角几大夫甲戊庚为直角故除己戊庚则甲戊己角之大审矣【推甲戊己角大几何多罗谋氏别有方】次自甲以平仪等噐视月则得己甲戊角大几何此己甲戊三角形之己戊甲己甲戊两角既明则其第三角甲己戊亦明矣【一卷三十一题】辛地半径己测为一万四千三百一十八里零十八丈【地仪书载二三法以测地球径】则若别作三角形于己甲戊相似而体势等【六卷十八题】既两三角形相当角比例等【六卷四题何为比例及比例之类在几何原本五卷界説第十】用勾股三数法可测自戊地心至己月体有四十八万二千五百二十二余里夫日月星体违地心几何既审则以法推其径之长也两球之比例有其径三加之比例【十二卷十八题】则既知地球大何如因而日月诸星比地之几何大亦审矣多罗谋氏又有恪法因日月之蚀测二球之大也人所最疑上卷之论惟其曰日球大于地球一百六十倍地球大于月球三十九倍盖曰吾视日月大不逾大瓮之底而俱等何以知其异而相大几倍乎今余不设量几倍之法惟明徴日球大于地球地球大于月球借视照法六题易晓者以破其疑故先解六题而后可指三球之大小相比何如云
第一题
物形愈离吾目愈觉小
解曰吾视物如作一三角形焉形以物径线为底邉以底邉两端至目两线而结一角为二腰邉则夫内角益大吾觉物益大益小吾觉物益小也等则吾觉之等矣
论曰首图目在甲视乙丙一球则如作甲乙丙三角形其乙丙即球之径线为底邉乙甲丙甲二条视线为两旁腰邉乙甲丙角为目内角也又视逺球丁戊甲三角形虽乙丙丁戊二球大等而吾觉近者大于逺者无他惟乙甲丙角大于丁甲戊角故耳又视第二图目在甲而乙丙近球小丁戊逺球大吾觉两球者等无他惟乙甲丙角于丁甲戊角等故耳又视第三图目在甲而乙丙近球小丁戊逺球大更逺则吾觉乙丙小球大于丁戊大球无他乃为乙甲丙角大于丁甲戊角故耳
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷中>
第二题
光者照目者视惟以直线巳
解曰光之所能及无碍者即照之目之力所能迄无隔之者则视之便自目自光可以射直线至于物体便无有隔碍之而可以照视之
论曰如以上图或光或目在甲而照视乙丙体之前者乙丙自甲至乙丙之间无所不可作直线则无不可照视之而乙丙之外无乙丙体乙丁丙戊之内竟不可照视无他惟自甲至丁乙丙戊间不可作直线耳茍以曲线可以照视物非但物之前者其后者并能现明焉而无所碍也
后论曰如以上图自甲可通以曲线至己而设并可照视之则乙丙之后乙丁丙戊之内犹可照视而乙丙之体隔不能为之碍也然物之背不移光不选目不可着照视则以曲线竟不能照视也
第三题
圆尖体之底必为环使真切之数节其俱乃环而环弥离底者弥小而皆小乎底环者
解曰试观上图有甲乙丙圆尖体若犀若牛直角然而切之丁戊己庚辛壬三处题云其底甲乙为环丁戊己庚辛壬并为环又云丁戊环大于己庚己庚大于辛壬而各小于甲乙环也
论曰设甲乙底非环其体也非圆也又圆体之节于其底平离则甲乙既环丁戊己庚辛壬并为环也又甲丙二线愈就丙愈相近则其环之径愈短而环愈小也其底之犹甚大可知也
第四题
圆光体者照一般大圆体必明其半而所为影广于体者等而无尽
解曰试观后图题云甲乙光体者照丙丁前半体竟受光而后影一般广而无尽也
论者照者以直线照【在第二题】甲乙体于丙丁体者等则甲乙径于丙丁径亦等而可自甲乙丙丁间射光之直线则其前者毕明其后者毕隂也又甲丙乙丁二线平行一般近则其直出丙丁之外不克相近而相遇【几何原本解説三十四】丙丁之后既竟为则丙丁之影无尽而于丙丁之原体广并等焉
第五题
光体大者照一小圆体必其大半明而其影有尽益近原体益大
解曰试观后图大光体甲乙照小圆体丙丁题云戊己以前大半有明而其影戊庚己尽于庚而益近原体丙丁益大矣
论曰光体所照体者等惟能照其半【在第四题】则今既光体大于所照者必照大半也又照惟以直线为【在第二题】则自甲乙体之界可射二直线于戊己受光之界今令二线出戊己之外必相遇于庚何者大光体之径甲乙大于小体之径丙丁而平行则甲丙乙己二线不为平行线使二线上加戊己纵线向大体甲戊己乙己戊两角大于两直角其外角庚戊己庚己戊小于两直角则甲戊乙己两线愈长愈相近必有相遇之处【几何原本公论十一】相遇于庚则影有尽夫戊庚己之内惟有影其外竟光则丙丁体之影渐尖而卒有尽也
第六题
光体小者照圆体者大惟照明其小半而其影益离原体益大而无尽
解曰试观后图甲乙光体小者照丙丁圆体大者题云惟其小半戊己受明而后大半其影愈离原体愈大而无尽焉
论曰光体所照体者等惟能照其半【在第四题】今光体小则不及照其半也又甲乙体既小于丙丁体则甲乙径小于丙丁径而自甲乙界射线于丙丁界直出此二线益离甲乙益大则不克相值而其内影益逺益大而并无尽也【用第五题论而反之】夫月球离地四十八万二千五百二十二余里日球离地一千五百九十一万二千三百八十二里则虽吾视觉二形一般大不可谓之等焉【在第一题】
徴日球大于地球地球大于月球皆由日月之蚀故先须明二蚀之所以然日蚀非他惟朔时月或至黄道日所恒在也则既在日之下便掩其光而吾不能见日谓日蚀也且日球者了无失光故其蚀非天下各国共有之而或一处日蚀而别处光焉或一处全蚀而他处惟蚀其半焉所见正斜异故也月蚀天下皆同盖月球并诸辰星之体本无光皆借太阳之光也地球悬九重之当中如鸡子黄在青中然惟望时月或至黄道于太阳正相对则地球障隔其光而不得照之故月失光矣且月蚀乃地影蒙之也月已出地影即复光或以为抗日非其理矣其日月蚀图设于后以便览
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷中>
或问曰有夘酉时月蚀者而日月俱现地平上以为地形中隔似不如是曰春分至秋分日出地恒在夘正前故月朢对酉正后秋分至春分日出恒在夘正后故月朢对酉正前夫月蚀特于朢朢时日月何得而同现地平上乎盖其半沉半吐之际人见双形实非并现倘月蚀时日月全见地平上必月或在西始入地或在东将出地而海水影映并水土之气发浮地上现出月影此时月体实在地下为地所隔此理可试于空盂若盂底内置一钱逺视之不见试令斟水满之钱不上移而宛可见焉盂邉既隔吾目则吾所见非钱体乃其影耳兹岂非月在地下而景现地上之喻乎或又谓月影映水可见日影映水亦可见地上何独言月不言日曰日体极大违地极逺此理喻日于义不合图设于上以便览观
论日球大于地球
夫日球于地球或大或等或小焉如云大则无用辨等并小不可不辨论曰日球或小或等于地球地球之影宜无尽【在第四第六题】则必能及火木土星并二十八宿而蚀之矣然未见火木土星并二十八宿之蚀或曚之则地球影不臻其体而有尽焉既有尽则日球不可谓或小或等于地球者而必大也况地影克至三星二十八宿之体必每夜宜见蚀曚星之大半而竟不见之也此理设图于后以细玩焉
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷中>
又地球之影益逺地益小则日球大于地球者也【在第四题】若非益逺地益小或益大或等焉则影至星而非见星之蚀必见其甚曚焉又如月在龙头其离地逺如在龙尾其离地近也然月在龙头其蚀时短在龙尾其蚀时长则地影益逺益小着矣
论地球大于月球
然地球大于月球何騐之耶论曰地影依前论为一尖圆体而地之半球为底之环也月球蚀时全在其尖体之内而久行其中【乃其全黒之时】则月球之径甚小于地球径也【在第三题】此以日月蚀论之若量法又可以测二形之大而较之焉今畧举是姑明其意云尔
附徐太史地圜三论
西泰子之言天地圆体也犹二五之为十也【地形之圜乃欧罗巴诸儒千年定论非窦创为是说】或疑焉作正戏别三论解之正论曰古法北极出地三十六度此自中州言耳唐人云南北相去每三百五十一里八十步而差一度宋人云自交南至于岳台六千里而差十五度此定説也夫地果平者即南北相去百亿万里其北极出地之度宜恒为三十六不能差毫末也犹山髙千尺以周髀量之自此山之下稍移之平地数十里外宜恒为千尺不能差毫末也以郭若思之精辨南北测騐二万里北极之差至五十度而不悟地为平体移量北极之不能差毫末何也又因而抑札马鲁丁使其术不显何也戏论曰嵩髙之下北极出地三十六度自此以北每三百五十一里八十步而差一度则嵩髙之北一万八千九百六十六里正当北极之下矣近世浑天之说明即天为圆体无疑也夫天为圆体地能为平体北极又能为逓差则以周髀计之北极之下自天至地才一万三千八百二十九里而已次以弧矢截圆法计之则北极之下更北行四千四百七十六里有竒而地与天俱尽也合计之即自嵩髙以北二万三千四百四十里有竒而地与天俱尽也倍之则东西广南北袤各四万六千八百八十五里有竒而地与天俱尽也此三者以为可不可也别论曰扬子云主盖天桓君山诎之是也然盖天能知地平则北极不能为差故云北极之下高于中国六万里但知其说者又不能为圆天为圆天则髙于中国六万里之处既与天相及矣故曰天之北极髙于四周亦六万里斜倚之令天与地不相及也若言圆天而不言圆地政不足以服周髀
乾坤体义卷中
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义>
钦定四库全书
乾坤体义卷下
明 利玛窦 撰
容较图义
万形有全体目视惟一面即面可以推全体也面从界显界从线结总曰边线邉线之最少者为三邉形多者四邉五邉乃至千万亿邉不可数尽也三邉形等度者其容积固大于三邉形不等度者四邉以上亦然而四边形容积恒大于三邉形多邉形容积恒大于少邉形恒以周线相等者騐之邉之多者莫如浑圜之体浑圜者多邉等邉试以周天度剖之则三百六十邉等也又剖度为分则二万一千六百邉等也乃至秒忽毫厘不可胜算万形愈多邉则愈大故造物者天也造天者圜也圜故无不容无不容故为天试论其槩
凡两形外周等则多邉形容积恒大于少邉形容积假如有甲乙丙三角形其邉最少就底线乙丙两平分于丁作甲丁线其甲乙甲丙两腰等丁乙丁丙又等甲丁丙角甲丁乙角皆等则甲丁线为乙丙之垂线【几何原本一卷八】次作甲戊丙丁直角形而甲戊与丁丙平行戊丙与甲丁平行视前形增一角者【一卷四又三十六】既甲丁丙甲丁乙两形等而甲丙戊与甲丁乙亦等【一卷三十四】则甲丁丙戊方形与甲乙丙三角形自相等矣以周论之其甲戊戊丙丙丁甲丁四邉皆与乙丁相等甲丙邉为其线稍长试引丙戊至己引丁甲至庚皆与甲丙甲乙线等而作庚丁己丙形与甲乙丙三角形同周则赢一甲庚己戊形故知四邉形与三邉形等周者四邉形容积必大于三邉形
凡同周四直角形其等邉者所容大于不等邉者假有直角形等邉者每邉六共二十四其中积三十六另有直角形不等邉者两邉数十两邉数二其周亦二十四与前形等周而其邉不等故中积只二十又设直角形其两邉各九其两邉各三亦与前形同周而中积二十七又设一形两邉各八两邉各四亦与前同周而中积三十二或设以两邉为七以两邉为五亦与前同周而中积三十五是知邉度渐相等则容积固渐多也
试作直角长方形令中积三十六同前形之积然周得三十与前周二十四者迥异今以此周作四邉等形则中积必大于前形
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>
凡同周四角形其等邉等角者所容大于不等邉等角者
设甲乙丙丁不等角形从丙丁各作垂线又设引甲乙至己作戊丙己丁四角相等形【一卷三十五】与不等角形同底原相等【一卷十九又三十四】甲乙亦同戊己而乙丁及甲丙线则赢于己丁戊丙线是甲乙丙丁之周大于戊丙己丁之周试引丁己至辛与乙丁等引丙戊至庚与甲丙等而作庚丙辛丁形则多一庚戊辛己形因显四等角形大于不等角形
以上四则见方形大于长形而多邉形更大于少邉形则圜形更大于多邉形此其大畧若详论之则另立五界説及诸形十八论于左
第一界等周形
谓两形之周大小等
第二界有法形
谓不拘三邉四邉及多邉但邉邉相等角角相等即为有法其攲邪不就规矩者为无法形
第三界求各形心
但从心作圜或形内切圜或形外切圜皆相等者即系圜与形同心
第四界求形面
谓周线内所容人目所见乃形之一面
第五界求形体
如立方立圜三乗四乗诸形乃形之全体
第一题
凡诸三角形从底线中分作垂线与顶齐髙以中分线及髙线作矩内直角方形必与三角形所容
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