数值分析

目录

前言

第1章 科学计算方法 1

1.1 绪论 1

1.1.1 课程相关的基础知识 2

1.1.2 计算机代数入门 5

1.1.3 误差、近似等式和渐近阶符号 8

1.1.4 关于计算机语言和软件的简要说明 12

1.2 误差分析基础 13

1.2.1 函数计算的误差估计 13

1.2.2 数值计算中的一些基本原则 14

习题1 19

第2章 非线性方程的数值解法 22

2.1 二分法 22

2.2 不动点迭代法 24

2.3 牛顿迭代法 29

习题2 33

第3章 线性方程组的数值解法 35

3.1 高斯消元法 35

3.2 经典迭代法 40

3.3 迭代法的收敛性质 46

3.4 梯度下降法 54

习题3 58

第4章 矩阵特征值与特征向量的计算 60

4.1 特征值的估计 60

4.2 幂法 62

4.2.1 幂法的基本思想 62

4.2.2 幂法的计算公式 63

4.2.3 幂法的实际计算公式 65

4.2.4 幂法的加速 66

4.3 反幂法 71

4.3.1 反幂法的计算公式 71

4.3.2 用反幂法求在λ附近的特征值的计算公式 73

4.4 QR方法 74

4.4.1 QR方法的基本公式 75

4.4.2 改进的QR方法 77

习题4 86

第5章 数据插值方法 88

5.1 插值多项式的概念 88

5.1.1 插值多项式的定义 88

5.1.2 插值多项式的存在及唯一性 88

5.2 拉格朗日插值 90

5.2.1 线性插值与抛物插值 90

5.2.2 拉格朗日插值多项式 92

5.2.3 拉格朗日插值余项与误差估计 93

5.3 牛顿插值 94

5.3.1 均差的概念 95

5.3.2 牛顿插值公式 97

5.4 分段低次插值 98

5.4.1 高次插值的龙格现象 98

5.4.2 分段线性插值 99

5.5 埃尔米特插值 101

5.5.1 埃尔米特插值公式及余项 101

5.5.2 两点三次埃尔米特插值多项式 102

5.6 三次样条插值 104

5.6.1 三次样条插值函数的定义 104

5.6.2 三次样条插值函数的确定 105

5.6.3 三次样条插值函数的构造 107

习题5 112

第6章 数据拟合与函数逼近 115

6.1 数据拟合的*小二乘法 115

6.1.1 数据拟合的基本思想 115

6.1.2 *小二乘法 115

6.1.3 超定方程组的*小二乘解 118

6.2 正交多项式 119

6.2.1 正交函数系与正交多项式 120

6.2.2 常用的正交多项式 121

6.3 *佳平方逼近 124

6.3.1 *佳平方逼近及其计算 124

6.3.2 用正交函数系做*佳平方逼近 127

习题6 129

第7章 数值积分 131

7.1 梯形公式 133

7.1.1 基本的梯形公式 133

7.1.2 改进梯形公式 139

7.2 辛普森公式 142

7.2.1 辛普森公式和精确度 142

7.2.2 插值型求积分公式 145

7.3 高斯积分 146

7.3.1 基本高斯公式 147

7.3.2 其他区间隔和其他公式 151

7.4 外推法 153

7.4.1 理查森外推 153

7.4.2 龙贝格积分法 154

7.5 自适应积分 159

习题7 162

第8章 常微分方程的数值解法 164

8.1 数值微分 164

8.1.1 差商与数值微分 164

8.1.2 步长对有限差分近似的影响 166

8.1.3 插值型数值微分 167

8.1.4 关于边界条件处理 168

8.2 欧拉格式与改进欧拉法 170

8.2.1 显式欧拉格式 171

8.2.2 隐式欧拉格式 171

8.2.3 收敛性分析 172

8.2.4 改进欧拉法 174

8.3 龙格-库塔法 179

8.4 线性多步法 183

8.4.1 亚当斯显式公式 184

8.4.2 亚当斯隐式公式 186

8.4.3 有限差分法的稳定性理论 188

8.5 解一阶微分方程组的差分法 189

8.6 二阶及高阶常微分方程的有限差分法 192

8.6.1 直接离散求解 192

8.6.2 转化为一阶微分方程组进行求解 194

习题8 195

参考文献 198

附录 Python基础 199