之与乘第一数得数必同故竟以乘法乘对数根为第一数也本应以对数根乘不用之第一数然后以乘法乘之而不用之第一数系单一故可省乘其求对数根用第一术而此用第二术者盖对数根之用数系多位畸零凡多位畸零者除便于乘故以一次除代一乘一除既用除法则用第一术与第二术同一畸零除法不如第一术之降位稍易矣若今所求之用数均位少而无畸零不惟乘法止一二位抑且用第二术则除法即单一可以省除故虽降位稍难而终以第二术为便也
假如有借数求二十三之对数
法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘之得一千零三十五降三位得一三五为二十三之用数减去首位单一得三五为递次乘法乃以乘法乘对数根得一五二三六八六六六一三八一三四为第一数正 乘法乘第一数一乘之二除之得二六六五三七一六五七四一七为第二数负 乘法乘第二数二乘之三除之得六二六七九一九七五三四为第三数正 乘法乘第三数三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五为第四数负 如是递求得四五六一九九二九八三为第五数正 一三三五八一二九为第六数负 三九九一七四三一为第七数正 一二二二四七一为第八数负 三八三二为第九数正 一一九八为第十数负 三八为第十一数正 一为第十二数负 乃并诸正数得一五二六五一八二二四五七一九九五八又并诸负数得二六六一六八四三一六三五四三八一以负减正得一四九四三四九七九二九三六五五七七为用数之对数以系降三位乃于首位加三得三一四九四三四九七九二九三六五五七七为一千零三十五之对数以系五与九叠乘所得乃以五与九两对数相得一六五三三一二五一三七七五三四三六七九三减之得一三六一七二七八三六一七五九二八七八四即二十三之对数也
用数一三五
乘法三五
第一数 一五二三六八六六六一三八一三四 乘法乘之一乘二除得
二二六六五三七一六五七四一七 同 二 三
三六二六七九一九七五三四 同 三 四
四 一六二九二八二八九二二六五 同 四 五
五 四五六一九九二九八三 同 五 六
六一三三五八一二九 同 六 七
七三九九一七四三一 同 七 八
八 一二二二四七一 同 八 九
九 三八三二 同 九 十
十一一九八 同 十 十一
十一 二八 同 十一十二
十二一
正数 一五二六五一八二二四五七一九九五八
负数 二六六一六八四三一六三五四三八一
减得一四九四三四九七九二九三六五五七七
首位三一四九四三四九七九二九三六五五七七
加三
二与九 一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三
对数共
减得一三六一七二七八三六一七五九二八七八四 二十三之对数
按求十万对数前法为便以真数无畸零也若求八对数则真数本属畸零当依求对数根之法为便矣大要求对数之法难于起始以后偏求各数审择用之可耳又今所求之对数系十八位小除二位故须递求多数若求十一二位更不必递求多数也
附对数还原
论借用本数
对数为真数之率数而恒以一为本数第一率既有本数第一率又有率数则依以本数为根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒而一不可用为本数何也整率之第一数可截本数依本率乘数累乘而得若零率之第一数则累乘中无其数对数之为率数皆零率也故其第一数不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率之首位单一者则任倍大若干率而累乘所得之第一数必仍为单一而不变整率遇单一而不变则零率遇单一其第一数必仍为单一而不变无疑矣故凡零率而第一数可用单一者则可知而亦可递求也第一数既必须用单一则以一为第一率内减单一其减余数大而不能递求矣此借用本数之所由来也而借用之本数莫善于一一何以言之盖用第二术则其首位之单一为通用除法既可省除而减去单一得一为通用乘法只须降六位亦可省乘而降位又易故以一一为便也惟诸对数系以一为第一率之率数今用一一为第一率则率数不合矣法先求得一一之对数用为除法凡诸对数以除法除之其所得数即以一一为本数第一率之率数也
假如以一一为借用本数求其对数为除法
法以对数根降六位得四三四二九四四八一九三三为第一数正 以第一数降六位一乘之二除之得二一七一四七二为第二数负 以第二数降六位二乘之三除之得一为第三数正 乃以第一第三两数相内减第二数得四三四二九四二六四七五六二为借用本数之对数即求率数之除法也
本数一一
乘法一
第一数 四三四二九四四八一九三三 乘法乘之一乘二除
二 二一七一四七二 同 二 三
三 一
得数 四三四二九四四八一九三四
减得四三四二九四二六四七五六二 一一之对数
论借用率数
前言以一一之对数除所设对数为率数而一一之对数单位下有七空位诸对数至小者止一空位今以借用本数之对数除之其率数必甚大率数既大则每次通用乘法虽降六位而每次用率数之乘法且不止升六位则位仍不降而不可求矣故须参用旧法先求得自二至九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九自一一至一九各对数列为表视所设对数有首位者先去首位其余足减何数之对数递次减之减至有六七空位然后以借用本数之对数除之为借用率数则率数小而可求矣求得数后再以递减对数之真数累乘之复视首位所减何数依数升若干位即得所求之真数也
求备减表
自二至九各对数依前所求列之自一一至一九各对数内其一二与一四与一五与一六与一八均可加减而得惟一一与一三与一七与一九须仍前求得用数然后递求若一一至一九则原数即可递求不必再求用数至一一至一九则递求各数与一一至一九相同止须逐数递降一位减之即得若一一至一九则再降一位减之以后各数并同此法
真数 假数小余
二三一二九九九五六六三九八一一九四九
三四七七一二一二五四七一九六六二四三七一
四六二五九九九一三二七九六二三八九八
五六九八九七四三三六一八八五一
六七七八一五一二五三八三六四三六三二
七八四五九八四一四二五六八三二二
八九三八九九八六九九一九四三五八四七
九九五四二四二五九四三九三二四八七四二
一一 四一三九二六八五一五八二二五四一七
一二 七九一八一二四六四七六二四八二六九
一三 一一三九四三三五二三六八三六七六九六
一四 一四六一二八三五六七八二四八二七一
一五 一七六九一二五九五五六八一二四二二
一六 二四一一九九八二六五五九二四七七九六
一七 二三四四八九二一三七八二七三九二七八
一八 二五五二七二五五一三三六六九一
一九 二七八七五三六九五二八二八九六一九
真数 假数小余
一一四三二一三七三七八二六四二五六六五
一二八六一七一七六一九一七五五九八
一三一二八三七二二四七五一七二二四六
一四一七三三三三九二九八七八三五四三
一五二一一八九二九九六九九三八七四四
一六二五三五八六五二六六六八四一二六四
一七二九三八三七七七六八五一九六四二
一八三三四二三七五五四八六九四九七一二
一九三七四二六四九七九四六二三六三三八
一一 四三四七七四七九三一八六四七
一二 八六七七二一五三一二二六九一二五
一三 一三九三三一四一八一一四六
一四 一七三三七一二八九五二九七
一五 二一六六六一七五六五七六七六二
一六 二五九七九八七一九九八六一二二
一七 三二九四七五五三六一八七
一八 三四六五三二一九五六四八六
一九 三八九一一六六二三六九一五二一六
真数 假数小余
一一四三四二七二七六八六二六六九六
一二八六八五二一一六四八九五七二
一三一三二六八八五二二七六九
一四一七三六八三五八四六四九一八七
一五二一七九二九七二二三二八二
一六二六四九八五四七三九三四六九
一七三三八九九七八四八一二四九一九
一八三四七二九六六八五三六三五四八
一九三九八六九二四九九一一三一
一一 四三四二九二三一四三八四
一二 八六八五八二七八六二六三
一三 一三二八六三九二八四八九三
一四 一七三七一四三一八四九八九二
一五 二一七一四一八一二四五一五五一
一六 二六五六八八七二一五三九六九
一七 三三九九五四九七六一三九八六
一八 三四七四二一六八八八四三三三
一九 三九八四七四四五八四一六七五
真数 假数小余
一一四三四二九四二六四七五六二
一二八六八五八八九五二一八七
一三一三二八八一四九一三八八五
一四一七三七一七四四五三二六六四
一五二一七一四六六九八八五三三
一六二六五七五九七四一五一
一七三四五七三三一五七七
一八三四七四三四一九五六八七六七
一九三九八六三二七四八三八三
假如有对数一三六一七二七八三六一七五九二八七八四求借用率数
法置所设对数去首位一得三六一七二七八三六一七五九二八七八四检备减表足减二之对数乃以二之对数减之得六六九七八四三五三六一一六八三五又检表足减一一之对数减得二九三五一五五一九五三八六六四一八又足减一四之对数减得二二七一八一五八九六六六二八七五又足减一五之对数减得一五七五四一四九八六一一三又足减一二之对数减得一八九三九二八四四九六五四一又足减一四之对数减得一五三二四九六五九九八四四九又足减一三之对数减得二二九六一五一八四五六四前已得七空位乃以借用本数之对数四三四二九四二六四七五六二除之得五二八七八五九二一二为借用率数也
一三六一七二七八三六一七五九二八七八四 首位减一得
三六一七二七八三六一七五九二八七八四 内减二之对数
三一二九九九五六六三九八一一九四九 减得
六六九七八四三五三六一一六八三五 内减一一之对数
四一二九二六八五一五八二二五四一七 减得
一九三五一五五一九五三八六六四一八 内减一四之对数
一七三三三三九二九八七八三五四三 减得
二二七一八一五八九六六六二八七五 内减一五之对数
二一六八六一七五六五七六七六二 减得
一五七五四一四九八六一一三 内减一二之对数
八六八五二一一六四八九五七二 减得
一八九三九二八四四九六五四一 内减一四之对数
一七三七一四三一八四九八九二 减得
一五三二四九六五九九八四四九 内减一三之对数
一三二八八一四九一三八八五 减得
二二九六一五一八四五六
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