加倍至步即圆径也径自之又三之四而一内减去田积余实以和步为从一虚隅开平方见阔也依条叚求之四之积步内加两叚和步幂却减十二叚至步幂为实十二之至步为从五步常法
义曰所加两个和
幂该八积二较幂
数内元有四虚池
外有四积二较幂其实只是添了两个池斜幂也于四圆积内除従步占外元有三个方今又加入两个池斜幂共得五步故五为常法
第三十七问
今有圆田一叚中心有直池水占之外计地九千一百二十步只云従外田楞通内池斜一百一十六步半其内池长阔共相和得一百二十七步问三事各多少
答曰圆田径一百二十步池长一百一十二步
阔一十五步
法曰立天元一为角斜加通步
一百一十六步半□步丨为圆
径以自之得□□丨为圆径幂
以三之得□□□为四叚圆田
也内减四之见积三万六千四百八十步得□步□□为四叚内池积寄左再立天元角斜以减通步得□步丨为内池斜以自乗得□步□丨为二积一较幂于头又列池和步以自乗得□内减头位余得□【元】□丨为二池积也倍之得下□步□□亦为四池积与左相消得□步□□平方开之得三步半为角斜也加通步为圆径
依条叚求之四之积步内加两叚和步幂却减五个通步幂余为实二之通步为从五步为常法
义曰两个和幂内虚了四池只是两个池斜幂今将两个池斜幂减于两个通步幂止有二甲二乙所占之地今又将二甲二乙及三叚通步幂并以减于四之见积外实在两个通步从五个方也
第三十八问
今有水旱田各一叚共计积二千六百二十五步只云水田长阔共一百步其旱地阔不及长三十五步而不及水地阔十步问水旱地长阔各若干
答曰水地长七十五步 阔二十五步 旱地长
五十步 阔一十五步
法曰立天元一为旱地阔加旱
阔不及水阔一十步得□丨为
水地阔以减水田长阔共一百
步得□丨为水田长也以水田长阔相乗得□□丨为水田积扵头再置天元旱地阔加不及三十五步得□【兀丨】为旱田长也以天元乗之得【太○】□丨为旱田积也加入头位得□□为一叚如积寄左然后列真积二千六百二十五步与左相消得□□下法上实如法得一十五步为旱田阔也加阔不及长三十五步为旱田长也又扵旱阔内加不及水地阔一十步为水地阔也以水地阔减于水田长阔一百步余为水田长也
依条叚求之以水田共步乗二阔差于头位以二阔差幂减头位得数复以减于田积为实列水田共步加入旱地长阔差内却减两个二阔差为法
义曰其水田阔二十五步为法内元多一个水旱二阔差数又积步内减了一叚旱阔为长二阔差为平底直积是又虚了一个水旱二阔差数故于法内减去两个阔差也
按此条圗与义不合盖写之误也今仍存旧式另拟图义扵后以明之
义曰水田长阔共步乗二阔差
内减差幂即附水田周一磬折
积也以减共积余同旱阔之两
长方共积为实其水田长阔比原数各减一阔差扵此长阔和内加旱田长阔较即两长方之共长故为法即得旱田阔也
第三十九问
今有直田一叚内有圆池水占之外计地三十九畆一分半只云従田两头至池各一百五步两畔至池各九步问三事各多少
答曰田长二百三十四步 阔四十二步 池径
二十四步
法曰立天元一为内池径加二之边
至一十八步得□丨为田阔又置天
元池径加二之头至二百一十步得
□丨为田长长阔相乗得下式□□
丨为直田积于头再置天元径以自之又三之四而一得○□为内池积以减头位得□□□为一叚如积数寄左然后列真积三十九亩一分半以亩法通之得九千三百九十六步与左相消得□□□开平方得二十四步为内池径也加二之邉至步为田阔若加二之头至步即田长
依条叚求之倍头至步与倍边步相乗以减田积为实并一头一边步又倍之为从二分半常法
义曰此问与第一问条叚颇同但所减者为四个小池积【按池当作隅】
第四十问
今有直田一叚中心有圆池水占之外计地四亩五十三步只云外田长平和得七十六步太半步従田四角去池楞各一十八步问外田水池径各多少答曰田长五十步 阔二十六步太 池径二十
步太
法曰立天元一为内池径加倍角至步三十六得□丨为直田斜以自之得□□丨为田斜幂【便是二积一较幂也】
又九之得下式□□□为十八积九
较幂也寄左列和步七十六步太【按太
即三分步之二】通分内子得□以自之得五
万二千九百步为九叚和幂于头【为九】
【叚和幂者元带三分母以自之得九也此九叚和幂该三十六直积九个较幂也】又置天元圆径以自之又三之四而一得【元○】□为一叚圆积也加入见积一千一十三步得□○□共为直积一叚又十八之得□○□为十八叚直积以减头位得□○□亦为九叚田斜幂与左相消得□□□合以平方开之今不可开【按不可开者谓防隅数多而得数又不能尽也】先以隅法二十二步半乗实二万三千单二步得五十一万七千五百四十五步正为实元従六百四十八负依旧为従一益隅平方开之得四百六十五步以元隅二十二步半约之得二十步三分之二为内池径也加倍至步为田斜以自之为二积一较幂又二之于头位以和步幂减头位余以平方开之即田较也加入和步折半为长若减于和步折半为阔也
依条叚求之列相和步自乗为幂内减倍积及四叚至步幂为实四之至步为从二步半常法
义曰和步幂内减了二直积只
有一叚斜幂也减二直积时漏
下两个圆池该一步半又正有
一步共计二步半常法也 求
较者先置池径二十步太□带三分母便为三个径也加入六之至步一百八步得□便为三个田斜也以自之得□为九叚斜幂【便是十八个直积九个较幂】倍之得□为三十六叚田积一十八叚较幂于头再置和步七十六步太□亦带三分母便为三个和也以自之得□为九叚和幂【便是三十六直积九较幂也】以减头位余□为九叚较幂也平方开之得七十步以三约之得二十三步三分步之一为田较也欲见田长阔及斜者准此法求之 又法求圆池径者立天元一为三个内池径以自之得【元○】丨为九叚池径幂便是十二叚圆积也加十二叚见积得□○丨为十二叚直积又身外加五得□○□为十八叚直田积扵头又列和步七十六步太通分内子得二百三十自之得□为和幂九叚【便是直积三十六叚较幂九叚也】内减头位得下式□○□为九叚斜幂数寄左再置天元圆径加六之角至步一百八步得□丨为三个田斜以自之得□□丨亦为九叚斜幂也与左相消得□□□开平方得六十二步为三个圆池径也以三约之得一个圆径二十步三分之二此名之分天元一术前法乃连枝同体术也【按分天元一术即天元一内带分求之得数而后约之连枝同体术即通分开方得数而后约之皆兼通分之法也】
第四十一问
今有直田一叚中心有圆池水占之外计地三千九百二十四步只云従外田角斜通池径七十一步外田长阔相和得一百五十八步问三事各多少
答曰圆径十二步 田长一百二十六步 阔三十二步
法曰立天元一为内圆径以减倍通
步一百四十二步得□丨为田斜以
自之得□□丨为二积一较幂于头
又立和步一百五十八步以自之得
□为四积一较幂以减头位得□□丨为二直积寄左又立天元池径以自之又三之二而一得【元○】□为两个池积也加入二之见积七千八百四十八步得□○□亦为一叚直积与左相消得□□□平方开之得一十二步为内池径也
依条叚求之二之积步内加四叚通步幂却减一叚和步幂为实四之通步为従二步半虚常法
义曰减一和步幂是减四积一
较幂也四之通步幂内减了一
个斜幂却又减过二个直积故
二之积步加之従内欠一个方
减二积时漏下二个圆池又该欠一个半方共欠二步半虚常法也
第四十二问
今有直田一叚中心有圆池水占之外计地一万八百步只云从外田角至水池楞六十五步其外田阔不及长七十步问二事各多少
答曰田长一百五十步 阔八十步 圆池径四
十步
法曰立天元一为内池径加倍至一
百三十步得□丨为田斜以自之得
□□丨为田斜幂于头又置田较七
十步以自之得□为较幂以减头位
得□□丨为二田积寄左再立天元池径以自之身外加五得【元○】□为两个池积也加二之见积二万一千六百步□○□亦为二直积与左相消得□□□开平方得四十步即池径也以径自之三之四而一加入见积为实以阔不及长为従开方得田阔依条叚求之二之田积内加较幂却减四叚至步幂为实四之至步为従半步虚常法
义曰二积内加一个较幂恰补
就一个斜幂也其二积内有两
个圆池是元虚了一步半方也
扵积内却实有一步除外止虚了半步也
益古演段卷中
<子部,天文算法类,算书之属,益古演段>
钦定四库全书
益古演叚卷下元 李冶 撰第四十三问
今有圆田三叚【一依古法一依宻率一依徽率】共计地二十畆五十二步一百七十五分步之二十三只云宻径多于古径九步徽径多于宻径九步问三径各多少
答曰古径三十六歩 宻径四十五步 徽径五
十四步
法曰立天元一为古径加多九步得
□丨为宻径以自之得下□□丨为
宻径幂又以十一乗之得□□□为
十四叚宻圆积于头又立天元古径
加二之多步一十八步得□丨为徽
径以自之得□□丨为徽径幂也又
以一百五十七乗之得□□□为二
百叚徽圆积于中【按徽率周一百五十七径五十径乗】
【周四归为圆幂今以径幂乗周当以径五十除之再四归之为圆幂不除便为五十乗之又四乗之之二百圆幂也】又置天元古径以自之又三之得【元○】□为四叚古圆积于下乃求三积齐同分母而并之先以分母一万七千五百【按此即十四除二十四万五十之数】乗十四叚宻圆积得□□□为二十四万五千叚宻圆积于头位次以分母一千二百二十五乗二百叚徽积得□□□为二十四万五千叚徽积于中位次以分母六万一千二百五十乗四叚古积得○○□为二十四万五千叚古积于下位三位相并得□□□为二十四万五千叚如积数寄左然后列见积通分内子得八十四万九千一百二十三就分以一千四百乗之得一十一亿八千八百七十七万二千二百与左相消得下式□□□平方开之得三十六步为方径也各加多步见徽宻二径也 义曰所以齐同于二十四万五千叚者以元母一百七十五乗一千四百得此数依条叚求之以一千四百乗田积于头位置徽径多古径自之为幂又以一千九十九【按置一千四百分以徽圆幂率一百五十七乗之方幂率二百除之即得】乗之减头位续置宻径多古径自之为幂又以一千一百【按置幂十】一【千四百分以宻率圆乗之方幂十四除之即得】乗之复减头位余为实又倍徽径多古径以千九十九乗之为徽从又倍宻径多古径以一千一百乗之为宻从并二从得五万九千三百六十四为从法亷常置三千二百四十九
义曰以一千四百乗积者取其三率皆可以除之也
齐同分母湏至于二十四万五千
叚者葢以分母一百七十五元乗
积数一千四百此二数相乗得二
十四万五千也
此问求真积实数 古径三十六得积九百七十二步 宻径四十五步得积一千五百九十一步一十四分步之一 徽径五十四步得积二千二百八十九步二百分步之一十二并三积全步四千八百五十二步外【宻零一十四分步之一徽零二百分步之一十二】以上维乗下位【宻子得二百分 徽子得一百六十八分】相并得三百六十八分为子实又上二位相乗得二千八百分为母法子母俱以十六约之为一百七十五分步之二十三 一千四百乗田积来厯盖只就宻率上定之也置一千四百在地以宻率十一之如十四而一为一千一百积 若以古率三之四而一则得一千五十积 若以徽率一百五十七乗之如二百而一得一千九十九积所以用一千四百乗积者縁古法四徽法二百皆可以除之也 求三积齐同分母元分母数一百七十五元乗积数一千四百此二数相乗二十四万五千即大分母也三积总率皆齐同于此既得此齐同分母乃各以先求到叚
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