一濶七分半所乗初商之
数得一百四十步大扵和数反减之
余三十二步为次商防次商二步以
一濶七分半乗之得三步半为次商
隅凡和数防隅相减此反相加得三
十五步半以次商乗之得七十一步为次商积与余积相减恰尽开得濶四十二步
依条叚求之穿步幂内减田积为实倍穿步为従一步七分半虚常法
义曰二之従步内元减了七分半
又叠了一步计虚却一步七分半
也
第二十五问
今有方圆田各一叚共计积一千三百七步半只云方周大如圆周五十八步问方圆各多少【圆依密率】
答曰方周一百二十四步 圆周六十六步
法曰立天元一为圆周加周差五十
八步得□丨为方田周以自増乗得
下式□□丨为方周幂便是十六个
方田积又就密率分母一十一之得
□□□为一百七十六叚方田积于头又立天元圆周以自之为幂又就分一十四之得【元○】□为一百七十六叚圆田积【依密率周上求积合以周自乗又以七乗之如八十八而一为一叚田积也今又周宻上更以十四乗之则合用一百七十六而一故就分便为此数】以添入头位得□□□共为一百七十六叚如积寄左然后列真积一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三万一百二十步与左相消得□□□开平方得六十六步为圆田周也加多步见方周
依条叚求之一百七十六之积内减一十一叚多步幂为实二十二之多步为从二十五步常法
义曰一百七十六之积步内
有一十一个方周方一十四
个圆周方也今画此式其一
十四个圆周方与一十一个圆周方大小俱同者止为欲见差步权作此式其实合作一十二叚圆式求之其实自见也【按十一方周幂十四圆周幂共积内减去十一不及幂余不及步乗圆周长方二十二圆周幂二十五故以二十二不及步为従二十五为隅也】
第二十六问
今有方圆田各一叚共计一千四百五十六步只云方周大如圆周方圆周共相和得二百步问二周各多少答曰方周一百二十八步 圆周七十二步
法曰立天元一为圆周减于相和二
百步得□丨为方周以自乗得□□
丨为方周幂【是十六个方积也】就分三之得
□□□为四十八叚方田积扵头再
立天元圆周以自之又就分四之得【元○】□亦为四十八叚圆田积并入头位得□□□为四十八叚如积数寄左然后列真积一千四百五十六步就分四十八之得六万九千八百八十八步与左相消得□□□开平方得七十二步为圆田径也减共步则方周
依条叚求之三叚和步幂内减四十八之田积为实六之和步为従七益隅
义曰减时减过一个方六之従步内又欠六个方共虚了七步故以为益隅
第二十七问
今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方面不及圆径一十二步圆依密率问面径各多少答曰方面三十步 圆径四十二步
法曰立天元一为方面加不及一十
二步得□丨为圆径以自之得□□
丨为圆径幂以一十一之得下式□
□□便为十四个圆积于头再立天
元方面以自之又就分一十四之得【元○】□为十四个方积也并又头位得□□□为十四叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分一十四之得三万二千四步与左相消得下式□□□平方开之得三十步即方面也加不及一十二步即圆径也依条叚求之十四之真积内减一十一叚差步幂为实二十二之差步为従差步即不及步二十五歩常法
义曰十四之积步内有一十
一个圆径方与一十四个方
面方此式与第二十五问畧
同其一十一个圆径幂有十一个方正当十一叚之其数自见也
第二十八问
今有方圆田各一叚共计积二千二百八十六步只云方周不及圆周一十二步问周各若干【圆依密率】
答曰方周一百二十步 圆周一百三十二步
法曰立天元一为方周加不及步一十二得【太□】丨为圆周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□
为一百七十六叚密率积扵头再立
天元方周以自之为方积一十六叚
又就分一十一之得【元○】□便为一百
七十六叚方田积并入头位得下式
□□□为一百七十六叚如积数寄左然后列真积二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十万二千三百三十六步与左相消得□□□开平方得一百二十步为方周加不及步即圆周也依条叚求之一百七十六之真积内减十四叚差步幂为方实二十八之差步为従二十五常法
义曰所减数乃十四叚不及
步幂也
第二十九问
今有方圆田各一叚共计积一千四百四十三步只云圆周大如方周方圆周并得一百九十八步问二周各多少
答曰方周九十六步 圆周一百二步
法曰立天元一为方周减共步一百
九十八得□丨为圆周以自増乗得
□□丨为十二叚圆田积四之得下
□□□为四十八叚圆田积扵头再
立天元方周以自之为十六叚方田积又就分三之得【元○】□便为四十八叚方田积并入头位得□□□为四十八叚如积寄左然后列真积一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六万九千二百六十四与左相消得□□□开平方得九十六步为方周也减于并数见圆周也依条叚求之四叚共步幂内减四十八之积为实八之共步为従七益隅
义曰八之从内合虚八个方今见有一个方外只虚了七步方也
第三十问
今有圆田二叚【一叚依圆三径一率一叚依密率】共积六百六十一步只云二径共相和得四十步问二径各数
答曰密径一十四步 古径二十六步
法曰立天元一为密径以减相和四十步得□丨为古径以自之得下□□丨为古径幂以三因之得□
□□合以四约之又就分母七之得
□□□为二十八叚古圆积于头再
立天元密圆径以自之又二十二之
得【元○】□为二十八叚密圆积也并入
头位得□□□为二十八叚如积寄左然后列真积六百六十一步就分二十八乗之得一万八千五百八步与左相消得□□□平方开之得一十四步为密圆径以减和步即古径也
依条叚求之二十一叚和步幂内减二十八之田积为实四十二之和步为从四十三步虚常法
义曰其二十八之田积内有古
积二十一叚密积二十二叚元初
减时减过一叚又并从步内合
除之数计虚却四十三个方也
第三十一问
今有直田一叚中心有圆池水占之外计地三千九百二十四步只云从外田角斜通内池径七十一步外田阔不及长九十四步问三事各多少
答曰圆池径一十二步 田长一百二十六步
阔三十二步
法曰立天元一为内圆径以减倍通
步一百四十二步得□丨为直田斜
以自乗得□□丨为两叚直田并一
叚较幂扵头再置阔不及长九十四
步自之得八千八百三十六步以减头位得□□丨为两叚直积数寄左再立天元圆径以自之为圆径幂三之二而一得【元○】□为两个池积数加入二之见积七千八百四十八步得□○□亦为二叚真积与寄左相消得□□□平方开之得一十二步为圆径也
依条叚求之倍通步为幂内减二之见积一个较幂为实四之通步为从半步常法
义曰従步内少一个圆径幂其
漏下底二个圆池共一步半今
将一步补了従步合除之数外
犹剰半步故以为常法
第三十二问
今有圆田一叚中心直池水占之外计地五千三百二十四步只云并内池长阔与外圆径等内池阔不及长三十六步问三事各多少
答曰外田径一百步 内池长六十八步 濶三
十二步
法曰立天元一为外圆径以自乗
三因四而一得【元○】□为圆积内减
了见积五千三百二十四步余得
□○□为水池直积也以四之得
□○□为四叚水池直积寄左再立天元圆径命为直积和步以自之得【元○】丨为四积一较幂内减了池较幂一千二百九十六步得□○丨亦为四叚池积与左相消得□○□平方开之得一百步为外圆径也阔不及长减圆径余折半见阔却以不及步加之即长也
依条叚求之四积内减较幂为实从空二步常法
义曰四之
圆积内有
四个水池
又扵见积内减了一个池较幂相并恰是一个和幂也今来池和与圆等共和幂恰是一个圆径幂也除外有两个方
第三十三问
今有圆田一叚中心有直池水占之外计地七千三百步只云并内池长濶少田径五十五步阔不及长三十五步问三事各多少
答曰田径一百步 内池长四十步 阔五步
法曰立天元一为外圆径自之
得数又三之四而一得【元○】□为
外圆田积也减见积七千三百
步得□○□为内池积也以四
之得□○□为四叚池积寄左再立天元圆径内减少径步五十五得□丨为池和也以自之得□□丨为四池一较幂内减池较幂一千二百二十五步得□□丨亦为四池积也与左相消得□□□平方开之得一百步为圆径也内减少径即水池和步内加一差即为二长若减一差即为二阔也
依条叚求之四之积步内减池较幂却加入少径幂为实二之少径为从二步常法
义曰四池并所减
底个较幂恰是一
个和自之
旧术下积步四之于头位又以少径步自乗加头位内却减阔不及长幂余折半为实用少径为従一步常法
第三十四问
今有圆田一叚内有直池水占之外计地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其池阔不及长三十五步问三事各若干
答曰圆田径一百步 池长六十步 濶二十五
步
法曰立天元一为外径内减倍
至步三十五步得□丨为池斜
以自之得□□丨为二积一较
幂于头又列阔不及长三十五
步以自之得□减头位得○□□为四池积寄左又立天元圆径以自之又三之便为四叚圆积内减四之见积二万四千步得下式□○□亦为四个池积也与左相消得□□丨平方开得一百步为外田圆径也圆径自之又三之四而一内减见积余为内池积也又用差步为従开方见池阔也
依条叚求之四之见积内加八叚至步幂却减两叚阔不及长幂为实八之至步为従一步常法
义曰四个圆积内
有四个虚直池于
积内又减了两叚
阔不及长幂合成两个池斜幂也八个従步内贴入八个斜至步幂其数与圆径正相应也外恰有一步方
第三十五问
今有圆田一叚中心有直池水占之外计地五千七百六十步只云从外田东南楞至内池西北角通斜一百一十三步其内池阔不及长三十四步问三事各多少
答曰外圆田径一百二十步 池长九十步 阔
五十六步
法曰立天元一为角斜加通步
得□丨为圆径以自之得□□
丨为圆径幂又三之得□□□
为四叚圆田积也内减了四之
见积二万三千四十步得□□□为四叚内直池寄左再立天元角斜以减通步为池斜以自之得□□丨为池斜幂于头又列长平【按平即阔】较三十四步以自之得一千一百五十六步以减头位余□□丨为二池积也又倍之得□□□亦为四直池与左相消得□□丨开平方得七步为角斜也
依条叚求之四之积步内减两叚阔不及长幂又减一叚通步幂为实十之通步为従一步隅法
义曰两个较幂并
四个池积该两个
斜幂也于四个圆
积内减此两个斜幂外更减了一个通步幂恰是十之从外有一步常法也
第三十六问
今有圆田一叚中心有直池水占之外计地六千步只云従内池四角斜至田楞各一十七步半其内池长阔共相和得八十五步问三事各多少
答曰外田径一百步 池长六十步 阔二十五
步
法曰立天元一为内池斜加入
倍至步三十五得□丨为外圆
径以自之又三之得□□□为
四叚圆积也内减四之见积二
万四千步得下□□□为四个池积寄左乃置内池和八十五步以自之得□为四积一较幂于头再立天元内池斜以自之得【元○】丨为二池积一较幂以减于头位得□○丨为二池积也又倍之得□○□亦为四池积与左相消得□□□平方开得六十五步为内池斜
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