相消得□□□平方开得一十五步为内方靣方【三十三之方靣以减于十之相和二千五百九十五步余三十五而一即圆径以方靣加四减圆径余半之即斜径也】
依条段求之十之相和步自之为幂以三之于头位以四千九百段见积减头位为实一千九百八十之相和步为从一千六百三十三为常法
义曰减数计三千六百七十五个圆径幂便是四千九百个圆田积也内漏下四千九百个方池却于从
内叠用了三千二
百六十七个方池
外犹剰一千六百
三十三个方靣幂故以之为常法也其从法元有一百九十八个方靣合用一百九十八之相和步为从今用一千九百八十个相和步者縁为相和步先进了一位也
第二十一问
今有方田三段共计积四千七百七十步只云方方相较等三方靣共并得一百八步问三方多少
答曰大方靣五十七步 中方靣三十六步 小
方靣一十五步
法曰立天元一为方差以减中方靣
【置并数三而一即得中方靣】得□丨为小方靣也
以自之得□□丨为小方积于头再
立天元方差加入中方靣得□丨为
大方靣以自之得□□丨为大方积于次位又列中方靣□自之得下□为中方积于下位三位相并得□○□为一段如积数寄左然后列真积四千七百七十步与左相消得□○□开平方得二十一步即是方差也【置方差数加中方即大方靣减中方即小方靣也】
依条段求之列并数以三约之所得即中方靣也以自之为幂又三之以减积为实无从二步常法义曰积步内减三个中方幂外有两个方故得二步
常法旧术又折半止得一个
方也
第二十二问
今有方田一段其西北隅被斜水占之外计地一千二百一十二步七分半只云从田东南隅至水楞四十五步半问田方靣多少
答曰田方靣三十五步
法曰立天元一为水占斜加入
云数四十五步半得□【元丨】为田
斜以自増乗得□步□丨为田
斜幂于头再立天元一水占斜
以自之为水占得小方积就分以一步九分六厘乗
之得【元○】□ 【步】为所展得水占积也以减头位得□□
□【步】为如积一段寄左然后列真积一千二百一十二步七分半以一步九分六厘乘之得二千三百七十六步九分九厘与左相消得□□□开平方得三步半为水占斜加至步为田斜身外减四即是方靣也
依条段求之展积内减至步幂为实二之至步为从九分六厘虚常法开平方得三步半即水占斜也义曰今将水占斜直命为小方池靣也
旧术曰列田积于头位又列至步除四则直至步以
自乗减头位余为实二之直至
为从以九分六厘为廉从开平
方得二步半加直至步三十二
步半得三十五步即田方靣也
此图即旧术条段也旧术减云
步为直至步入法而求得二步
半为直至不及方靣步新术展
积入法而求得三步半为水占
斜
益古演段卷上
钦定四库全书
益古演段卷中元 李冶 撰第二十三问
今有圆方田各为叚共计积一千三百七步半只云方面大如圆径一十步圆依密率问面径各多少答曰方面三十一步 圆径二十一步
法曰立天元一为圆径加一十步得□丨为方面以自之得□【○二】丨为方田积以十四之得下式□□□
为十四叚方田积于头又立天元
圆径以自乗为幂又以十一之得
【太○】□便为十四叚圆田积【依密率合以径
自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就为十四分母】
【也】以并入头位得□□□为十四叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分十四之得一万八千三百五步与左相消得□□□开平方除之得二十一步为密率径也加不及步为方田也
依条叚求之十四之积步于上内减十四叚不及步幂为实二十八之不及步为从二十五步常法
义曰将此十四个方幂之式
只作一个方幂求之自见隅
从也
第二十四问
今有方圆田合一叚共计积一千四百六十七步只云方面与圆径相穿得五十四步问面径各多少答曰方面一十二步 圆径四十二步
法曰立天元一为圆径减穿步五十
四步得□丨为方田面以自増乗得
下式□□丨为方田积于头位再立
天元圆径以自之又三之四而一得
【元○】□为圆田积也并入头位得□□□为一叚如积寄左然后列真积一千四百六十七步与左相消得□□□倒积倒从开平方得四十二步为圆田径也以减穿步即方面
按法内所言倒积倒从即飜积法也盖初商积常减原积此独以原积减初商积倍防常减従步此独以従步减倍防乃平方中之一变也古法多用之今依数布算于后以存其式
法列积一千四百四十九步为实以一百零八步为
长与一濶又七分半之和即从数求
濶初商四十步以一濶七分半乗之
得七十步以减和数余三十八步以
初商乗之得一千五百二十步为初
商积大扵原积反减之余实七十一
步乃二因
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