百三十分约之为一丈二尺三寸为基元广数 乃求其深验问题大方砌少六寸小方砌少三寸城甎长砌少一寸阔砌少一寸厚砌多一寸六门长砌多一寸六门阔砌多一寸六门厚砌多一寸列为中行次置诸甎元数列为左行课减之具图如后
今以中行多者存之少者用减左行存者左行元数去之所减者左行余数存之金得七十丝得八十石得一百一十匏得五十革得一十竹一十土一十本一十具图如后
列为左行以对右行定用数具图如后
以左行多余数对乘右行用数金得一百三十八万六千丝得六十二万四千石得五百八十九万八千七百五十匏得一百四十三万革得四十一万一千八百四十竹得一万七千一百六十土得一万七千一百六十木得一十七万一千六百具图如后
并八位得九百九十五万六千五百一十分为总满衍母八万五千八百去之不满三千七百一十分展为三丈七尺一寸为基地深
推计土功
问筑堤起四县夫分给里歩皆同齐阔二丈里法三百六十歩歩法五尺八寸人夫以物力差定甲县物力一十三万八千六百贯乙县物力一十四万六千三百贯丙县物力一十九万二千五百贯丁县物力一十八万四千八百贯每力七百七十贯科一名春程人功平方六十尺先到县先给今甲乙二县俱毕丙县余五十一丈丁县余一十八丈不及一日全功欲知堤长及四县夫所筑各防何
按题意以四县修堤总长相同毎日所修之长不同以各每日所修之长计总长或适足或有余以求总长也但不正言其数而设堤阔数各县物力数一夫力数一夫平方数以取每日所修堤长数故令人不能骤觧
答曰堤长一十九里二百三十五歩五尺 甲县夫筑一千二十六丈【乙丙丁同】 乙县夫筑一千七百六十八歩五尺六寸【甲丙丁同】 丙县夫筑四里三百二十八歩五尺六寸【甲乙丁同】 丁县夫筑【同前三县数】
按四县所筑堤长等则丈数歩数里数皆同今以三数分载三县下而复注以与某县同殊混人目
术曰置各县力以程功程为实以力率乗堤齐阔为法除之得各县日筑复数【有分者通之互乗之得通数】求总等不约一位约众位曰元数连环求等约竒得定母陆续求衍数竒数乗率用数以丙丁县不及数乘本用并为总数以定母相乘为衍母满母去总数得各县分给里歩积尺数以县数因之为堤长各以里法歩法约之为里歩
草曰置甲县力一十三万八千六百贯乙县力一十四万六千三百贯丙县力一十九万二千五百贯丁县力一十八万四千八百贯以程功六十尺徧乗之皆以贯黙【按贯黙乃以一贯千文为法之名与前官陌市陌名相似】约之甲得八百三十一万六千尺乙得八百七十七万八千尺丙得一千一百五十五万尺丁得一千一百八万八千尺各为实次以力率七百七十贯乗堤齐阔二十尺亦以贯黙约之得一万五千四百尺为法徧除诸各实甲得五十四丈乙得五十七丈丙得七十五丈丁得七十二丈各为四县众夫每日筑长率按大衍术命曰复数列右行
以复数【按前术以尾数在十以上者为复数此数不合】求总等得三大【按此条原本皆以丈为寸于义无取今皆改正】以约三位多者不约其少者甲得五十四乙得一十九丙得二十五丁得二十四仍为元数次以两两连环求等各约之
按四县每日筑长数皆以丈为单位非位数也但一等数可以度尽四数必先求总等约之然后可以为元数即此可见总等法不独用于通数复数也
先以丁丙求等又以丁乙求等皆得一不约次以丁甲求等得六只约甲五十四得九不约丁次以丙与乙求等又以丙与甲九求等皆得一不约后以乙与甲九求等得一不约复验甲九与丁二十四犹可再约又求等得三以约丁二十四得八复乘甲为二十七
次以定母四位相乗求得一十万二千六百为衍母各以定母约衍母甲得三千八百乙得五千四百丙得四千一百四丁得一万二千八百二十五为衍数
满定母各去衍数甲不满二十乙不满四丙不满四丁不满一各为竒数
以各定母与本竒数用大衍求一术入之各得乘率甲得二十三乙得五丙得一十九丁得一
以右行乗率对乘寄左行衍数甲得八万七千四百乙得二万七千丙得七万七千九百七十六丁得一万二千八百二十五各为用数
次验四县所筑有无不及零丈尺寸今甲乙俱毕为无丙余五十一丈丁余一十八丈为有以丙丁二县余丈各乗丙丁二用数其丙五十一丈乗丙用七万七千九百七十六得三百九十七万六千七百七十六丈为丙总以丁余一十八乗丁用一万二千八百二十五得二十三万八百五十丈为丁总并二总得四百二十万七千六百二十六丈为总数亦以丈通衍母得一十万二千六百丈仍为衍母满去总数不满一千二十六丈为所求长率以四县因之得四十一百四丈为实以歩法五尺八寸除之得七千七十五歩五尺为堤长歩以里法三百六十歩约之得一十九里二百三十五歩五尺为堤通长置长率一千二十六丈以歩法约之得一千七百六十八歩五尺六寸又以里法约之得四里三百二十八歩五尺六寸为各县所给道里歩尺数
余米推数
问有米铺诉被盗去米一般三箩皆适满不记细数今左壁箩剰一合中间箩剰一升四合右壁箩剰一合后获贼系甲乙丙三名甲称当夜摸得马杓在左壁箩舀入布袋乙称踢着木履在中箩舀入袋丙称摸得漆椀在左邉箩舀入袋将归食用日乆不知数索到三器马杓满容一升九合木履容一升七合漆椀容一升二合欲知所失米数计赃结防三盗各防何答曰共失米九石五斗六升三合环甲米三石一斗九升二合 乙米三石一斗七升九合丙米三石一斗九升二合
术曰以大衍求之列三器所容为元数连环求等约为定母以相乘为衍母以定各约衍母得衍数各满定母去之得竒以竒定用大衍求得乘率以乘衍数得用数次以各剰米乗用并之为总满衍母去之不满为毎箩米各以剰米减之余为甲乙丙盗米并之为共失米
草曰列三器所容一升九合一升七合一升二合为元数连环求等皆得一不约便以元数相乗得三千八百七十六为衍母以各元数为定母以定约衍母得衍数甲得二百四乙得二百二十八丙得三百二十三各为衍数列左行以三定母甲十九乙十七丙十二列右行具图如后
各满定母去衍数得竒数甲得一十四乙得七得七丙得一十一
各以竒定用大衍求一各得乗率甲得十五乙得五丙得一十一各为乘率列右行对寄在行衍数具图如后
以丙行对乗之得用数甲得三千六十乙得一千一百四十丙得三千五百五十三列右行具图如后
既得用数始验问题三箩剰米列左行对三人所用以两行对乗之甲得三千六十乙得一万五千九百六十丙得三千五百五十三
并三数得二万二千五百七十三为总数满衍母三千八百七十六去之不满三千一百九十三合展为三石一斗九升三合为三箩适满细数以左箩剰一合减之余三石一斗九升二合为甲盗米又为丙盗米以中箩剰米一升四合减之余三石一斗七升九合为乙盗米并三人共得九石五斗六升三合为所失总米合问
程行计地
问军师获防当早防差急足三名徃都下节节走报具甲于前数日申末到乙后数日未正到丙于今日辰未到据供甲日行三百里乙日行二百四十里丙日行一百八十里问自军前至都里数及三人各行日数防何
答曰军前至都三千三百里 甲行一十一日乙行一十三日四时半丙行一十八日二时
术曰以大衍求之置各行里先求总等存一约众得原里次以连环求等约竒复乘偶得定母以定相乘为衍母满定除衍
衍得乘率以乘衍数得用数 次置辰刻正末乗各行里为实以昼六时约之得余里各乗用数并为总满衍母去得所求至都里以各日行约之得日辰刻数草曰置甲三百里乙二百四十里丙一百八十里先求总等得六十只存甲三百勿约乃约乙二百四十得四次约丙一百八十得三各为元数连环求等
先以丙乙求等得一不约次以丙甲求等三于术约竒不约偶盖以等三约三因得一为竒卢无衍数乃便径先约甲三百为一百复以等三兼丙三为九既丙九为竒甲百为偶此即是约竒弗约偶次以一四与甲百求等得四以四约一百得二十五为甲复以四乗乙四得一十六为乙各为定母
以定母
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