组合数、递推序列与同余式

目录

前言

常用记号

第1讲 数学是什么 1

1.1 数学的本性 1

1.2 数学的特点 2

参考读物 4

第2讲 **不等式 5

参考读物 12

第3讲 抽屉原理与Ramsey定理 13

3.1 抽屉原理 13

3.2 Ramsey数 R(n， k) 15

参考读物 18

第4讲 组合数与组合恒等式 19

参考读物 28

第5讲 连分数与Pell方程 29

5.1 辗转相除法 29

5.2 有限连分数 30

5.3 无限连分数 32

5.4 循环连分数 39

5.5 d连分数与Pell方程 43

参考读物 49

第6讲 代数方程 50

参考读物 60

第7讲 素数与同余方程 61

7.1 素数 61

7.2 同余概念与性质 64

7.3 Fermat小定理和Wilson定理 65

7.4 同余方程 67

参考读物 68

第8讲 同余覆盖系 69

参考读物 78

第9讲 二次互反律 79

参考读物 86

第10讲 Chebyshev 多项式 87

参考读物 92

第11讲 Legendre多项式 93

参考读物 101

第12讲 sin x的无穷乘积公式 102

参考读物 106

第13讲 二元二次型 107

参考读物 122

第14讲 分拆数与因子和 123

参考读物 132

第15讲 Stirling数 133

参考读物 148

第16讲 p-正则函数 149

参考读物 157

第17讲 Bernoulli数与 Euler数 158

17.1 Bernoulli数与Bernoulli多项式 158

17.2 Euler数与Euler多项式 170

参考读物 177

第18讲 线性递推序列与三、四次同余式 179

18.1 高阶递推序列 179

18.2 Lucas序列 185

18.3 三、四次同余式 190

参考读物 199

第19讲 组合数等距求和公式及其应用 201

19.1 Tnr(3)与Tnr(4)公式及其应用 201

19.2 Tn r(5)与Tnr(6)公式 206

19.3 Sr(n)递推关系与Tnr(9)公式 211

19.4 Tnr(8)公式与Pell数同余式 218

19.5 Tnr(10)公式与Fibonacci数同余式 223

19.6 Tnr(12)公式 231

19.7 与Tnr(m)有关的同余式 234

参考读物 236

第20讲 不变序列与反不变序列 237

20.1 不变序列例子与转换关系 237

20.2 不变序列的递推关系 249

20.3 不变序列的变换公式 259

20.4 不变序列的同余式 263

参考读物 267

第21讲 二项式系数的同余式 268

21.1 单个二项式系数和的同余式 268

21.2 两个二项式系数乘积之和的同余式 281

21.3 三个二项式系数乘积之和的同余式 308

参考读物 325

第22讲 类似Apéry数 328

22.1 三项递推序列的恒等式与同余式 328

22.2 **类Apéry-like数 332

22.3 第二类Apéry-like数 365

参考读物 390

第23讲 群的概念与性质 395

23.1 群的定义与例 395

23.2 陪集与Lagrange定理 399

23.3 子群与正规子群 401

23.4 群的同构 403

参考读物 404

第24讲 三、四次剩余 405

24.1 Euler与Gauss关于三、四次剩余的工作 405

24.2 三次互反律及其优先权争论 407

24.3 Dirichlet， Scholz和Burde的有理四次互反律 409

24.4 用群表述的有理三、四次互反律 410

24.5 用二元二次型判别三、四次剩余 413

参考读物 414

第25讲 对称设计与差集 416

25.1 对称设计 416

25.2 差集 419

参考读物 422

附录 数学英雄Euler 423

参考读物 427