平方法除之得全径带从开平方法见前
甲乙二人同出东门甲东行乙南行丙丁二人同出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望悉与城相叅直问其步数则曰甲丙共行了一百五十一步乙丁立处相距一百○二步问城径
释曰此太虚与□勾明股和立法测望甲出东门直行为□勾而乙南行为股丙出南门南行为明股而丁东行为勾甲丙共步□勾明股和也乙丁相距太虚也
术曰共步相距步相减余四十九为差 自之得二千四百○一为差筭 共步自之得二万二千八百○一为和筭 差筭减和筭余二万○四百为实倍距步减差余一百五十五为从 作以从减法开平方法除之得全径
以从减法开平方法见前
又为以从添积开平方
其法曰初商二百 置一于左上为法 置一乘从得三万一千为益积 添入原积共五万一千四百为实 置一为隅法与上法相乘除实四万余实一万一千四百 倍隅法得四百为亷法次商四十 置一于左上为法 置一乘从方
得六千二百为益实 添入余积共一万七千六百为实 置一并亷法共四百四十为下法与上法相乘除实尽
后凡言以从添积开平方法俱仿此
岀南门向东有槐树出东门向南有栁树丙丁俱出南门丙直往南丁往东至槐树下立甲乙俱出东门甲直往东乙往南至桞树下立四人遥相望见各不知歩数只云丙丁共行了二百○七步甲乙共行了四十六步其甲丙立处相距二百八十九步问城径释曰此以皇极与明勾股和□勾股和立法测望槐在南门之东为南之月明勾也丁直行往南为日之南明股也共行二百○七明勾股和也栁在东门之南为山之东□股也甲直行往东为东之川□勾也共行四十六步□勾股和也甲丙立处相距为日川皇极也
术曰二和相减余以减相距余半之得六十四为平勾 以加二和相减为平股 相乘为实平方开之即半径
又曰二和相并以减相距余半之得一十八为泛率加明和为长加□和为广长广相乘得半径筭
南门之东有槐东门之南有栁丙出南门直行丁出南门东至槐下甲出东门直行乙出东门南至栁下相望俱与城相叅直计丙南丁东共行二百○七步甲东乙南共行四十六步其二树相距一百○二步问城径
释曰此与前问同前以逺相距言此以近相距言近相距太虚也以太虚与明叀二和立法测望术曰叀和乘虚又自之得二千二百○一万四千八百六十四为平实 并二和自之得六万四千○○九为二和筭 □和自之得二千一百一十六为□和筭 明和自之得四万二千八百四十九为明和筭 并明和筭叀和筭以减二和筭 余一万九千○四十四为益隅作负隅开平方法除之得叀倍筭与和筭相减开其余得叀勾股较加和半之为股减和半之为勾
负隅开平方曰置所得平实以益隅约之初商三十 置一于左上为法 置一乘益隅得五十七万一千三百二十为下法与上法相乘除实一千七百一十三万九千六百 余实四百八十七万五千二百六十四 倍下法得一百一十四万二千六百四十为亷法 约次商得四 置一于左上为法 置一乘益隅得七万六千一百七十六并入亷法共一百二十一万八千八百一十六
为下法与上法相乘除实尽
此法已见一卷底勾条下因隅算多故重出
又曰隅算除平实即得叀筭
又曰明和乘虚又自之得四亿四千五百八十○万○○九百九十六为平实 如前法为负隅平方开之得明 若以益隅除平实径得明筭又术虚自之得一万○四百○四为虚筭 以叀和乘之得四十七万八千五百八十四为平实倍明和得四百一十四为益隅开之得叀 若以益隅除平实径得叀筭
虚自之以明和乘之得二百一十五万三千六百二十八为平实 倍叀和为益隅开之得明 若以益隅除平实径得明筭
三位负隅开平方曰置平实四亿四千五百八十○万○九百九十六于左 以益隅一万九千○四十四约之 初商一百置一于左上为法 置一于右下乘益隅得一百九十○万四千四百为下法与上法相乘除实一亿九千○四十四万余实二亿五千五百三十六万○九百九十六倍下法得三百八十○万八千八百为亷法 次商五十 置一于左上为法 置一乘益隅得九十五万二千二百为隅法 并亷法共四百七十六万一千为下法 与上次相乘除实二亿三千八百○五万 余实一千七百三十一万○九百九十六 倍隅法得一百九十○万四千四百并入亷法共五百七十一万三千二百为亷法约三商得三 置一于左为法 置一右下乘益隅得五万七千一百三十二为隅法 并入亷法共五百七十七万○三百三十二为下法与上法相乘除实尽
与较测望六
甲丙二人俱在城外西北隅起程丙南行甲东行各不知步数隔城相望既而甲斜行六百八十步与丙相防问其东行步数则曰我少于丙南行二百八十步问城径
释曰此通与通勾股较立法测望甲东行为勾丙南行为股甲少于丙步数勾股较也斜行也术曰自乘倍之得九十二万四千八百较自乘得七万八千四百相减余八十四万六千四百为实平方开之得勾股和九百二十加较半之为股减较半之为勾
又曰较相减得四百为较较 相并得九百六十为较和 较较较和相乘得三十八万四千为实 倍较得五百六十为从 二为隅筭 作以从减法负隅开平方
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