理性力学教程

目录

前言

第1章 基础知识 1

§1. 理性力学、相关数学术语和空间 1

l.1 什么是理性力学？ 1

1.2 数学术语 5

1.3 理性力学常用的空间 11

§2. 连续介质假设 20

2.1 物质世界的特征尺度 20

2.2 努森数与四种流动区间 22

2.3 连续介质假定 24

§3. 运动的两种描述方法——欧拉和拉格朗日观点 26

§4. 从质点和刚体动力学到连续介质力学 30

4.1 质点和刚体力学概述 30

4.2 从离散到连续的微元体方法 32

4.3 连续介质力学研究的几位先驱性的工作 36

思考题和补充材料 38

参考文献 60

第2章 矢量分析 62

§5. 矢量分析中的狄拉克符号 63

§6. 刚体平衡的两个条件 64

§7. 质点动力学中速度和加速度的合成 65

§8. 克罗内克δ和置换符号 68

8.1 克罗内克δ符号 68

8.2 置换符号的基本定义 70

8.3 混合积和置换符号 71

思考题和补充材料 75

参考文献 83

第3章 张量代数和微积分 84

§9. 张量的引入，二阶投影张量 84

9.1 二阶张量作为并矢的引入 84

9.2 现代数学对张量的引入一多重线性映射 86

9.3 二阶投影张量的引入 88

§10. 爱丁顿张量和张量方程的广义量纲原理 91

§11. 张量的缩并 94

11.1 解缩并 94

11.2 张量的幂 95

11.3 双缩并 95

11.4 三缩并 97

§12. 张量的转置、逆、对称化、反对称化，科恩不等式 97

§13. 谱定 31 104

13.1 谱分解定理的基本内容 104

13.2 谱定理在应力分解中的应用 107

§14. 数学算子一拉普拉斯和黑森算子 108

14.1 拉普拉斯算子▽2=▽ ▽=△ 109

14.2 黑森算子▽▽=▽*▽ 109

§15. 轻度量张量 112

§16. 克里斯托费尔符号和联络 124

16.1 曲纹坐标系的基矢量、黎曼度规张量 124

16.2 第二类克里斯托费尔符号 125

16.3 克里斯托费尔符号的应用 126

§17. 张量的标量函数的泰勒展开 129

17.1 多元矢量函数的泰勒展开 129

17.2 张量的标量函数的一阶泰勒展开 130

§18. 张量的标量函数的微分 131

18.1 直角坐标系下的时间导数 132

18.2 张量的标量函数的微分 132

18.3 物质时间导数和空间时间导数之间的关系 137

§19. 四阶单位张量、对称的四阶单位张量、四阶投影张量 138

19.1 四阶单位张量、对称的四阶单位张量 138

19.2 四阶投影张量 140

思考题和补充材料 141

参考文献 151

第4章 旋转群，拓扑，微分流形上的张量分析 153

§20. 理性力学中常用的群论 153

20.1 对称与群 153

20.2 外尔的小册子——《对称》 155

20.3 旋转李群——SO(n)和 SU(n) 157

20.4 理性力学中常用的正交群 161

20.5 阿贝尔、伽罗瓦在建立群论过程中曲折经历 165

§21. 微分流形 167

21.1 高斯与内蕴微分几何 168

21.2 黎曼与流形 169

21.3 流形的定义 170

§22. 拓扑学与拓扑相变 171

22.1 拓扑学与亏格 171

22.2 拓扑相变 173

§23. 微分同胚，坐标图册，切空间，余切空间 176

23.1 微分同胚 176

23.2 坐标图册 178

23.3 切空间，余切空间 180

§24. 微分形式，外微分运算 181

24.1 微分形式的引入 181

24.2 外微分运算，庞加莱引理 182

24.3 斯托克斯定理 186

24.4 霍奇星算子和对偶 187

24.5 霍奇星号在麦克斯韦方程组中的应用 190

§25. 流形上的矢量和张量分析 192

25.1 推前和拉回映射 192

25.2 李导数 193

25.3 黎曼度量与黎曼流形 194

思考题和补充材料 195

参考文献 197

第5章 变形运动学、功共轭 198

§26. 变形梯度F及其极分解 198

26.1 变形梯度张量F及其转置、逆、逆的转置的详细推导 198

26.2 变形梯度的极分解 203

§27. 拉格朗日描述下的格林应变与欧拉描述下的阿尔曼西应变 204

27.1 拉格朗日描述下有限变形的格林应变 204

27.2 欧拉描述下有限变形的阿尔曼西应变 213

§28. 赛斯-希尔应变度量 214

28.1 希尔应变度量 214

28.2 赛斯应变度量 216

§29. 功共轭 218

29.1 面元变换的南森公式 218

29.2 基尔霍夫应力、第一类和第二类皮奥拉—基尔霍夫应力(PK1和PK2) 220

29.3 功共轭 221

思考题和补充材料 227

参考文献 237

第6章 守恒律与场方程 238

§30. 雷诺输运定理 238

§31. 质量守恒 240

31.1 欧拉描述下的质量守恒方程 240

31.2 拉格朗日描述下的质量守恒方程 242

31.3 笛卡儿坐标系、柱坐标系和球坐标系下的质量守恒方程 243

§32. 动量守恒 243

32.1 动量守恒与空间平移不变性 243

32.2 欧拉描述下流体的动量守恒方程 244

32.3 欧拉描述下固体的动量守恒方程 244

32.4 拉格朗日描述下固体的动量守恒方程 245

§33. 动量矩守恒 246

33.1 角动量守恒与空间旋转不变性 247

33.2 柯西应力的对称性 247

33.3 用PK1表示应力的对称性条件 247

§34. 能量守恒 248

34.1 能量守恒与时间平移不变性 248

34.2 欧拉描述下流体力学的能量守恒 248

34.3 固体力学中的动能定理 250

34.4 固体力学中的能量守恒律 250

§35. 熵守恒和热力学不等式 251

35.1 熵平衡方程和熵不等式 251

35.2 热力学第二定律在固体力学中的应用 252

思考题和补充材料 255

参考文献 257

第7章 连续介质力学中的客观性 258

§36. 标量，位移、速度、加速度矢量的欧几里得客观性 258

36.1 欧几里得变换 258

36.2 标量和位移矢量的欧几里得客观性 259

36.3 速度矢量的欧几里得客观性 259

36.4 加速度矢量的欧几里得客观性 259

§37.张量的欧几里得客观性和客观率 261

37.1 变形梯度张量的欧几里得客观性 261

37.2 柯西应力的欧几里得客观性 262

37.3 PK1和PK2应力张量的欧几里得客观性 262

37.4 速度梯度、应变率、旋率张量的欧几里得客观性 263

37.5 客观矢量率的定义 263

37.6 客观张量率的定义 264

§38. 流体动力学的客观性 265

38.1 基本方程组 265

38.2 基本方程组的无量纲化 267

38.3 雷诺数相似性 268

38.4 时空不变性 268

38.5 时间反演不变性 269

38.6 旋转和反射不变性 269

38.7 伽利略不变性 270

38.8 扩展伽利略不变性 270

38.9 标架旋转 271

38.10 关于虚拟力的进一步讨论 272

思考题和补充材料 273

参考文献 274

第8章 本构关系 275

§39. 理性力学中的公理 275

39.1 本构公理的提出与建立 275

39.2 里夫林等学者对连续介质力学公理的批评 277

§40. 线弹性本构关系——广义胡克定律 278

40.1 材料力学和弹性力学中的广义胡克定律（应变-应力关系式） 279

40.2 应力-应变关系式 282

40.3 对弹性常数的限制 283

40.4 固体力学材料常数常用关系的简单证明 284

§41. 流体力学本构关系 285

41.1 帕斯卡定律和帕斯卡水桶实验 286

41.2 流体本构关系的一般形式 286

41.3 牛顿流体本构关系的一般形式 287

§42. 不可压缩超弹性材料的新胡克本构模型 288

§43. 超弹性材料的本构方程和应力 292

43.1 用PK1表示的不可压缩（J=1）和可压缩（J≠1)的超弹性本构关系 292

43.2 用PK2和PK1表示的可压缩和不可压缩的超弹性本构关系 293

43.3 用柯西应力表示的可压缩和不可压缩的超弹性本构关系 294

§44. 可压缩超弹性体材料的穆尼-里夫林本构模型 299

思考题和补充材料 301

参考文献 303

第9章 虚功原理在连续介质力学中的应用 305

§45. 微元长度、面积、体积和雅可比的变分 305

45.1 知道虚位移后如何确定虚体积？ 305

45.2 知道虚位移后如何确定雅可比的变分？ 305

45.3 知道虚位移后如何确定微线段矢量的变分？ 306

45.4 知道虚位移后如何确定微面积矢量的变分？ 307

§46. 虚功原理在连续介质力学中的应用 308

46.1 当前构形中的虚位移 308

46.2 和变形梯度张量相关的变分 309

46.3 格林和柯西应变张量的变分 309

46.4 虚功原理 310

§47. 贝蒂定理与材料弹性模量对称性之间的关系 311

47.1 积分法 311

47.2 微分法 312

思考题和补充材料 313

参考文献 314

第10章 固体力学要义 315

§48. 材料力学之提纲挈领 315

§49. 弹性力学提法和方程 324

49.1 弹性力学平衡方程 324

49.2 弹性模量独立分量的个数 325

49.3 勒让德-阿达玛不等式 331

思考题和补充材料 334

参考文献 338

第11章 流体动力学 340

§50. 从哈维的血液循环学说到血压计的发明 340

§51. 伯努利方程的建立 342

51.1 星光灿烂的伯努利家族 342

51.2 伯努利定律 344

§52. 流体力学势流问题 350

52.1 势流的特点 350

52.2 不可压缩流体的特性与势流方程 351

52.3 势流的分析 351

52.4 基本流 352

§53. 流变体与牛顿流体 357

53.1 流变体的定义 357

53.2 牛顿流体 358

53.3 牛顿流体的本构关系 359

§54. 哈根-泊肃叶流动定律 361

§55. 达朗贝尔佯谬 364

55.1 马略特有关流体阻力的研究 364

55.2