□丨为直池积也又就分以一步九分六厘乗之得□□步为所展之池积也以减头位得□□□为所展如积一叚寄左然后列真积一千一百五十步以一步九分六厘乗之得二千二百五十五十四步与左相消得□□□开平方得二十五步为池濶也【又加二之邉至步又身外去四即外方面也】
依条叚求之展积内减四叚邉至步幂为实四之邉至步于头以一步九分六厘乗长濶差减头位余为从九分六厘虚常法
义曰所展池积内将四叚红【按原
图应减者以红色别之】积恰补作九分六
厘虚常法其两个所占半差于
减从时又以一步九分六厘乗
之者葢欲合身外加四所乗积也
按展积义多未备此条尤略今具图説以详之
义曰外四隅方所减之四至幂
也中十字积为实则池濶为隅
四之至步为从也附直池外斜
方展池积也平分上下二尖形
附于左右二尖形外成一原池濶乗展池正长之直方展池正长为原池长之一步九分六厘十字积与展池积之较为实是前从隅内应少原池长之一步九分六厘又为少原池长濶较之一步九分六厘并原池濶之一步九分六厘故展较减前从以为从展隅反减前隅为虚隅也
第五十五问
今有圆田一叚内有圆池水占之外计地二十三畆一分只云内外周径共相和得四百二十四步问内外周径各多少【图依宻率】
答曰外周二百八十六步径九十一步 内周一百一十步径三十五步 实径二十八步
法曰立天元为实径以减相和
步四百二十四得□丨为内外
周共步用天元实径乗之得□
丨为如积两叚寄左然后列二
之真积一万一千八十八步与左相消得□□丨开平方得二十八步为实径也以径步除田积于头位又二十二乗径步如七而一得数若加头位即外周若减头位即内周也
义曰以径步除田积所得乃半内周半外周共步也又据古率三个实径即是半个外内周差步也縁此问系是宻率故以二十二乗径以七约之也即得半差以加共步即是外周以减共步即是内周也又据古率三之实径以加减共步者縁共步便三空径三实径共数也于此共数内加三实径则恰是三个大圆径故为一个外周也若共数内减去三实径则正有三个小圆径故为一个内周也今是宻率故先以二十二之七而一所以附就此数以求内外周也依条叚求之倍积步为实和步为从一益隅
义曰以和步为从
是于内外周数外
又引出一步虚常法也
第五十六问
今有圆田一叚内有圆池水占之外计地二十三畆一分只云从外田通内池径六十三步问同前
答同前
法曰立天元为实径加通步六
十三得□丨为外田径以自之
得下□□丨为外圆径幂又十
一之得下式□□□为十四叚
外圆积于头再置天元实径以减通步得□丨为内圆径以自之得□□丨为内圆径幂又十一之得□□□为十四叚内圆积也以减头位得下式□步为十四叚如积寄左然后列真积二十三畆一分法通得五千五百四十四又就分一十四之得七万七千六百一十六与左相消得□□下法上实如法而一得二十八步为实径也以实径加通步即外径若减通步即内池径也
依条叚求之十四之积为实四十四之通步为法求得实径
此问难以为式强立此式以推之毎积之长乃三个通步今十四之积合以四十二个通步除之今用四十四之通步为法者縁宻率之周稍多于古率之周也假令古率七个积即合用二十一个通步为法若依宻率七个积即合用二十二个通步为法此问乃并十四之积为实是合用四十四个通步为法也旧术曰二十二之通步如七而一为法除田积见径又法倍通步自之又十一之于上以十四之积减上余为实四十四之通步为法见池径
按条叚皆于立天元一内取出而于方圆变积之义或未暇深思故谓难以为式若以方环圆环解之固易易耳今増一图义于后而旧术又法先求池径更可互相发明因并附焉
义曰圆幂率十一方幂率十四以十四
乗圆环积便为十一方环积毎环为实
径乗通步之直方四故以十一方环积为
实四十四通步为法即得实径也
义曰倍通步即大小径并其幂内有
大小径幂各一大小径相乗直方二
内减圆环积所变之方环积余小径
幂二大小径相乗之直方二又为小
径乗大小径并之直方二又为小径乗通步之直方四故以十一倍之积较为实四十四之通步为法即得小径也
第五十七问
今有圆田一叚内有直池水占之外计地八千七百四十四步只云两头至田楞各二十一步两畔至田楞各四十五步问三事各数
答曰田径一百二十四步 池长八十二步 濶
三十四歩
法曰立天元一为池濶加二之畔至
步得□丨为外田径以自之得□□
丨为田径幂以三之得□□□爲四
叚圆田积于头二至歩相减余二十
四步又倍之得四十八步为池长濶差也再立天元池濶加差得□丨爲池长以天元濶乗之得□丨为池积又就分四之得□□为四叚直池积以减头位得□□丨为如积四叚寄左然后列真积八千七百四十四步就分四之得三万四千九
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