工程数学 数学物理方程（第三版）

第一章 数学物理方程概述

1 偏微分方程举例和基本概念

1.1 偏微分方程举例

1.2 基本概念

2 方程及定解问题的物理推导

2.1 弦振动方程

2.2 薄膜平衡方程

2.3 热传导方程

2.4 定解条件和定解问题

3 两个重要原理

3.1 杜阿梅尔原理

3.2 叠加原理

习题一

第二章 分离变量法和积分变换法

1 齐次方程的第一初边值问题

1.1 有界弦的自由振动

1.2 解的物理意义

1.3 热传导方程的第一初边值问题

2 齐次方程的第二初边值问题

2.1 热传导方程的第二齐边值问题

2.2 弦振动方程的第二初边值问题

3 二维拉普拉斯方程

3.1 圆域内的第一边值问题

3.2 圆域外的第一边值问题

4 非齐次定解问题的解法

4.1 非齐次方程的求解

4.2 非齐次边界条件的处理

4.3 特殊的方程非齐次项处理

5 积分变换法

5.1 傅里叶变换法

5.2 拉普拉斯变换法

习题二

第三章 行波法

1 弦振动方程的初值问题

1.1 达朗贝尔公式

1.2 达朗贝尔解的物理意义

1.3 二阶偏微分方程的分类

2 高维齐次波动方程

2.1 三维波动方程（平均值法)

2.2 二维波动方程（降维法）

2.3 泊松公式的物理意义

3 非齐次波动方程

习题三

第四章 格林函数法

1 拉普拉斯方程边值问题的提法

2 调和函数

2.1 格林公式

2.2 拉普拉斯方程的对称解

2.3 调和函数的基本性质

3 格林函数

3.1 格林函数的定义

3.2 格林函数的性质和物理意义

4 几类特殊区域问题的求解

习题四

第五章 勒让德多项式

1 勒让德方程的导出

2 勒让德方程的幂级数解

3 勒让德多项式

4 勒让德多项式的母函数及其递推公式

4.1 勒让德多项式的母函数

4.2 勒让德多项式的递推公式

5 勒让德多项式的正交性

6 勒让德多项式的应用

习题五

第六章 贝塞尔函数

1 贝塞尔方程的导出

2 贝塞尔方程的级数解

2.1 贝塞尔方程的求解

2.2 贝塞尔方程的通解

3 贝塞尔函数的母函数及递推公式

3.1 贝塞尔函数的母函数

3.2 贝塞尔函数的递推公式

4 函数展成贝塞尔函数的级数

4.1 贝塞尔函数零点的性质

4.2 贝塞尔函数的正交性和归一性

4.3 展开定理的叙述

5 贝塞尔函数的应用

习题六

第七章 变分法

1 泛函和泛函的极值问题

1.1 基本概念

1.2 变分法基本引理

1.3 泛函极值的必要条件

1.4 泛函极值的充分条件

2 泛函的条件极值问题

2.1 泛函的条件极值及其必要条件

2.2 应用举例

3 变分法应用

3.1 泛函极值问题与边值问题

3.2 泛函极值问题的近似解法

习题七

第八章 数学物理方程的有限差分法

1 差分方程的构造

2 调和方程的差分格式

3 热传导方程的差分格式

4 波动方程的差分格式

习题八

第九章 定解问题的适定性

1 适定性的概念

2 古典解的存在性

3 古典解的唯一性和稳定性

3.1 能量积分

3.2 古典解的唯一性

3.3 古典解的稳定性

习题九

附录Ⅰ 一般形式的二阶线性常微分方程固有值问题的一些结论

附录Ⅱ Γ函数的定义和基本性质

部分习题参考答案

参考文献