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目录
译者序
推荐序
前言
致谢
符号表
第 1 章 绪论 1
1.1 最普遍的任务: 寻找低维结构 1
1.1.1 系统辨识和时序数据 1
1.1.2 人造世界中的模式和秩序 3
1.1.3 高效数据采集和处理 4
1.1.4 用图模型解释数据 7
1.2 简史.8
1.2.1 神经科学: 稀疏编码 9
1.2.2 信号处理: 稀疏纠错 .11
1.2.3 经典统计: 稀疏回归分析 14
1.2.4 数据分析: 主成分分析 16
1.3 当代 18
1.3.1 从高维灾难到高维福音 18
1.3.2 压缩感知、误差纠正和深度
学习.20
1.3.3 高维几何和非渐统计 21
1.3.4 可扩展优化: 凸与非凸 23
1.3.5 一场完美的风暴 25
1.4 习题 25
第一部分 基本原理
第 2 章 稀疏信号模型 28
2.1 稀疏信号建模的应用 28
2.1.1 医学影像中的实例 29
2.1.2 图像处理中的实例 32
2.1.3 人脸识别的实例 34
2.2 稀疏解的恢复 35
2.2.1 线性空间上的范数 36
2.2.2 .0 范数 38
2.2.3 最稀疏的解: 最小化 .0
范数.38
2.2.4 .0 最小化的计算复杂度.41
2.3 对稀疏恢复问题进行松弛 44
2.3.1 凸函数 .44
2.3.2 .0 范数的凸替代: .1 范数 .46
2.3.3 .1 最小化的简单测试 48
2.3.4 基于 Logan 现象的稀疏
纠错.53
2.4 总结 54
2.5 注记 55
2.6 习题 56
第 3 章 稀疏信号恢复的凸方法 61
3.1 为什么 .1 最小化能够成功? 几何
直观 61
3.2 关于不相干矩阵的第一正确性
结果 64
3.2.1 矩阵的相干性 64
3.2.2 .1 最小化的正确性 66
3.2.3 构造一个不相干矩阵 69
3.2.4 不相干性的局限性 71
3.3 更强的正确性结果 73
3.3.1 受限等距性质 73
3.3.2 受限强凸性条件 75
3.3.3 RIP 条件下 .1 最小化的正
确性.79
3.4 具有受限等距性质的矩阵 82
XXIV
3.4.1 Johnson-Lindenstrauss
引理.82
3.4.2 高斯随机矩阵的 RIP .85
3.4.3 非高斯矩阵的 RIP.89
3.5 含噪观测或者似稀疏性 91
3.5.1 稀疏信号的稳定恢复 92
3.5.2 非精确稀疏信号的恢复 100
3.6 稀疏恢复中的相变.102
3.6.1 关于相变的主要结论 103
3.6.2 通过系数空间几何看相变 104
3.6.3 通过观测空间几何看相变 107
3.6.4 支撑恢复的相变 108
3.7 总结 115
3.8 注记 116
3.9 习题 117
第 4 章 低秩矩阵恢复的凸方法 120
4.1 低秩建模的一些实例 121
4.1.1 从光度测量中重建三维
形状 121
4.1.2 推荐系统.122
4.1.3 欧几里得距离矩阵嵌入 123
4.1.4 潜语义分析.124
4.2 用奇异值分解表示低秩矩阵.124
4.2.1 基于非凸优化的奇异向量 125
4.2.2 最佳低秩矩阵似 128
4.3 恢复低秩矩阵 128
4.3.1 一般的秩最小化问题 128
4.3.2 秩最小化的凸松弛 129
4.3.3 核范数作为秩的凸包络 132
4.3.4 秩 RIP 条件下的核范数最小化
问题 134
4.3.5 随机测量的秩 RIP 139
4.3.6 噪声、非精确低秩和相变 144
4.4 低秩矩阵补全 149
4.4.1 利用核范数最小化求解矩阵
补全 150
4.4.2 增广拉格朗日乘子法 150
4.4.3 核范数最小化何时能够成
功? .153
4.4.4 证明核范数最小化的正
确性 155
4.4.5 含噪声的稳定矩阵补全 166
4.5 总结 167
4.6 注记 168
4.7 习题 169
第 5 章 分解低秩加稀疏矩阵 175
5.1 鲁棒主成分分析和应用实例.175
5.1.1 问题描述.175
5.1.2 矩阵刚性和植入团猜想 176
5.1.3 鲁棒主成分分析的应用 178
5.2 基于主成分追踪的鲁棒主成分
分析 180
5.2.1 稀疏低秩分离的凸松弛 180
5.2.2 用交替方向法求解主成分
追踪 181
5.2.3 主成分追踪的数值仿真与
实验 182
5.3 可辨识性和精确恢复 187
5.3.1 可辨识性条件 .187
5.3.2 主成分追踪的正确性 189
5.3.3 对主要结果的一些扩展 198
5.4 含噪声的稳定主成分追踪 201
5.5 压缩主成分追踪 205
5.6 带有被损坏元素的矩阵补全.206
5.7 总结 208
5.8 注记 209
5.9 习题 210
第 6 章 恢复广义低维模型 214
6.1 简明信号模型 214
6.1.1 原子集合及几个例子 215
6.1.2 结构化信号的原子范数最
小化 218
XXV
6.2 几何、测度集中与相变 221
6.2.1 作为两个不相交的锥的成功
条件 221
6.2.2 固有体积与运动公式 223
6.2.3 统计维数与相变 226
6.2.4 .1 范数下降锥的统计
维数 229
6.2.5 分解结构化信号中的
相变 232
6.3 凸松弛的局限性 235
6.3.1 多重结构的凸松弛的次
优性 235
6.3.2 高阶张量不可计算的凸
松弛 236
6.3.3 双线性问题没有凸松弛 237
6.3.4 非线性低维结构的存在 237
6.3.5 非凸问题表述和非凸优化的
回归 238
6.4 注记 238
6.5 习题 239
第 7 章 恢复低维模型的非凸方法.241
7.1 简介 241
7.1.1 非线性、对称性与非凸性 242
7.1.2 对称性和优化问题的全局
几何 245
7.1.3 对称非凸问题的分类 246
7.2 具有旋转对称性的非凸问题.248
7.2.1 极简的例子: 只含一个未知数
的相位恢复.248
7.2.2 广义相位恢复 .249
7.2.3 低秩矩阵恢复 .252
7.2.4 其他具有旋转对称性的非凸
问题 258
7.3 具有离散对称性的非凸问题.258
7.3.1 极简例子: 1-稀疏的字典
学习 259
7.3.2 字典学习.262
7.3.3 稀疏盲解卷积 .264
7.3.4 其他具有离散对称性的非凸
