以除法除之得数加一借根为二借根 二借积减本积余以除法除之得数减二借根为三借根 下皆如是求至借根小者渐大大者渐小与元数密合而止
算例
假如平方负积二九正方四负隅一求大元数
以□三之积□三为外积□三为外根求得□二为递次除法 小初商□三为一借根 一借积□三内减本积余以除法除之得□○五以加一借根得□三五为二借根 二借积□二八九七五减本积余以除法除之得□○一二五以减二借根得□三四八七五为三借根 三借积□二九一二三四三内减本积余以除法除之得□○六一七一以加三借根得□三四八八一一七一为四借根截去末三位得□三四八八一为大元数
天元开诸乘方捷术五
如前四术求得元数数位后再欲增求其位则即以求得数位为外根又求得除法 乃以前得数位演为借积与本积相减余以今得除法除之又与前得数位相加减为元数可降数位如欲再求多位则又另求除法依此累求虽求至数十位亦非难事
算例
假如平方负积十六正方二正隅一已求得元数三一二三欲增求之
先用前除法□八四增求一位得□三一二三一仍为借根以借根演得借积一□五九九九九五三六一减本积得余积□○四六三九 乃用前得元数□三一二三一又为外根如前求得除法□八二四六二于末位加一数因前得元数微歉于元数尚非外根故必末位加一方是外根除法也得□八二四六三为除法 除法除余积得□○五六二五五五截去末二位以加前得元数得□三一二三一五六二五为元数 如再欲增求则以现得十位元数又为外根又求其除法以除余积此余积是现得十位元数之积减本积之余也得数又可消得九位矣
按正诸乘方亦可用右术
天元开诸乘方捷术六
方廉隅相减以除本积得一借根 一借根步至方法步法以借根乘隅加减长廉又以借根乘之加减平廉又以借根乘之至加减方止以除积得二借根 二借根步至方法以除积得三借根下皆如是求至借根与元数密合而止
算例
假如平方负积十八正方二十□○九负隅一求小元数方隅相减得一□九九以除本积得□○九四五二为一借根 一借根步至方法得一□九九九五四八以除本积得□○九二为二借根 二借根步至方法得一□九九九九八以除本积得□○九九弃零得□○九即小元数
凡天元开方其方太大猝不能得初商者必元数甚小于奇数有悬绝之势也以右术求之降位颇易且无所用其初商若方不甚大者不可用此术用之则难于降位矣
若元数与隅数同者一除而尽无畸零例如后
又算例
假如立负方积一亿正方一亿十万一千负廉十万一千一正隅一求元数
方廉隅正负减得一亿以除本积得□一即元数也
右题见汪氏衡斋算学谓一与十万相去远矣茫无进退之限初商何以下算而知其翻为同名与否据此则于本法亦未了然也今以此术求之其易如此
天元开诸乘方捷术七
以方为递次除法 除法除本积得一借根 一借根诸数加减本积以借根平积乘第三层以借根立积乘第四层以借根三乘积乘第五层如是乘至隅而止逐数皆与本积同名相加异名相减以除法除之得二借根 二借根诸数加减本积以除法除之得三借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
右术亦方大者用之为便
算例
假如平方负积一百六十正方八十二负隅一求小元数
以方除本积得□一九五一二为一借根 一借根廾乘隅得□三八七一八加本积以方除之得□一九九七六为二借根 二借根廾乘隅得□三九九四加本积以方除之得□一九九九八八为三借根收零进一得□二为小元数
又算例
假如立方负积一千兆正方三百亿廉空负隅一求元数
以方除本积得三三三三□三为一借根 一借根立积乘隅得三十兆七三五九二五九加本积以方除之得三四五六□七为二借根 二借根立积乘隅得四十兆一三三三三一加本积以方除之得三四七一□○为三借根 三借根立积乘隅得四十兆一八一八五六一加本积以方除之得三四七二□七为四借根 四借根立积乘隅得四十兆一八七九五三一加本积以方除之得三四七二□九为五借根即元数
又算例
假如立方负积一千兆正方二百亿正廉十万负隅一求元数
以方除本积得五万为一借根 一借根平积乘廉得二百兆五以减本积一借根立积乘隅得一百兆二五以加本积减余数以方除之得四三七五□○为二借根 二借根平积乘廉得一百兆九一四六二五以减本积二借根立积乘隅得八十兆三七四二三以加本积减余数以方除之得四四六一□六为三借根 三借根平积乘廉得一百兆九九五八七四以减本积三借根立积乘隅得八十兆八八一二四以加本积减余数以方除之得四四四八□七为四借根 四借根平积乘廉得一百兆九七九九三一以减本积四借根立积乘隅得八十兆八四三九一以加本积减余数以方除之得四四五□六为五借根 五借根平积乘廉得一百兆九八七八四以减本积五借根立积乘隅得八十兆八一五六七七以加本积减余数以方除之得四四五□三为六借根 六借根平积乘廉得一百兆九八五一七以减本积六借根立积乘隅得八十兆八一三八九四以加本积减余数以方除之得四四五□四为七借根即元数
右二题旧用益实减实归除得数甚难此术似较易也
天元开诸乘方捷术八
如前诸术先求得元数数位为一借根 前得元数数位又为外根又求得递次除法 一借积减本积余再为积变方廉隅一次以除法除之得次小根以加减一借根为二借根 次小根之积减变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得三小根以加减二借根为三借根 三小根之积减次变积余再为积又变方廉隅一次以除法除之得四小根以加减三借根为四借根 下皆如是求至借根与元数密合而止
按正诸乘方亦可用右术
天元开方至第五术捷矣然依次累求位数愈多乘法亦愈繁求至十余位得借积已难再求不更难乎今用此术截段求之每次得四五位即易一式乘法不致过繁降位亦复甚易也
算例
假如平方负积一百亿正方十万正隅一已求得元数六一八□三欲增求之
以六一八□三为外根如前又求得二二三六□六为递次除法 六一八□三为一借根 一借积九九九九九一八□九减本积余八九一九□一此术不可割零为初变积负倍前得五位加前方得二二三六□六为初变方正一为正隅 置初变积以除法除之得□○三九八八七有奇截用四位得□○三九八八为次小根以加前得五位得六一八□三三九八八为二借根 次小根借积八九一七□四二三一八四一四四减初变积余一□六七六八一五八五六为次变积负倍前得九位加原方得二二三六□六七九七六为次变方正一为正隅置次变积以除法除之得□○七四九八九有奇截用四位得□○七四九八为三小根以加前得九位得六一八□三三九八八七四九八为三借根 三小根借积一□六七六六三七六八九六七四减次变积余□○二一二八七三二九九九九六为三变积负倍前得十三位加原方得二二三六□六七九七七四九九六为三变方正一为正隅 置三变积以除法除之得□○九四八四八有奇截用四位得□○九四八四为四小根以加前得十三位得六一八□三三九八八七五七四八四为四借根即元数
按右例所得十六位元数即理分中末之大分数也
截球解义
徐有壬
几何原本谓球与同径同高之圆囷其外面皮积等截球与截圆囷同高则其外面皮积亦等而不直抉其所以然检梅氏诸书亦未能明释之也蓄疑于心久矣近读李风九章注乃得其解因释之以告同志虽然以戴东原之善读古书而犹谓风此注当有脱误甚矣索解人之难也今释几何原本而风之注因是以明盖风用方今用圆其理则无二也述截球解义
设如径与高等之圆囷内容同径之圆球此球必居圆囷三之二何以明之试将圆囷横切为二则为扁圆囷内容半圆球又将扁圆囷十字直切为四则为圆囷八分之一内亦容圆球八分之一此圆囷上下两平面俱为圆之一象限其外之圆立面为囷外面皮八分之一其凑心两直立面本属囷之半径乘半高即球之半径自乘幂因球在囷内球壳因直切处切成一象限是为球半径幂内容一象限为此体之凑心立面各一
图略于此立面任意横截则皆有正弦有余弦有矢有半径
图略于此体横切之去其上截则高为余弦
图略下半截上面截成两象限一大一小
图略
此下半截上下两平行面仍为圆之一象限而上面一象限因有球壳在内界成一小象限其半径即所截之正弦正弦者句也余弦者股也半径者弦也以句为半径作一象限以股为半径作一象限两象限相并作一大象限必以弦为半径 句方股方并为弦方句圆股圆亦并为弦圆句象限股象限亦并为弦象限以方圆比例推之其理易见
然则截体上面之大象限球半径弦为半径内减球壳所界之小象限正弦句为半径所余环积必与余弦股所作小象限余弦股为半径等矣
立面一象限自高而下所截余弦至不齐也上面大象限减小象限之环积亦至不齐也而余弦为半径作象限必与此环积等此环积总为弦上象限句上象限之较此无高无下无小无大无适不然者也
又试依圆囷之底为底即球中腰大圆面以囷之半高为高即球之半径作一圆锥体而十字切之为象限锥积以象限为底此锥之底两旁之边即圆囷半径亦即球半径也
底边之半径为句锥高之半径为股是为句股相等
于此锥体任意横截为各小锥莫不为底边与高相等之锥苟以小锥高为半径作象限面莫不与小锥底相等此亦无高无下无小无大无适不然者也
小锥之高犹余弦也小锥之底犹大象限减小象限之环积也小锥之高为半径作象限必与小锥底等犹余弦为半径之象限必与环积等也
余弦之自大而递小也截高则余弦大截下则余弦小极高则几与半径等极下则几于无余弦其长短有序不乱今各以为半径作各象限层累叠积必成一象限锥与上锥等而余弦各象限即球内各象限减圆囷各象限之余也圆囷横薄切之皆相等之象限面圆球横薄切之各成正弦为半径之象限面用此知球与圆囷相较必少一锥体矣
是故一锥一球相并必与圆囷等而锥居囷三分之一球必居囷三分之二矣
是故三倍圆珠两倍圆囷其积必等
夫囷之求积以囷之外面皮积为底以半径为高作立方为囷之两倍球之求积以球之外面皮积为底以半径为高作立方为球之三倍今既知球之三倍囷之两倍为相等则两立方等矣又知两立方之高同以半径为高则其底亦必等矣
是故球之外面皮积与囷之外面皮积必等
是故球之中腰大圈乘圆径即球之外面皮积
再就前截体观之以球心为心依球壳所截上面小象限弧为界以半径周遭割之剜出一象限锥此锥以小象限为底此象限以正弦为半径以余弦为高是为内锥
再依前法将截球壳外圆囷所多之积割出准前论知此亦为一象限锥此锥以大象限球半径为半径小象限截球正弦为半径之面积较为底即余弦为半径所作之象限亦以余弦为高是为外锥内锥外锥相并为一大锥亦以余弦为高即原截体之高而以大象限半径即球半径为底即原截体之底此锥必为原截体三分之一上下两面平行体与锥体同底同高则锥必居三分之一而所余者必为三分之二矣
圆囷既剜去内锥割去外锥则所余为圆球截积空中如外面则上小下大必居圆囷三分之二
求圆囷截积者囷外面皮截积为底半径为高作立方为截囷之倍积求圆球截积者球外面皮截积为底半径为高作立方为截球之三倍积今既知截囷与截球若三与二则截囷两倍之立方与截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高为相等之半径则其底亦不得不等矣
是故截球之外面皮积与截囷之外面皮积必等
是故截球余弦高乘球之中周大圈即截球之外面皮截积
全球之外面皮积即圆径乘周也半球之外面皮积即半径乘周也截球之外面皮积即余弦乘周也上截球盖之外面皮积即矢乘周也
球径求积术
径自乘再乘半之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 四分第三数之一又六分去一七分去二为第四数 四分第四数之一又八分去一九分去二为第五数 诸数相并即球积
球径求球壳积术
径自乘三之为第一数 四分第一数之一又二分去一三分去二为第二数 四分第二数之一又四分去一五分去二为第三数 诸数相并即球外面皮积
截球余弦求截球积术
识别得余弦乘周又乘半径为截球
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