云门演有细草图说极为详细外间有刻本矣 几何原本为西法中最古之书不言法而言理不言数而言象彻乎立法之源凡九章所不及者无不赅也不读几何则不能明点线面体之理而于加减乘除开方之用终不能了然于心目之间是书第十卷之理甚深非初学所能通晓但观其前六卷可也 几何之界说及各题字字齐力其释题之语无一字不周到无一句无来历学者读惯此书其心思自能缜密则看各种算学之题如禹鼎烛奸可以无遁形矣 论看题之法 华蘅芳 初学之人于题中之各句句中之各字往往模糊看过不能字字尽见虽将其题看之多次算之数遍仍有一两个最要紧之字未曾看清非真未见此数字也见之而不知其用意之所在则此数个最要紧之字依然漠不关心亦犹之乎不见而已 题中之字句有极其力者有不甚力者又有可有可无者惟其可有可无及不甚力之字往往皆显露于面前一望即见而其极力之字则藏伏隐匿于各字之间而使人不易见是在乎看题之眼光能识别之其辞气轻重之间最有关系故于虚字尤不可忽略看过也 凡看算学之题务将其每句每字俱看完全不可有一字遗漏亦不可有一字不从心上经过则可知题之所语云何其注意之处何在即能知其某句某字力不力于是题中所暗藏之意思可以尽显而各数相关之故亦确凿可指而不至有游移两可之见夫而后题中之各数能为我所用而我之加减乘除开方等法亦肯为题中各数所用而不至于捍格不相入矣 算学中各种题譬如用线绾成各种花样之结加减乘除开方等法犹之各种器具可用以解结者也惟欲用各器以解其结必先看清结之丝缕方能有下手之处看题之法亦如是而已 既能看清题中之丝缕则可将题中不要紧之闲字闲句逐渐删汰之而变为另自一种说法惟其各数相关之理则不可与原题稍有背谬 假如有题云某日买笔二枝用钱十四文某日买墨一锭用钱十文某日买纸十张用钱二十文问共享钱若干 则题所问者为共享之钱而不计其用去之日故其笔墨纸三物虽非一日所买而其共用去之钱则与一日用去者无异也所以题中之三个某日二字俱与算法不相关可以删去之又因题之所问者为共享之钱非问笔之每枝墨之每锭纸之每张其价若干也所以可改其题云笔十四文墨十文纸二十文共钱若干 然其所买之物实与所用之钱亦无相关因买笔买墨买纸之钱可作买茶买酒买浆之钱算之其共享之钱无异也即作一次买物二次买物三次买物算之其共享之钱亦无异也所以又可改其题云先用十四文后用十文又用二十文问其用钱若干则夫人而知当以此三数相加而得其共享之钱四十四文矣 惟有一种题其字句一气呵成不能稍为删节则只可看明题意而将题中各数别作一简易之说法 假如九章之题云五雀六燕集称之衡雀俱重燕俱轻一雀一燕交而处衡适平并雀燕重一斤问雀燕一枚各重几何 则此题之意言五雀重于六燕也其五雀六燕之共重为十六两也又言一雀五燕与四雀[一](五)燕其重相等也惟因一雀五燕与四雀一燕相并即为五雀六燕所以可将十六两分为两个八两一为一雀五燕之重一为四雀一燕之重则可改其题之说法云一雀五燕共重八两四雀一燕亦共重八两问雀燕一枚各重几何 凡看数题而觉此题与彼题相似者必将其两题看至极其透彻究竟其中或有略异之处否题有面目虽异而算法则同者亦有面目相似而算法不同者 假如有两题其一云原有钱一千文已用去四百文今剩钱若干其二云原有钱一千文今剩去四百文已用去若干 则此两题之说法虽异而算法则同因用去之钱与今剩之钱相加必与原有之钱相等故于原有之中减了用去即是今剩之数于原有之中减了今剩即是用去之数也 假如九章之题云今有兔先走一百步犬追之二百五十步不及三十步而止问犬不止复行几何步及之 又如代数术中之题云有野兔为猎犬所追兔在犬前五十步犬每行三步兔能行四步而兔之三步等于犬之两步问犬追若干步可得兔 观此知中西皆有犬追兔之题其说法及算法略有不同而所求之数则俱为犬之步数也其第一题不及三十步而止之句其三十是兔之步数若认作犬之步数则误矣 算学之题大抵有比例者居多惟其相比之理每暗藏于所言各事之中其相比之数又颠倒错乱和较杂糅于各数之内观者最易为其混淆 即以四率比例之题而论其一率二率三率有顺列于各句之内者亦有不依次序者试列六题如左 其一题云原有钱二十千文买得米十石今有钱五十千文问可买若干石 其二题云先将米十石售得钱二十千文今又欲得钱五十千文问须售去米若干石 其三题云今有钱五十千文欲以买米先用钱二十千文买得米十石问其钱可共买米若干石 其四题云今有钱五十千文欲以买米已知每米十石其价为二十千文问可买米若干石 其五题云甲有钱二十千文乙有钱五十千文均欲买米甲将其钱买得米十石问乙钱可买米若干石 其六题云甲有米十石乙有钱五十千文甲以其米售得钱二十千文问乙钱可买米若干石 则以上六题其比例之率均为二十与十之比若五十与二十五之比 总言之算学中所有之各题其平正通达简明直捷者固多而其暗藏机械有意难人者亦复不少看题之人如听断疑狱如搜捕伏匿虽具明察之才精细之心苟非老成谙练洞悉此中故智者不能尽知其情伪也 更有一种难题其设题之时已将题中要紧之义藏匿于人所不易留心之处而将题中不应有之算理显豁呈露以使人易于误认若不迟回审顾而后下手鲜有不受其愚弄者 假如有题云今有布一匹共长二十尺每日剪取一尺用之问几日剪毕 则骤观此题必答曰二十日殊不知其数已误矣因题之所问者是几日剪毕非问几日用毕也若问几日用毕则每日用一尺其二十尺之布当为二十日用毕今问几日剪毕则每日剪去一块其长一尺至第十九日已剪去十九块计共已剪去十九尺其所剩之一块适得一尺可为第二十日之用而第二十日取此一块布时不必再动剪刀则是十九日剪毕也 由此可见前题中末句之剪字乃是最力之字断乎不可轻忽者也看题之时若读至末句不能将此剪字看出而以为与几日用毕几日可毕几日而毕几日乃毕无异则安得不误算耶 其所以易误之故因题中所言之各数俱为整齐易算之数其二十尺为一尺之二十倍而一日剪一尺又明明有一比例之理置于面前则观者不及转念已不觉脱口而出曰二十日是驷不及舌矣 假如有题云今有竿高十尺有虫从平地起缘竿而行每日能上二尺而夜间必缩下一尺问此虫几日能到竿顶 见此题而不细思其故必以为每日上二尺而下一尺则是只上一尺也一日上一尺则十日必上十尺而到竿顶矣所以必答曰十日 殊不知行至第八日其虫之足已至九尺之处及缩下而在高第八尺处过夜至第九日穷日之力再上行二尺已到竿顶矣题所问者是能到竿顶之日其已到而再缩下则不计矣 前题所以易误之故由于始念之差盖但知其每日只上一尺而忘其第一日上行之数已到二尺之处若以第一日为能到二尺而每日能上一尺固是九日到顶也 大抵看题之法不过是心思细密又能习练眼光令人不能乘我之懈耳非必每题每术一一能强记之也 论驭题之法 华蘅芳 学者既能看明题理即能用加减乘除开方等法以驭其题惟题之形状万变不穷则驭题之法亦当随机应变不能执一以论也 寻常之算学书其每题之下必有答数又必有专算此题之术或更有细草图说附焉则依其术以演其数固是易易惟每题各有一术苦于不能记忆学算之人若非胸有成竹则一掩卷即不能算矣于是有将各术分明别类编成歌诀以便于记诵者殊不知所记者乃是呆法耳题目一变即无所用之矣 既明算理之人于书中所有之各题可不必观其术曰如何自能立术以驭其题其所立之术或与本书之术合或出于本书之外而能殊途同归惟但明几何而未习天元之人其所立之术必枝枝节节而为之不能有一以贯之之理故其用心也苦而用力也劳 不论其题之如何变化而概用一法驭之者惟天元之术能之然天元仍籍几何为用故虽有天元而几何之理要不可以尽废也 算学中有数种常用之法其理皆从几何而出其法必由于学之而后能苟无其法则加减乘除开方无所施其技而天元亦不能用矣兹设数题以明其各法之用 一题有大小两数之和及大小两数之较求其大小两数 法以和较相加半之得大数以和较相减半之得小数 二题有四率比例之一二三率求其第四率 法以二三两率相乘一率除之得第四率 三题有正方形或方形之纵横两边求其方形之面积 法以纵横两边相乘得方形面积 四题有句股形求其面积 法以句与股相乘半之得句股形面积 五题有平三角形求其面积 法以底边与中垂线相乘半之得三角形面积 六题有平圆之周径求其面积 法以周径相乘四除之得平圆面积 七题句股弦面幂相等之理 凡句之平方与股之平方相并必等于弦之平方 八题求正立方形及带纵立方形之体积 法以长与相乘又以高乘之即得立方形体积 九题求堑堵阳马臑之积 堑堵之积居立方二分之一阳马之积居立方三分之一臑之积居立方六分之一 十题求高台之积 法以上长倍之加下长以上广乘之又倍下长加上长以下广乘之两数相并又以高乘之以六除之得其台积 以上十题仅择算书中最要者略举数端耳读者触类旁通可也 论观书之法 华蘅芳 学者既通九章又能明几何中条段之理则宜涉猎各种算学之书 如观秦道古数书九章则知有求一之术观梅氏丛书及数理精蕴则知有弧三角对数之术观罗氏观我生室或丁氏白芙堂丛书则知有天元四元之术观代数学及代数术则知天元之外更有代数之术观代微积拾级及微积溯源则知代数之外更有微分积分之术 凡此诸术皆为今世之所有而其理其法则为从古及今明算之人阐发数理之奥赜而成然数理渊深不可限量其中妙义任人探索终无穷尽之时不可谓此理之外更无他理此法之外更无他法也 余非谓甫通九章几何之人即能观以上所言之各书而尽解之也惟恐人囿于条段之理则心思不能超脱故欲以元代诸书广其眼界耳 学问之道贵乎温故知新而算学之事则宜去故生新不将已知已能之事撇开一边则其先入之见胶固积滞于胸中足以蒙蔽心思而新义不得复入矣譬如饮食过饱则致不易消化必待其消归乌有而后能再食他物否则珍羞罗列满前亦无下箸之处也 凡观算学之书其浅近之处过目即解本无待于研究至于深文奥义以及数理之繁赜者则非一时所能通惟遇难通之处亦不必极力思索但将其所言之事置之心中勿助勿忘阅数月自能通晓 尝见有初学算法之人年少气盛日夜究心算学遇有难通之处积思致废寝食虽其所得通者可速于他人而卒至用心过度遽促天年著作未成九原遗恨良可慨已 夫算学不过为六艺中之一艺耳则究心此学者不必以生平之全力赴之祗须于正务之暇当作游艺之事斯可矣昔之人以着棋为消闲之事今之人以牌为消闲之事观算学书亦是消闲之事也人若能以着棋牌之工夫用之于观书而即以着棋牌时所用之心思以究夫算学之理则未有不成一代畴人者也 凡观算学之书遇有不明之处不妨放过此处而再看下文且不妨抛去此书而另观他书因上文所未详者或于下文解之也此书之所忽略者或为彼书之所赅备也若观各书皆不能明而心中窒塞烦闷则宜屏弃学算之事少或数月多至经年必自能忆及各书而取观之此时之光景宛如良朋密友久别重逢其相得之情有非笔墨所能罄者也 有一种算学之书但有各种算术而不言其立术之理则观此书者不必自思其理久后必能从别种算学中自得其理 数理繁赜之处其变化之法书中未必将其曲折之故一一明言则观者亦不必极力思索但从其以上各法细观之必已有式在前也 凡观算学之书不必记其句语亦不必记其算式只须明其大意而已已明其理即可置之未明其理亦姑且置之因今日不明可俟异日明之也他种学问皆忌作辍而算学则不忌作辍且其进境即在于作辍之中此非身历其境者不知也 事物之理自其外而观之则能见其全体自其内而观之则能见其底蕴惟以我观物不可反为物所役也若入乎其中而不能出乎其外则如入牛角之中而不得出矣观书者亦不可反为书所役也九容之术原书已不胜其繁又从而抽绎其义引伸其说名目愈多头绪百出试思此种算学究竟有何用处 凡观算书有数个最快意之境界既习九章之术而得几何点线面体之理以印证之一快也初通天元之术知一切算题皆为我法所能驭二快也舍天元而习代数知天元所不能为之事皆为代数所能为三快也 凡观算书有数处最难于进步然不过此关则终身不能再有进境矣如已习几何之人不肯舍其条段之理而习天元此乃先入之见误之也已习天元四元之人又不肯舍其剔分易位之事而习代数此乃中西之见误之也善学算者不存先入之见亦不存中西之见故其学无止境亦无限量 论学算之法 华蘅芳 算学中门径甚多歧途百出非备尝此中之艰苦者不能洞悉其曲折所以学算亦不可无法也 学算之人其志向各有不同故其所学之事遂亦从此分焉综而计之大约可分为两类一为阐明数理以成著作一为推
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