不处于势函数曲线的洼中，只要有微小的干扰就会很快变化到两个稳态之一中去。形象地讲，系统处于稳定态，好比小球处于低洼的坑中。
对于不同的系统，变量的内容千差万别，稳定机制也极不相同。但这种高度抽象的数学表达方式，抓住了系统稳定性在行为方式上的共同特点，从而为研究系统稳定性是怎样随不同因素而变化提供了一般性的数学语言。
这样一来，φ和ψ这两个变量是怎样影响王朝的稳定性就可以用洼的深浅形象地表示了。一体化的调节力量越大，王朝的大一统局面就越稳定，其表示方法是ψ越大，b洼就越深。而无组织力量越大（φ越大），代表大一统的b洼就越浅。随着无组织力量增加ψ减小，势函数变化如图35、图36、图37所示。当无组织力量φ增大到一定程度时，b洼就消失，这时大一统王朝不稳定，系统不能再处于b，它一下子离开b，向a突变，如图37所示。这就是王朝崩溃。如果在崩溃动乱中无组织力量没有减少，系统就会落入a洼，呈分裂割据状态。同样，如果一开始社会处于分裂割据状态a，随着一体化调节力量的不断增加，φ增大，势函数曲线就会如图38、图39、图40所示的变化。当一体化调节力量ψ大到一定程度，分裂局面就维持不住了，系统重新从a状态突变到b状态，表示新的统一王朝的建立。我们找到王朝稳定性的数学表示，也就找到了王朝崩溃和建立的表达方法了，这就为建立数学模型奠定了基础。
10．4行为曲面与盛衰曲线
建立模型最重要的是明确ψ、φ两个变量和s的关系。我们以ψ、φ两个变量组成底平面，s为垂直坐标，在sxψxφ空间大一统封建王朝就不稳定，封建割据的分裂状态倒是稳定的。我们在讨论ψ、φ是如何影响s的时候，首先要设法用数学语言来描述王朝的稳定性。
控制论指出，任何一种稳定态必定有着相应的稳定机制，它可以抽象地用势函数趋于极小值的动态过程来表达，也就是说，稳态状态相当于势函数曲线的一个洼。如图34中，曲线有两个洼，第一个挂的中心位置在a点，第二个洼的中心位置在b点。只要系统处于a点或b点，都是稳定的。
为什么稳定性可以用这种方法来表示呢？因为从系统的行为来看，稳态可以看作是当这一状态受到某种干扰而发生偏离时，系统可以自动消除偏离回到稳定态。图34中的两个洼就具有这种性质。假如系统受到某种干扰偏离稳态a时，系统的势函数就相应增大了。系统的稳定机制是使势函数趋于最小，就会有一个变换，使系统状态回到稳态a。在图34中。这一稳定机制形象地表示为系统状态自动地下滑回a点。同样，另一个洼b点，中，描述s和ψ、φ关系的是一曲面，我们称之为“行为曲面”。
知道了行为曲面的形状，就知道ψ、φ怎样决定s了。但由于我们不知道势函数g(s、ψ、φ）的具体形式，粗一看去，行为曲面是导不出来的。但前面的讨论已明确，势函数最多有两个洼，一个洼代表王朝大一统状态，另一个洼代表封建割据状态。并且，ψ越大，φ越小时，大一统状态就越稳定，其相应的洼就越深。而当φ越大，ψ越小时，代表封建割据状态的另一个洼就越深。有了这种拓朴特征的规定，我们就可以在不了解函数g（s、ψ、φ）的具体形式条件下，也能得到行为曲面。新近的突变理论证明，凡是具有上述条件的势函数洼的位置和控制变量的关系，都可以用折叠型模型来表示，其行为曲面如图41所示。行为曲面上任一点表示不同的ψ、φ值下封建王朝所处状态。行为曲面有一折叠，折叠的上半叶相当于系统处于b状态，即大一统状态；折叠的下半叶表示a状态，即分裂割据状态。折叠面之间的尖角形空间表示大动乱，它是由b到a突变过程的不稳定状态。当ψ和φ都很小时，折叠消失在q’点七，就是说φ和ψ趋于0时，社会组织几乎不存在了，这时也就无所谓社会的统一状态和分裂状态的区分了。
行为曲面的折叠在底平面（控制平面）上的投影为一尖角形（图42）。折叠的一边q’m’在底平面上的投影为qm，另一边q’n’的投影为qn。我们将qn称为“建朝边界”，qm为“动乱边界”。为什么要这样称呼呢？如果社会一开始处于分裂割据状态k，随着ψ、φ两个量的变化，社会状态沿着kk’曲线在曲面上变化，一旦到达q’n’边界上，分裂割据状态的面就中断了。系统状态将突变到行为曲面上半叶的l点，表示大一统的新王朝建立。k’点相应的ψ和φ值正好在qn线上，也就是说qn线表示一条边界，只要ψ、φ值一旦达到它，新王朝建立，所以称qn为建朝边界。同样，只要ψ、φ值落到qm线上，系统状态就从上半叶跌落下来，跌落过程处于折叠区的空间，表示社会的大动乱。所以qm线称为动乱边界。在底平面图上，qm以下的区域表示系统处于分裂割据状态，大一统王朝不能建立。现在，我们可以用图41所示的模型来形象地描述中国封建王朝的盛衰变化了。我们假定，一个新王朝建立时ψ、φ的情在a1点上，随着ψ、φ两个值的变化，社会状态点在行为曲面的上半叶沿着曲线a1b”d”1运动。到达d”1点上，φ、ψ值就到达了动乱边界，大动乱以突变的方式出现，社会状态顺着d”1k线落下来。一旦社会状态脱离d”1点处于两个折叠面中间时，表示整个社会处于不稳定的大动乱之中。这时，就有两种可能性。一种是大动乱有效地杀伤了无组织力量，使φ位迅速变小，也就是说φ值在社会状态离开d”1点时就开始减小，还未落到行为曲面下半叶时，无组织力量φ的值已充分小，使得ψ、φ值又回到建朝边界上。这时系统就不会落到k点，分裂割据不会出现。系统状态在φ变小过程中落到行为曲面下半叶的折叠边界——建朝边界上，系统马上又以突变的方式回升到行为曲面的上半叶。新的大一统封建王朝建立了。它表示改朝换代。第二种可能性是，大动乱没有有效地消灭无组织力量，φ值不能迅速变小，ψ、φ值不能回到建朝边界上，这时系统就会落到行为曲面的下半叶，表示出现稳定的分裂割据局面。
我们可以看到，只要根据王朝各个时期ψ、φ两量的变化，就可以通过模型把握王朝盛衰和动乱。读者显然可以发现第六章图17所示超稳定系统行为曲线，就是根据这一模型画出的。读者会说，这种数学模型有什么用呢？它只不过把我们用描述性语言所叙述的历史过程用一个立体模型图来表示一下而已。实际上数学模型的作用远不止于此，它可以使我们把握用直观的描述性语言所难以捉摸的条件。例如，ψ、φ两个变量变化到什么范围内会出现王朝崩溃，在什么条件下稳定的分裂割据状态会出现等等，从而使研究可以更为清晰和细致。下面，我们根据模型作深入一步的讨论。
1o.5王朝盛衰方程
我们先分析ψ、φ变化的规律性。中国封建社会存在三种不同状态：大一统王朝的稳定局面、崩溃动乱和分裂割据。在这三种状态下，ψ、φ变化的情况是不同的。下面，我们分别进行讨论。
一，统一王朝稳定状态。
这时，ψ、φ的变化是连续的，不采取突变的方式。ψ、φ两个量的变化可以用微分方程来描述，也就是说，ψ、φ两个量各自只能影响对方和自身的增长率，而不能直接限定对方。这是社会稳定期间连续变化的量往往具有的特征。于是可以用如下方移表示ψ、φ的关系：
dψ/dt=p(ψ、φ）
dψ/dt=q（ψ、φ）
一般说来，p（φ、ψ），q（φ、ψ）是。，ψ的非线性函数。在每个大一统王朝中无组织力量和一体化调节力量能存在大致机同的制约关系，我们可以认为方程（1）、（2）对于历代封建王朝都是相同的。显然，只要知道（1）、（2）方程的具体形式，ψ、φ两个量在王朝稳定阶段的变化情况就可以确定了。个尽管我们还不具备精细地、定基地考察ψ、φ之间关系的条件（缺乏统计分析基础），但仍可以根据前九章得到的历史结论对方程进行考察。
我们已证明无组织力量中的增长是不可遏制的，并且具有自繁殖性。这些特征可以用数学形式表示为；
dψ/dt=p（ψ，φ）>0，且
p（φ1，ψ）＞p（φ电，ψ）当φ1＞φ2时（3）
我们还论证了一体化调节力量越大时，无组织力量越长越慢，这一关系可以表示为：
p（φ，ψ1）＜p（φ，ψ2）当ψ1>ψ2（4）
当无组织力量大到一定程度对，它对一体化调节力量的破坏将加剧。这种关系也可以用数学表示为：
dψ/dt=q（φ1，ψ）<0当φ1很大时（5）
方程（1）、（2）是王朝盛衰方程。条件（3）、（4）、（5）是对p（φ，ψ），q（φ，ψ）函数关系的限定。有了（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式，确们就可半定量地讨论王朝寿命。
二，王朝崩溃动乱状态。
王朝崩溃动乱时，ψ、φ两个量的变化再也不遵循方程（1）、（2）了。大动乱中，无组织力量和一体化调节力量的变化不是连续的。很难用方程来描述它们。一般说来，大动乱发生后无组织力量就迅速减小，一体化调节力量一开始也是减小的，但只要王朝修复机制不出现障碍，一体化调节力量在减小以后还会增加，这就使得中国历史上多数场合大动乱发生不久，ψ、φ状态很快回到建朝边界，新王朝得以重建。
另一种情况是，φ不能有效地减少，这时将出现某种稳定的分裂局面。
显然，只要引入这一阶段ψ、φ两个量变化的数学描述，也应该是可以半定量地讨论正朝崩溃持续的时间，割据出现的可能性等问题。我们在本章不涉及这些问题的讨论。
三，某种稳定的分裂割据局面。
一旦系统跌落到代表分裂割据状态的行为曲面的下半叶，ψ、φ两个量的变化和上述两种情况都不一样了。社会上存在着几个相对稳定的相互交战的小国，已不象大动乱时处于完全无序的状态。小国割据及其战争，并不能象大动乱那样杀伤无组织力量，这时如果整个社会无组织力量φ变化不快，而一体化调节力量ψ迅速变大，那么系统会进入建朝边界，在分裂割据的基础上实现统一。秦、西晋、隋、宋代的建朝就是这样。如果ψ量增长很慢，例如魏晋南北朝，这时系统就会长期停留在行为曲面下半叶。
显然，只要进一步引入这一阶段中ψ、φ在各种条件下变化的模型，也是可以半定量地讨论分裂割据局面维持的时间、统一发展的过程等问题的。但在本章数学模型中我们不准备讨论它，而仅就王朝稳定阶段ψ、φ变化来研究王朝寿命问题。
10．6王朝寿命讨论及其他推论
现在，我们可以用这一模型来导出一些凭直观难以推出的结论。
在此，我们仅限于对数学模型半定量地讨论。所谓半定量地讨论，是指引进变量，但不进行具体的数值运算，只从模型来分析各个量之间的关系。在社会科学研究中进行半定量的讨论，是有价值的。它可以避免大量统计所带来的困难和混乱，又能发挥数学模型的精确判断作用。
一，一个朝代开始时，内部无组织力量越小，王朝寿命就越长。
要计算王朝寿命就必须先求出ψ、φ运行轨线。可以在数学上证明，王朝在建朝边界上处的起点位置不同，运动轨迹也是不相交的，如图43所示。如果a1、a2、a3……a6各点为不同朝代起点，a1b1d1等轨线代表各个朝代。数学上可以证明，当王朝建立时无组织力量越小，即越是外部的轨线，相应王朝寿命越长。
这个推论揭示：封建王朝内部无组织力量积累的程度和它的寿命长短有着深刻的内在联系。一个在建朝时看来不那么富裕强盛的王朝，但因其内部无组织力量较小，发展余地倒很大。而一些建朝时十分强大的王朝，其发展余地却很小。
这个推论与历史事实符合程度如何呢？尽管我们目前还缺乏各王朝建朝时无组织力量大小的统计资料，但仍可以举出一些众所周知的历史事实来印证。
西汉和东汉两个朝代，从历史记载上看，东汉初年无组织力量明显大于西汉初年。汉光武帝不敢触犯豪门士族的利益。东汉寿命比西汉短。历史学家知道，在三国基础上实现统一的西晋王朝，无组织力量——一主要是贵族门阀势力相当强大，其寿命也很短。
因为统计资料的不足，我们很难确定一些王朝建立时无组织力量的大小。但是，我们在前面几章中已讨论过，农民大起义对无组织力量扫蕩得越彻底，新建王朝初期的无组织力量就越小，其寿命就越长。这一结论，本章用数学模型半定量分析作出了
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