今尺七寸二分九厘【今案古尺十寸当今尺八寸一分故黄钟之管于古尺为九寸于今尺为七寸二分九厘也】
大吕古尺八寸四分二厘七毫今尺六寸八分二厘六毫
太蔟古尺八寸今尺六寸四分八厘
夹钟古尺七寸四分九厘一毫今尺六寸零六厘八毫
姑洗古尺七寸一分一厘一毫今尺五寸七分六厘仲吕古尺六寸六分五厘九毫今尺五寸三分九厘三毫
蕤宾古尺六寸三分二厘今尺五寸一分二厘林钟古尺六寸今尺四寸八分六厘
夷则古尺五寸六分一厘八豪今尺四寸五分五厘一毫
南吕古尺五寸三分三厘三毫今尺四寸三分二厘无射古尺四寸九分九厘四毫今尺四寸零四厘五毫
应钟古尺四寸七分四厘今尺三寸八分四厘
蕙田案以上黄钟寸法
汉书律厯志黄钟八百一十分
后汉郑康成月令注曰凡律空围九分
蔡氏邕铜龠铭曰龠黄钟之宫空圆九分容黍千二百粒
月令章句曰黄钟之管径三分围九分
孟氏康曰黄钟律孔径三分参天之数围九分终天之数
韦氏昭曰黄钟管径三分围九分因而九之九九八十一故黄钟之数立焉
晋志曰十二律空径三分
隋志曰黄钟之管径三分长九寸
宋史志曰皇祐中诏王洙范镇如房庶说造律径三分围九分容千二百黍
胡氏瑗曰黄钟径三分四厘六毫围十分三厘八毫又曰黄钟律管每长一分内实十三黍又三分黍之一围中容九方分也后儒执守孤法多不能贯知权量之法但制尺求律便为坚证因谓围九分者取围圆九分尔以是围九分之误遂有径三分之说若从径三围九之法则黄钟之管止容九百黍积止六百七分半如此则黄钟之声无从而正权量之法无从而生
房氏庶曰大其空径四厘六毫是以乐声太髙范氏镇曰古律空径三分围九分今新律三分四厘六毫此四厘六毫何从出 又曰古者以竹围为律竹形本圆何以方分置算又算法圆分谓之径圆方分谓之方斜所谓径三围九方五斜七是也今圆分何以方法算之此算法之非是也
司马氏光曰径三围九数家言其大要耳若以宻率言之径七分围二十有二分也
胡氏铨曰班固以八十一分为黄钟之实起十二律之周径度其长以容其实初未尝有径三围九之说也康之徒惑于八十一分之实以一寸为九分而不察方圆之异于是径三围九之论兴焉夫律之形圆如以为径三围九则刓其四角之方而不足于九分之数以之容黍岂能至于千二百哉然则所谓围九分方也何以知之知龠之方则知黄钟之分安得而不方哉围九分方而圜之则径不止于三分矣故夫径三围九之说孟康为之也
朱子钟律篇曰黄钟围九分径三分四厘六毫 又曰古者只说空围九分不说径三分盖不啻三分有竒也
蔡氏元定曰空围九分积八百一十分
又曰案十二律围径自先汉以前传记并无明文惟班志云黄钟八百一十分由此之义起十二律之周径然其说乃自以律之长自乗而因之以十配合为说耳未可以为据也惟审度章云一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分嘉量章则以千二百黍实其龠谨权衡章则以千二百黍为十二铢则是累九十黍以为长积千二百黍以为广可见也夫长九十黍容千二百黍则空围当有九方分乃是围十分三厘八毫径三分四厘六毫也每一分容十三黍又三分黍之一以九十因之则一千二百也又汉斛铭文云律嘉量方尺圆其外庣旁九厘五毫幂百六十二寸深尺积一千六百二十寸容十斗嘉量之法合龠为合十合为升十升为斗十斗为石一石积一千六百一十寸为分者一百六十二万一斗积一百六十二寸为分者十六万二千一升积十六寸二分为分者一万六千二百一合积一寸六分二厘为分者一千六百二十则黄钟之龠为八百一十分明矣空围八百一十分则长累九十黍广容一千二百黍矣盖十其广之分以为长十一其长之分以为广自然之数也自孟康以律之长十之一为围之谬其后韦昭之徒遂皆有径三分之说而隋志始着以为定论然累九十黍径三黍止容黍八百有竒终与一千二百黍之法两不相通而律竟不成唐因声制乐虽近于古而律亦非是本朝承袭皆不能觉独胡安定以为九分者九方分也以破径三分之法然所定之律空围不同则亦不成律矣
性理大全彭氏曰黄钟律管有周有径有面幂有空围内积有从长如史记论纵长律歴志论纵长及积东汉郑氏注月令论幂东汉蔡氏月令章句论纵长皆不易之论独周径之说汉以前俱无明文汉律歴志开端未竟东汉蔡氏始创为径三分之说晋孟氏以后诸儒续为径三分围九分之说宋胡氏蔡氏又为径三分四厘六毫围十分三厘八毫之说然考之古方围周径幂积皆未有合尝依东汉蔡氏所言径三分以宻率乗除止得空围内面幂七分七厘竒乃少一分九十二厘竒空围内积实止得六百三十六分竒乃少一百七十三分竒如此则黄钟之管无乃太狭盖黄钟空积忽防若径内差一忽即面幂及积所差忽数至多此东汉蔡氏之说所以不合也晋孟氏诸儒言径三分围九分用径一围三之法虽是古率然以宻率推之径一则围三有竒假如径七则围当二十有二今依孟氏所言径三分则围长当九分四厘二毫一秒强不但止于九分也若依九分围长之数则径当止有二分八厘六毫二秒六忽强又不及三分也此晋孟氏诸儒之说所以不合也宋胡氏不主径三围九之说大意疑其管狭耳然所言径三分四厘六豪围十分三厘八毫亦用径一围三之率若依所言三分四厘六毫径当得围十分八厘七毫六秒二忽强不但止于十分三厘八毫也若依十分三厘八毫围则径止得三分三厘竒又不及三分四厘六毫也此宋胡氏之说所以不合也宋蔡氏说径围分数与胡氏同至于算法用圆田术三分益一得一十二开方除之求径又以径相乗以管长乗之用三分益一四分退一之法求幂积今姑依其说以九方分平置又三分益一以三方分割置于九方分之外其积十二方分其纵横可得三分四厘六毫强不尽二毫八丝四忽如蔡氏之说但依此径以宻率相乗则空围内面幂不但止得九方分乃得九方分零四十厘六十毫五十七秒十四忽竒空围内积实不但止得八百一十分乃得八百四十六分五百四十五厘一百四十二秒六百忽竒如此则黄钟之管无乃太大细考之方内之圆所占者不止四分三圆外之方所当退者又不及四分一以所知三分益一四分退一乃算家大约之法此宋蔡氏之说所以又不能尽合也今欲求黄钟的实定数取此管九寸寸作十分分作十厘厘作十毫毫作十秒秒作十忽以合天地五位终于十之数乃以十乗八十一得八百一十分以八百一十分配九十分管知此管长九十分空围中容八百一十分即十分管长空围中容九十分一分管长空围中容九分乃以此管面空围中所容九分以平方幂面推之知一分有百厘厘有百毫毫有百秒秒有百忽积而计之九平方分通有面幂九万万忽依宻率乗除得圆周长十分六厘三毫六秒八忽万分忽之六千三百一十二又以圆周求径计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五又以半径半周相乗仍得九万万忽内一忽弱通得面幂九平方分也既以周径相乗复得面幂如此则黄钟之广与长及空围内积实皆可计矣故面幂计九方分深一分管则空围内当有九立方分深九十分管计九十则空围内当有八百一十立方分此即黄钟一管之实其数与天地造化无不相合此算法所以成也算法既成之后或以竹或以铜别为之依其长作九十分乃取九十分之分计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五以合孔径如此则围长面幂与夫空围内积自然无不脗合特径数自入毫以下非可细分而算法积忽与秒不容不然耳
李氏光地古乐经传曰彭氏之算庶几得之秒忽之下有不尽之分则亦无形之可纪也盖方体之积十四则内容之圆其积十一故知益一退一之法为古人疎率以积求周者置积为实以八十八乗之以七除之平方开之以周求径者置周为实以径法七因之以周法二十二除之以周径求积者置周折半为实以径折半为法乗之此彭氏之说也若以积求径则置积为实以十四乗之以十一除之平方开之以径求周则置径为实以周法二十二乗之以径法七除之其所得之数亦皆符防
律吕正义定黄钟纵长体积面幂周径篇律吕新书黄钟长九寸空围九分【言圆面积九方分也】积八百一十分夫有纵长有体积则面幂围径自可得而考矣汉蔡邕晋孟康吴韦昭皆主径三围九以今所定比例四率法求之得面幂六分七十五厘【平方定位法百厘成分百分成寸故曰几十几分几十几厘】以长九十分乗之得体积六百零七分五百厘【立方定位法千厘成分千分成寸故曰几百几十几分几百几十几厘】比之八百一十分母乃太少宋胡瑗蔡元定主径三分四厘六毫用定率求之得面幂九分三十九厘三十九毫以长九十分乗之得体积八百四十五分四百五十一厘比之八百一十分则又过之惟刘宋祖冲之宻率求得径三分三厘八毫四丝四忽面幂八分九十九厘九十七毫有竒其数为近但其法以周率二十二四之犹用圆田术三分益一起算故小余犹未宻耳夫执一说而不参互相求则于理有遗参互相求而不用宻法比例则于数有遗今置黄钟古尺积八百一十分以九十分归之得面幂九方分用比例四率相求表内面线相等面积不同定数为比例以圆面积一十万为一率方面积一十二万七千三百二十四为二率今面幂九方分为三率推得四率一十一分四十五厘九十毫为圆面幂经线相等正方面积以开平方得三分三厘八毫五丝一忽乃黄钟古尺之径数也求周则以周径相求定数为比例以径一百一十三为一率周三百五十五为二率今径三分三厘八毫五丝一忽为三率推得四率十分零六厘三毫四丝六忽为黄钟古尺之内周数也较以时尺则黄钟古尺之积比今尺之积即古尺自乗再乗之数比今尺自乗再乗之数【因体积相比故用自乗再乗】以古尺一百分自乗再乗得一百万分为一率今尺八十一分自乗再乗得五十三万一千四百四十一分为二率黄钟古尺积八百一十分为三率推得四率四百三十分四百六十七厘二百一十毫乃黄钟今尺之积也如求面幂则以今尺长七寸二分九厘归之得面幂五分九十厘四十九毫如法求径得二分七厘四豪一丝九忽是为黄钟今尺之径数若以古尺之径数如法比例以推今尺之径数或以今尺之径数如法比例以推古尺之径数皆彼此协合夫以纵长体积面幂周径古尺今尺参互相求莫不环转符契而无毫厘之差始为立法之宻而于理数无遗也【呉氏鼐曰黄钟长九寸空围九分则郑蔡孟韦之说是也长九十分容千二百黍汉志之说而宋史宗之也积八百一十分亦汉志之说而蔡氏宗之也以空围九分为九方分者则胡安定之说也径三三八五周一零六三则正义之说是也驳径三围九则温公是也聚古人算律之言参差不一者断案精凿则彭氏也合古今尺比例而得黄钟真度者正义也此义明而诸家疑似之说可剖而断也】
蕙田案以上黄钟纵长体积面幂周径
汉志八百一十分黄钟之实也三百六十分林钟之实也六百四十分太簇之实也
孟康曰黄钟长九寸围九分林钟长六寸围六分太簇长八寸围八分
蔡邕月令章句曰黄钟之管长九寸其余皆稍短惟大小围径无増减
隋志曰汉志云黄钟围九分林钟围六分太簇围八分续志及郑康成并云十二律空皆径三分围九分后魏安丰王依班固志林钟空围六分及太簇空围八分作律吹之不合黄钟商征之声皆空围九分乃与均钟合开皇九年牛辛彦之郑译何妥等参考古律制黄钟之管俱径三分其九寸度有损益故容黍不同
范镇曰黄钟长九寸三分损一为林钟长六寸律皆围九分黄钟积实得八百一十分三分损一林钟得五百四十分十二律皆如此
律吕新书东都之乱乐律散亡邕之时未乱当亲见之孟康时汉斛虽存而律不存康云黄钟林钟太簇围径各异无足怪 又曰胡安定见仲吕反生不及黄钟之数乃迁就林钟以下诸律围径以就黄钟清声以夷则南吕为径三分围九分无射为径二分八厘围八分四厘应钟为径二分六厘五毫围七分九厘五毫【范蜀公曰胡先生律围十分三厘八毫者八九分者一八分四厘者一九厘五毫者一皆非是】夫律以空围之同故其长短之异可以定声之髙下令其律之空围如此则亦不成律矣
律吕正义律吕之见于史志者其说不一有主同径者有主不同径者夫惟径之同乃得其长短之异而声字之清浊赖之以辨使径不同而长短又异则成同形十二律吕皆如一黄钟矣故同径之说乃十二律吕之定论也
吴氏鼎曰礼记月令郑注曰凡律空围九分孔疏曰诸律虽长短有差其围皆以九分为限案此十二律围径无异之明文也汉志言黄钟八百一十分繇此之义起十二律之周径顾陈垿释之曰知律虽十二周径一也是也律吕新书论胡瑗围径不同之失及明韩邦竒志乐曰十二管随其长短而减其空围则于八百一十分十七万之数戾矣邢云路律考曰如孟康所云则应钟长四寸六分围四分六厘径止得一分五厘一分五厘之管涉于太细何以施吹何以成
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