如图列实检一二两筹第一行是○一二商作一数除实一二尚余九六至第八行得○九六商作八恰尽又因所减数是○一二故于实首位作圈而以商得一对此商位书之此定位之根次所减亦是○九六故以商得八进位书之以暗对其○因法以十为首则十字之上方是单位数至一恰当万也
三商式如有水轮毎日共转二千二百四十四周一日十二时每时几何转曰每时一百八十七此亦欲分为十二也故用一二两筹检筹第一行是○一二商一减实一千二百余一千四十四次检筹第八行是○九六商八减实九百六十余八十四末俭筹第七行是○八四商七法以十为首则十上一位为单数初商数对所减筹第一位因初商是○一二故遂以一字对书之商当有○式三十二万三千八百七十六两五百三十八人分之问各若干曰六百零二两
列实查筹三筹横数止四位截实左四位曰三二二八作三千二百二十八查至六格自左向右曰三二二八作三千二百二十八畧少于实数七格则多矣用六为初商相减余一十以余实一○及截七六作一千零七十六此乃次位无实也次商当作○竟不除实余实仍是一千零七十六查至二格一零七六适等用二为三商 若次位三位俱无实者即一连两商皆当作○
法有○位式假如布二万一千七百六十八丈给与九百○七人各几何曰每人二十四丈此欲分为九百○七分也故以九筹○筹七筹为法检筹第二行一八一四商作二葢一格本少自二格以下皆多唯第二格略少于实数故商二减实一万八千一百四十尚余三千六百二十八丈减至第四三六二八恰尽故又商四因法首是百故百上为单位知为二十四丈以上皆法少于实故法首在原实中乃本位也
法多实少式【即除分秒法】假如银五百一十二两给六百四十人各若干曰每人八钱解曰凡不能成一单数者皆分秒也故斤下有两两下有钱钱下有分分下有厘厘下有毫零以两为主以两为主则两为单位而钱为两十之一八钱即十分两之八此欲分为六百四十分也故以六四两筹为法检筹第八行恰尽故商八又所减首位不空故商数对之定位法曰此法多于实也防法首位百逆上一位是两二位空则知是钱
又式如饥民四十八万口赈米三千六百石各得若干曰每口七合五勺此人分米也故以四十八万为法列四八两筹检筹第七行是三三六初商七余二百四十石次检筹第五行是二四○次商五恰尽定位法于原实内防法首位而原实内无十万只有千虚进一位防万又进一位十万十万者法首位也再上一位得零是单石石位○顺下斗升俱○知所得为七合五勺以上两例皆法多于实者其法首位或在原实中必原实首位也或不在原实中则于其原实上几位也要之皆不能满法其所得必为分秒
法多实者实乃零数法乃整数假如有银四百五十六两而千百十人分是也
实多法者法乃零数实乃整数假如有银四百五十六两而有二三十人分也
法首位者法首位之数也若法首是十即于实之十位上为法首位若法首是百即是实之百位上为法首位法首位上一位是单者如实之十数是法首位而十上之百数位即为单位也实之百数是法首位而百上之千即为单位
实不尽式二千三百三十六两九十五人分之问各若干曰三十五两余实一十一两
列实查筹二筹横数止三位截实左三位曰三三三查至三格自左向右曰二八五略少于实数用三为初商相减余四八以余实四八及截外六作四八六查至五格四七五略少于余实用五为次商相减尚余一十一为不尽数也
开平方法
术曰有积数【即实数】有商数商有方法有廉法【倍初商】隅法【次商】置积数従末位下作防向左隔一位作一防有一防知有一商也视平方筹内自乗之数与实相等或略少者取以除实但自左一防为始【此谓横列者若上下列则従上始】防前无位则自乗止于零数防前有位则自乗应有十数而此乗数在筹内第几格即用其格数为初商也有二防者以初商倍之乃以倍数查筹列于平方筹之左再视诸筹横行内数与存实相等者用以除实而此实在几格即用为次商法不尽者以法命之或实右加○再开之
开方有实无法故用方廉隅以代之初商积与次商隅积皆自乗数也次商廉积之数处初商与隅积之间也
第一防求初商之根为方法乙为方
积也不尽求二防之商倍初商根为
廉法甲丙两长边也隅法丁方一角
也此甲乙丙丁为平方二商之形如
三商则加戊已廉及庚隅也
积三万二千○四十一平方开之问边得若干曰
一百七十九 别列积为实従末位一下作点向左隔一位○下作点三下作点共得三点知商有三位也点左无实【横言左竪言上】三作零数视方筹内自乗无三近少为
一平行取一为方法为初
商乃于实三内减去一格
自乗之一存二以共次点
实曰二二○为余实次倍
初商根得二为廉法【倍一为二】取二号筹列方筹之左于
两筹横行内求二二○无
则用近少者一八九在第
七格即七为次商为隅法
乃以一八九减余实二二
○余三一以共三点之实
曰三一四一为次商余实
再倍初次两商之一七得
三四【初商一作一十次商七共为十七倍为三】
【十四】为次廉法乃去次商所列之第二筹又取三号四号两筹自左向右俱列方筹之左于横行内求三一四一在第九格即九为三商为次隅法减实无余即三次所商为平方边一百七十九也
开立方法
术曰有积数有商数商有方法有平廉法长廉法隅法置积为实従末位作点向左隔二位作点每一点有一商视立方筹内再乗之数有与实相等或近少者用以除实也但自左一点为始点前无位则再乗止于零数点前有一位则再乗应有十数点前有二位则再乗应有百数而此乗数在第几格即用作初商也有二点者以初商自乗而三倍之为平廉法以初商三倍之为长廉法却以平廉法数查筹列立方筹左以长廉法数查筹列立方筹右乃视左筹与方筹之横行内数查其或等或少于余实者取格数为约数即以此为次商以次商自乗之数与长亷法数相乗进一位书于约数之下以此二数并之除其余实即得立方边也不尽者依法命之
其一作六面方体诸面线角皆相等此名方法体成甲乙丙丁形
此初商形也凢边皆初商之数
其二作六面扁方体其上下面各与方法等旁四面之髙少于方法之髙而四棱线皆等此各平廉法体成戊己庚辛形
其三作六面长方体其上下左右四面与平廉之旁面等两端之四界线皆与平廉之高等此名长廉法体成壬癸形其四作六面小立方体六面之广袤皆
与长廉之两端等此名隅法体成子丑形
通曰右三形皆次商形也三四商者亦如此三形増之
后边长廉之下
尚有一平廉
通曰初商方根次商上加一平防左加一平防后加一平防故三倍初商之自乗为平防法也上与后之边齐右加一长防上与左之边齐前加一长防左与后之边齐下加一长防故三倍初商为长防法也上与左与后三角加隅法而立方形成矣
积九百二十一万九千三百二十九立方开之问
边得若干曰二百零九 别列积数为实从末位九
下作点向左隔二位作点
凡三点知商有三位也点
前无实则实前九为零数
视立方筹内再乗之数无
九三格二七过实用二格
八实之近少数也即取二
为方法为初商九内减八
存一以共次点之实曰一
一二九为余实将初商二
自乗得四又三倍得十二
为平防法取一号二号
两筹列方筹左又将初
商二三倍得六为长防
法取六号筹列方筹右
乃于立方与平防共三
筹内之横行数取其少
于余实者为约数视筹内无近少数即第一格之一二○一亦多于余实之一一二九遇此则知商有○位矣竟于初商下作○以当次商而实数不动复开第三点之实一一二九三二九将初次两商之二○【此作二十】自乗之得四○○【此作四百】又三倍得一二○○【此作一千二百】为次平廉法乃取一号二号○○○号之四筹列方筹左而去次商所列之平廉两筹又将初次两商之二○【此作二十】三倍之得六○【此作六十】为次长廉法取六号○号两筹列方筹右而去次商所列之长廉筹乃于立方与次平廉共五筹内之横行数取其少于余实者为约数至第九格曰一○八○七二九另立之向立方筹右平行取九格内平方之自乗数八十一以乗次长廉六○【此作六十】得四八六○【此八十一囘六十也】进一位列约数一○八○七二九之下相并得一一二九三二九以此数除余实之一一二九三二九恰尽乃以约数之格数九为三商也三次所商曰二曰○曰九是谓立方根二百零九也通曰长廉筹止
用其号数格内诸数皆
无用即不列筹而止列
数亦可开方宜入少广
章因有此二筹故亦附
于此
周易函书约存卷十三
<经部,易类,周易函书约存>
钦定四库全书
周易函书约存卷十四礼部侍郎胡煦撰原古【冒道分】
宫与商商与角征与羽相去各一角与徴羽与宫相去各二则音节不和故角徴间収一律近徴比徴少下曰变徴羽宫间収一律少髙于宫曰变宫自宫九寸三分损一为徴六寸徴三分益一为商八寸而不可分故止三统乃析七十二分生羽四十八至角六十四则三分余一故止五音乃析一为九厘为五百七十六三分损一得三百八十四生变宫三分益一得五百十二生变徴三分余二此变声所以止二也曰和曰缪故不为调约以寸法则黄林太得全寸约以分法则南姑得全分约以厘法则应得全厘约以毫法则大夷得全毫约以丝法则夹无得全丝至中吕之实十三万一千七十二分三余二律之终也变则旋起凡数始于一成于三此后则两而一变
煦按初九初六之类即所纳之爻也其圗本复南而姤北取其合隂吕所居取冲之妙也予谓宜倒之取其于乾坤纳甲之义合也易冒天下之道万事万物无出隂阳则乾坤二者其既包之矣易曰雷出地奋豫先王以作乐崇徳夫奋之云者一阳之动用也雷之云者一阳初奋之声也阳与隂遇击而声出故易于雷霆谓之为鼓凡两物相击皆能出声势使然也防之初隂遇阳亦振而为声兑之末隂居上亦口而出言易谓雷风相薄皆隂阳之初遇耳丝静也手抚之而成韵竹静也气嘘之而成音金石之无知搏拊之而应节皆两物之击也声有永短始之终之则其中有渐矣损之益之所以应律也圣人之徳何遽不昭于韶夏乎
通曰六律居子寅辰午申戌不动六吕皆取冲位未居丑为十二月酉居夘为二月之类是也凡阳生隂谓之下生用三分损一求之凡隂生阳谓之上生用三分益一求之葢相生则以子午分隂阳不以律吕分隂阳也详后
煦按五音六律度量权衡皆以黄钟为之根本则求其故者必先定黄钟之积固已然积黍以求之而黍有大小歴代之所考其数各各不同是黍之不可以为准也葭灰候气之説出于司马歴代因之然皆信耳之过夫地之厚不知其几万里矣阳生地中一日之运量亦不知其几千里矣今以数寸之管或长或短候于地面七八九寸之间欲其气应无违是冬至初复之气仅在此地面数寸之间至极深极逺之下必无有初复之气矣且又欲于大寒雨水逐节之气各当其管而胥为之应是天地间之阳气终嵗之间仅在此地面数寸中其何以处夫数寸以上而至于无上数寸以下而至于无下者其亦不思之甚也夫候之于管而遂能动荡其灰亦谓气之能力然耳若然则阳气初至虽曰甚微既能动荡其灰则必有隐隐欲动吹之如风者存也始阳初复彼其风力既能如此逮于极盛彼其风力当亦从之而极盛矣乃后乎冬至何未闻风气之运邪岂初至之风力可征而极盛之风力反防而不可征邪岂极盛之阳非此初复之阳渐进而趋盛者邪夫隂阳之气行于天地间者寒暖止耳非谓气行皆必有风力存也譬若花之有香人皆谓为香气岂非风力推送使然况在冬至初复之阳尤极防极微者邪尝闻古人以炭与灰各适其均而平悬之逮及冬至后则炭重于灰夏至后则灰重于炭何也阳暖则熯能使灰轻隂凝则湿能使灰重至炭之坚实则隂阳皆不易入故仍其重耳此冬至后所由炭重夏至后所由灰重也知灰之或轻或重由于阳之熯隂之湿则但于春秋二分以物包灰约其分两之轻重空悬室中逮于冬夏二至察其重轻当必有较然可辨者此气之能力使然非气之风力使然也不征其气之能力而但以为气之风力至于候之不验则从而咎灰于是乎求其至轻至妙者而至于葭逮于葭灰候之而又不騐也则又归其咎于壮风之摇撼而以为其室不密于是乎又以缇素密帷候于室中木架之上凡此皆意以为然从无实据而未知隂阳之妙各有真机非气也亦必非风力之所能显
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