角【一卷三十二】令移壬乙庚角于癸子上而作癸子丑角则其线必透癸辛到丑其庚壬乙三角形之壬与乙两角等于丑癸子三角形之癸子两角而乙壬邉亦等于子癸邉则丑癸线亦等于庚壬线而庚壬实赢于辛癸【一卷二十六】今以庚壬
线及甲乙丙半周线作矩内直角形必大于辛癸线及丁戊己半周线所作矩内直角形也【本篇二】然则多邉直线形之所容岂不大于等周少邉直线形之所容乎
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>
第七题
有三角形其邉不等于一邉之上另作两邉等三角形与先形等周
解曰有甲乙丙三角形其甲乙大于丙乙两邉不等欲于甲丙上另作三角形与甲乙丙周等两邉又等其法作丁戊线与甲乙乙丙合线等两平分于己甲乙乙丙两邉并既大于甲丙邉【一卷十】则丁己己戊两邉并亦大于甲丙而丁己己戊甲丙可作三角形矣【一卷三十二】以作甲庚丙得所求盖庚甲庚丙自相等而甲丙同邉则二形之周等而甲庚丙与甲乙丙为两邉等之三角形【此庚防必在甲乙线外若在甲乙邉上遇辛则辛丙线小于辛乙乙丙合线即不得同周】
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>
第八题
有三角形二等周等底其一两邉等其一两邉不等其等邉所容必多于不等邉所容
解曰有甲乙丙形其甲乙邉大于乙丙令于甲丙上更作甲丁丙三角形与甲乙丙等周【本篇七】而丁甲丁丙两腰等亦与甲乙乙丙合线等题言甲丁丙角形大于甲乙丙
论曰试引甲丁至戊令丁戊与丁甲等亦与丁丙等又作丁乙乙戊线夫甲乙乙戊合线既大于甲戊即大于甲丁丁丙合线亦大于甲乙乙丙合线此两率者令减一甲乙则乙戊大于乙丙而丁戊乙三角形之丁戊丁乙两邉与丁丙乙三角形之丁丙丁乙两邉等其乙戊底大于乙丙底则戊丁乙角大于丙丁乙角而戊丁乙角逾戊丁丙角之半【一卷三十二】令别作戊丁己角与丁甲丙角等则丁己线在丁乙之上而与甲丙平行【一卷二十八】又令引长丁己与甲乙相遇而作己丙线聨之其甲丁丙甲己丙既在两平行之内又同底是三角形相等也【六卷一】因显甲己丙大于甲乙丙而甲丁丙两边等三角形必大于等周之甲乙丙矣【问戊丁乙角何以逾戊丁丙角之半曰丁甲丙与丁丙甲两角等而戊丁丙为其外角凡外角必兼两内角故也】
第九题
相似直角三邉形并对直角之两线为一直线以作直角方形又以两相当之直线四并二直线各作直角方形其容等
解曰有甲乙丙及丁戊己三角形二相似其乙戊两角为直角而甲与丁丙与己角各相等甲丙与丁己相当甲乙与丁戊相当题言并甲丙丁己为一直线于上作直角方形与并甲乙丁戊作直线及并乙丙戊己作直线各于其上作直形方形两并等
论曰引长丁戊至庚令戊庚与甲乙同度次从庚作线与戊己平行又引丁己长之令相遇于辛从己作己壬线与戊庚平行【一卷二十九】则己壬辛之角形与丁戊己相似而丁戊己与甲乙丙相似矣【一卷三十二】何者己壬辛角与庚角等庚角与丁戊己角等己角又与乙角等而辛角与丁己戊角及丙角俱等壬己辛角与甲角亦等【一卷三十四】又己壬邉与戊庚相等则亦与甲乙相等而壬辛与乙丙己辛与甲丙俱相等【一卷二十六】故丁辛线兼丁己甲丙之度丁庚线兼丁戊甲乙之度而庚辛亦兼戊己乙丙之度庚壬即戊己也【一卷三十四】然则丁辛上直角方形与丁庚及庚辛上两直角方形并自相等矣
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>
第十题
有三角形二其底不等而腰等求于两底上另作相似三角形二而等周其两腰各自相等
解曰甲乙丙丁不等两底上有甲戊乙及丙己丁三角形二其戊甲戊乙腰与己丙己丁腰俱相等若甲乙大于丙丁者则戊角大于己角【一卷二十五】而两三角形不相似求于两底上各作三角形相似而两腰各相等其周亦等
法曰作庚辛线与甲戊戊乙丙己己丁四线等而分之于壬令庚壬与壬辛之比例若甲乙与丙丁【六卷十】甲乙既大于丙丁则庚壬亦大于壬辛而平分庚壬于癸平分壬辛于子庚壬与壬辛既若甲乙与丙丁则合之而庚辛之视壬辛若甲乙丙丁并之视丙丁矣【五卷】夫庚辛并既大于甲乙丙丁并【两邉必大于一邉在一卷二十】则壬辛大于丙丁而庚壬大于甲乙也【五卷十四】甲乙庚癸癸壬三线每二线必大于一线而丙丁壬子子辛亦然令于甲乙上用庚癸癸壬线作甲丑乙三角形为两腰等而其周在甲戊乙形之外【以戊甲戊乙得庚辛之半而庚壬之度过之故】于丙丁上用壬子子辛线作丙寅丁三角形亦两腰等而其周在丙己丁之内【己丙己丁亦得庚壬之半而壬辛之度不及故俱一卷二十二】
论曰并甲戊戊乙丙己己丁四线之度既与并甲丑丑乙丙己己丁四线之度相等则甲丑乙丙寅丁两形自与甲戊乙丙己丁两形同周而其两腰亦自相同至于两形相似何也甲乙与丙丁若庚壬与辛壬而减半之庚壬与壬子【五卷十五】又若丑甲与寅丙丑乙与寅丁也则更之而甲乙与甲丑若丙丁与丙寅而甲丑与丑乙若丙寅与寅丁是两形为同邉之比例自相似【六卷五】
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>
第十一题
有大小两底令作相似平腰三角形相并其所容必大于不相似之两三角形相并其底同其周同又四腰俱同而不相似形并必小于相似形并
解曰甲丙丙戊两底上设有甲乙丙及丙丁戊两三角形而甲乙乙丙丙丁丁戊四线俱等令于两底上依前题别作甲己丙及丙庚戊两形相似而与前两三角形相并者等周题言甲己丙丙庚戊并大于甲乙丙丙丁戊并
论曰将甲丙丙戊作一直线而甲丙底大于丙戊底乃从巳过乙作己壬线两分甲丙于壬又从丁过庚作丁辛线两分丙戊于辛其甲己乙三角形之甲己己乙两邉与乙己丙三角形之己丙己乙两邉等而甲乙乙丙两底又等则甲己乙角与丙己乙角亦等【一卷八】又甲己壬三角形之甲己己壬两邉与丙己壬三角形之丙己己壬两邉等则甲己壬角与丙己壬角等而甲壬壬丙之两底亦等【一卷四】壬之左右皆直角因显丙辛辛戊亦等而辛之左右角亦直角矣次引丁辛至癸令辛癸与丁辛同度而从癸过丙作癸丑直线则丁丙辛三角形之丁辛辛丙两邉与辛癸丙三角形之辛癸辛丙两邉等而辛之上下角亦等为直角丁丙丙癸两底等而丁丙辛角与癸丙辛角俱等【一卷四】丁丙辛角既大于庚丙辛角而庚丙辛角相似与己丙壬角即相等【一卷五】而丁丙辛即癸丙辛总大于己丙壬其癸丙辛角等于对角之丑丙壬【一卷十五】是丑丙壬亦大于己丙壬而引癸丑线当在于丙己之外也若夫癸丙丙乙二线涵癸丙乙角向壬试作癸乙线以分壬丙于子而并乙丙丙癸二线必大于癸乙线【一卷二十】则己丙丙庚并亦大于乙癸线何也此四形者两两相并为等周则甲乙乙丙丙丁丁戊四线并与甲己己丙丙庚庚戊四线并原相等而减半之乙丙丙丁即乙丙丙癸与己丙丙庚亦相等故也并己丙丙庚二线为一直线就线上作直角方形必大于乙癸线上之直角方形夫己丙丙庚并之直角方形与己壬庚辛并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并相等【九题】而癸乙上之直角方形与乙壬并辛丁【即辛癸】上之直角方形及壬子子辛上直角方形并又自相等【九题 从子上分两对角其角等而壬与辛俱为直角相似之形令移置辛癸与乙壬之下移置壬辛为癸垂线则乙壬辛癸为股壬辛为勾乙癸为矣】此己壬庚辛线并之直角方形及壬丙丙辛上之直角方形并明大于乙壬丁辛并之直角方形及壬子子辛上之直角方形并也此两率者每减一壬辛上直角方形则己壬庚辛共线上之直角方形大于乙壬丁辛共线上直角方形矣而己壬庚辛两线并大于乙壬丁辛两线并矣此两率者令一减乙壬一减庚辛则己乙岂不大于丁庚乎壬丙原大于丙辛【以甲丙原大于丙戊故】则己乙与壬丙矩内直角形大于丁庚与辛丙矩内直角形而乙己丙三角形为己乙壬丙矩内直角形之半何者令从壬丙作垂线与乙己平行而以乙己为底就作直角形此谓己乙壬丙矩内直角形其中积倍于己乙丙三角形反之则己乙丙角形为己乙壬丙矩形之半其丁庚丙三角形亦然乃丁庚及辛丙矩内直角形之半也则己乙丙三角形大于丁庚丙三角形而甲己丙乙甲形为丙乙己三角之倍者亦大于丙庚戊丁形为丁庚丙三角之倍者矣此两率者又每加甲乙丙与丙庚戊之三角形则甲己丙及丙庚戊之两三角形并岂不大于甲乙丙及丙丁戊之两三角形并哉
第十二题
同周形其邉数相等而等角等邉者大于不等角等邉者
先解曰有甲乙丙丁戊己多邉形与他形同周同角者较必邉邉相等乃为最大之形
论曰若谓不然先设甲乙乙丙不等邉如第一图又作甲丙线于上作等邉三角为甲庚丙形与甲乙丙等周【本篇七】则甲庚丙丁戊己形亦与甲乙丙丁戊己形等周而甲庚丙三角形必大于甲乙丙三角形【本篇八】令每加丙丁戊己角形则甲庚丙丁戊己形亦大于甲乙丙丁戊己形故知不等邉者不为最大其他如丙丁邉之类或不等者亦如此推
次解曰又设甲乙丙丁戊己等邉形与他形同周同邉者较必角角相等乃为最大之形
论曰依上论各邉俱等则甲乙丙丙丁戊为等邉三角形【邉角俱等】而甲乙乙丙与丙丁丁戊相等若谓不然而乙角可大于丁角则甲丙线必大于丙戊线【一卷二十四】试于甲丙丙戊两底上别作三角形为甲庚丙为丙辛戊如第十题相似形令与甲乙丙丙丁戊并者等周则甲庚丙并丙辛戊者大于甲乙丙并丙丁戊【本篇十一】而每加丙戊己角形则甲庚丙辛戊己必大于甲乙丙丁戊己也何得以等周等邉而不等角者为最大乎
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>
第十三题
凡同周形惟圜形者大于众直线形有法者
解曰有甲乙丙圜形又有丁戊己多邉有法形其周等题言甲乙丙大于丁戊己
论曰庚为甲乙丙之心辛为丁戊己之心甲乙丙外另作壬乙丙癸多邉形与丁戊己相似【四卷十六注】而从壬癸切圜于甲者作半径线于庚则庚甲为壬癸垂线而分壬癸之半【三卷十八】又从辛作子丑垂线则辛丁亦分子丑之半【三卷三此设于两多邉形外作切形圜而以壬癸子丑为切圜线向心作垂线则垂线必分切线之中故説在四卷十二】两形相似其壬全角与子全角等则半之而甲壬庚角与丁子辛角亦等壬甲庚直角与子丁辛直角亦等【一卷三十二】然乙壬癸丙之周大于圜周而圜周与丁戊己形相同则是乙壬癸丙周原大于丁戊己周矣夫两形相似而壬癸邉大于子丑邉则半之而壬甲亦大于子丁又壬甲与甲庚若子丁与丁辛之比例【六卷四】而壬甲大于子丁则甲庚亦大于丁辛【五卷十四】是故取甲庚线与半圜周线以作矩内直角形其与圜地等也大于取丁辛线与丁戊己半周线以作矩内直角形其与形地等也【本篇四】系曰推此见圜形大于各等周直线形【第五题证有法形同周者多邉为大又十二题证等周及邉数之等者有法为大又本题证等周之有法形惟圜为大则圜为凡形等周者之最大】
第十四题
锐觚全形所容与鋭顶至邉垂线及三分底之一矩内直角立形等
解曰有觚形不拘几面如甲乙丙丁戊底其顶巳又有寅庚直角立方形者其底庚辛壬癸得甲乙丙丁戊底三之一其髙庚子与觚等髙题言此寅庚形与觚形所容等
论曰从立形底诸角与相对一角如子角者皆作线以成庚辛壬癸子觚形此形与寅庚形同底同髙又同己甲鋭觚之髙既己甲形兼庚辛壬癸子觚之三【十二卷六注言两觚形同髙者其所容之比例如其底底等亦等底倍亦倍】寅庚全形亦兼庚辛壬癸子觚之三【以同底同髙故在十二卷七系】则寅庚全方与己甲觚等
第十五题
平面不拘几邉其全体可容浑圜切形者设直角立形其底得本形三之一其髙得圜半径即相等【可容浑圜切形者必圜形与诸面相切若长广不切诸面者不在此论】
解曰有甲乙丙丁形内含戊己庚辛圜其心壬而外线甲乙切圜于戊【十一卷三题】试从戊壬割圜之半作戊己庚辛圜【圜形书一卷一题】从壬心望各切圜之防作壬戊为甲乙垂线【三卷十八】壬己为乙丙垂线壬庚为丙丁垂线壬辛为甲丁垂线别一直角立方形午子其底子丑寅癸得甲乙丙丁体三之一而其髙辰子与圜半径等题言此直角立方形与甲乙丙丁全体等论曰从壬心与甲乙丙丁各角作直线即分其体为数觚形其面即为觚底而皆以壬心为觚锐顶此各觚皆以其三分底之一及至锐髙之数为直角立方形皆与觚所容等【本篇十四】又并为一形即与甲乙丙丁体等亦与午子等以午子底正得甲乙全形三之一而其髙分圜半径也
<子部,天文算法类,推步之属,乾坤体义,卷下>
第十六题
圜半径及圜面三之一作直角立方形以较圜之所容等
解曰有甲乙丙浑圜其心为丁又有直角
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