方法除之得通股 作带从负隅开平方法除之得通勾
带从负隅开平方法见四卷底勾通条
带从负隅以从减隅开平方法见四卷大差勾黄长条下
又为以从添积负隅开平方
以六百乘从益实倍六百得一千二百为法即是邉以下类推
乙出东门南行不知步数而立甲出西门直徃南行回望乙与城相叅直又斜行五百一十步与乙相防问乙行步则曰少于城径二百一十步不知城径防何释曰此黄广与叀股黄广勾较立法测望乙出东门南行为叀股城径即黄广勾少于城径即叀股黄广勾较也斜行黄广也
术曰较自之得四万四千一百为较筭以为实 斜歩四之减二较余一千六百二十为从 五为隅算作负隅减从开平方法除之得叀股三十加较为黄广勾即城径
负隅减从开平方法见二卷通勾叀勾条
乙出南门东行不知步数而立甲出北门直徃东行望乙与城相叅直又斜行二百七十二歩与乙相防问乙东行步则曰少于城径一百六十八步不知城径防何
释曰此黄长与明勾黄长股较立法测望乙出南门东行为明勾城径即黄长股少于城径即明勾黄长股较也斜行黄长也
术曰较自之得二万八千二百二十四为实四斜行减二较余七百五十二为从方五为隅算作负隅减从开平方法除之得明勾七十二加较为黄长股即城径
负隅减从开平方法见二卷
测圆海镜分类释术卷六
钦定四库全书
测圆海镜分类释术卷七
元 李 冶 撰
明 顾应祥 释术
通勾股和与别勾股测望一
丙从城西门穿城东行二百五十六步而立丁从城北门穿城南行三百七十五步而立甲乙二人俱在城外西北干隅甲向东乙向南各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直只云甲东乙南共步九百二十问城径
释曰此以通勾股和与邉勾底股立法测望甲东行为勾乙南行为股共步为通勾股和丙穿城东行邉勾丁穿城南行底股也
术曰丙东行自之得六万五千五百三十六为邉勾筭 丁南行自之得一十四万○六百二十五为底股筭 相并得二十○万六千一百六十一为二筭和 倍邉勾底股和与通勾股和相减余三百四十二又减于邉勾底股和余二百八十九自之得八万三千五百二十一 以减二筭和余一十二万二千六百四十为平实 以邉勾底股和六百三十一为从 半步为隅算作负隅减从开平方法除之得全径
负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条
丙出东门不知步数而立丁出南门不知步数而立甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各立定四人遥相望俱与城相叅直既而丁从立处向东北斜行四百二十五步与甲防丙从立处向西南斜行五百四十四步与乙防问甲乙行步则曰共行九百二十问城径
释曰此通勾股和与邉底立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共行九百二十通勾股和也丙从丁处斜行就甲底也丁从立处斜行就乙邉也
术曰二相减余自之得一万四千一百六十一为实 二相并减共行步余四十九为法实如法而一得二百八十九减法为全径
丙出南门东行稍逺丁出东门南行稍近甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各不知步数而立相望俱与城相叅直既而丙从立处向东北斜行二百七十二步与甲会丁从立处向东南斜行五百一十步与乙会问甲乙行步则曰共行九百二十步不知城径防何
释曰此通勾股和与黄广黄长立法测望甲东行为勾乙南行为股共行九百二十步为通勾股和也丙之就甲黄长也丁之就乙黄广也
术曰并二以减通勾股和余一百三十八为差以并二乘差得一十○万七千九百一十六为实又以差加通勾股和得一千○五十八为法
实如法而一得一百○二为太虚加差为全径
丙出南门东行稍逺丁出东门南行稍近甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各不知步数而立相望俱与城相叅直既而丙从立处向西南斜行四百○八步与乙会丁从立处向东北斜行一百七十步与甲会问甲乙行步则曰共行九百二十不知城径防何
释曰此通勾股和与大差小差立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共歩和也丙就乙大差也丁斜就甲小差也
术曰二相并共五百七十八为二和以减通和余三百四十二为中率 以乘通和倍之得六十二万九千二百八十为实 三之通和得二千七百六十 加中率得三千一百○二为从 二为隅算作负隅减从开平方除之得全径
负隅减从开平方法见二卷
通勾股和与诸和较立法测望二
甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙从城外东北艮隅南行丁从城外西南坤隅东行四人遥相望而立俱与城相叅直既而甲还至艮隅复南行一横一直共行二百三十步与乙会丙还至坤隅复东行一横一直共行五百五十二步与丁防问城径
释曰此通勾股和与大差勾股和小差勾股和立法测望甲东行为勾丙南行为股共行九百二十步通勾股和也甲还至艮为小差勾复南行与乙会为小差股共行二百三十步小差勾股和也丙还至坤为大差股东行与丁会为大差勾共行五百五十二大差勾股和也
术曰二差勾股和相并得七百八十二为大小差和和以减通勾股和得一百三十八即太虚勾股和又以大小差和和乘之得一十○万七千九百一十六为平实 以通勾股和加太虚勾股和得一千○五十八为法实如法而一得一百○二为虚加虚和即城径
又曰并二差和减通和得一百三十八为虚勾股和二差和相减余三百二十二乘之得四万四千四
百三十六如前术得一千○五十八为法除之得四十二为虚勾股较 以加和半之为股减和半之为勾
甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙从城外东北艮隅南行丁从城外西南坤隅东行各不知步数而立与甲丙共四人遥相望俱与城相叅直既而乙复向东北斜行与甲防丁复向西南斜行与丙会问其行步乙曰我南行不及斜行二十步丁曰我东行不及斜行二百一十六步问城径释曰此通勾股和与大差勾较小差股较立法测望甲东行为通勾丙南行为通股共行九百二十步通勾股和也乙从艮隅南行为小差股斜行就甲为小差不及二十步小差股较也丁从坤隅东行为大差勾斜行就丙为大差不及二百一十六步大差勾较也
术曰以小差股较减通和余九百步复以二十步乘之得一万八千于上 又以大差勾较减九百余六百八十四半之得三百四十二乘上位得六百一十五万六千为立实 三因小差股较得六十以减通和余八百六十于上 以半之大差勾较一百○八减三百四十二余二百三十四乘上位得二十○万一千二百四十为从方 以大差勾较减通和余七百○四 三之小差股较减通和余八百六十 相并得一千五百六十四于上 又以大差勾较并三百四十二得五百五十八倍之得一千一百一十六减去小差股较二十余一千○九十六以减上位余四百六十八为益亷 四为常法作负隅带亷减从开立方法除之得一百五十为小差股加较为 较各自乘相减开其余为勾负隅带益亷减从开立方曰初商一百 置一于左上为法 置一乘益亷得四万六千八百 置一自之得一万以隅法因之得四万为隅法 并益亷共八万六千八百以减从方余一十一万四千四百四十为下法与上法相乘除实一千一百四十四万四千实不满法反除实六百一十五万六千 余五百二十八万八千为负积 倍益亷得九万三千六百 三因隅法得一十二万为方法 三因初商得三百为亷法 次商五十 置一于左上为法 置一乘从亷得二万三千四百并入倍亷共一十一万七千为益亷 置一乘亷法得一万五千隅因得六万 置一自之得二千五百隅因得一万为隅法并方亷隅共一十九万加益亷共三十○万七千以减从方不及减反减从方二十○万一千二百四十余一十○万五千七百六十为负从与上法相乘除负积尽
此法虽已见前因有翻法故重出
又为带从负隅添积开立方法
甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙出东门东行丁出南门南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而乙从立处斜行与甲会丁从立处斜行与丙防以二斜行相和共三百九十一步相较得一百一十九步问城径释曰此通勾股和与上高下平和上高下平较立法测望甲东行通勾丙南行通股共步和也乙斜就甲下平丁斜就丙上高共步和也相较较也术曰二和自之得一十五万二千八百八十一为和筭 二较自之得一万四千一百六十一为较筭 较筭减筭余半之得六万九千三百六十为实 以二和减通和余五百二十九为从 作减从开平方法除之得二百四十为全径
减从开平方法见二卷底勾□勾条
又曰和较相并半为高相减半之为平
甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙丁二人俱在城外东南巽隅乙北行丁西行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而乙复斜行至丁立处相防问其行步则曰乙直行比丁直行较多其多步与斜行步相并共一百四十四步相减余六十步问城径
释曰此通勾股和与太虚较和较较立法测望甲东行为通勾丙南行为通股共步通勾股和也乙从巽隅北行乃防之山与月之泛同太虚股也丁从巽隅西行乃防之月即泛之山太虚勾也乙斜行就丁乃山之月太虚也乙直行多于丁直行数太虚勾股较也以多步并斜行一百四十四较和也多歩减斜行六十较较也
术曰较较减较和余半之得四十二为太虚勾股较 以减较和得自之得一万○四百○四倍之减较自乘一千七百六十四余一万九千○四十四为实平方开之得一百三十八为太虚勾股和加较半之为股减较半之为勾
通勾和与诸和较测望三
甲丙二人俱在城外西北干隅甲直往东丙直往南乙丁二人俱在城之南门乙向东行丁向南行俱不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲向西南斜至丙立处乙亦斜行至丁立处问其行步则甲直斜共行一千步乙直斜共行二百二十五步问城径
释曰此以通勾和明勾和立法测望甲在干往东为通勾斜行就丙为通直斜共步勾和也乙在南门东行为明勾斜行就丁为明直斜共步勾和也
术曰乙共步自乘再乘得一千一百三十九万○六百二十五为平实 乙共歩自之得五万○六百二十五为从 甲共步一千为隅算 作负隅以从减法开平方法除之得明股一百三十五
负隅以从减法开平方曰置实以从隅约之 初商一百 置一于左上为法 置一乘隅算得一十万减去从方 余四万九千三百七十五为下法与上法相乘除实四百九十三万七千五百余实六百四十五万三千一百二十五为次实下法再加十万共一十四万九千三百七十五为方法次商三十 置一于左次为上法 置一乘隅算得三万并入方法共一十七万九千三百七十五为下法与上法相乘除实五百三十八万一千二百五十余实一百○七万一千八百七十五为次实 下法内再加三万共二十○万九千三百七十五为方法 次商五 置一于左次为上法 置一乘隅算得五千并入方法共二十一万四千三百七十五为下法相乘除实尽得明股一百三十五
明股自之以勾和除之得勾较八十一加和半之为股减和半之为勾
负隅以从减法开平方已见四卷大差勾黄长下因此法有三位故重出而小变之
又为以从添积开平方
其法曰初商一百置一于左上为法 置一乘从得五百○六万二千五百为益积添积共一千六百四十五万三千一百二十五为实 置一乘隅得一十万与上法相乘除实一千万余实六百四十五万三千一百二十五 倍隅法得二十万为方法约次商三十 置一于左次为上法 置一乘从得一百五十一万八千七百五十为益实 添余积共七百九十七万一千八百七十五为实 置一乘隅得三万并方法共二十三万为下法与上法相乘除实六百九十万 余实一百○七万一千八百七十五 下法内再加三万共二十六万为方法 次商五 置一于左上为法置一乘从方得二十五万三千一百二十五为益积 添入余积共一百三十二万五千为实 置一乘隅得五千并方法共二十六万五千为下法与上法相乘除实尽
法已见前卷
甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙丁二人俱出东门乙东行丁南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲复斜行与丙会乙复斜行与丁会问其行步甲直斜共一千步乙直斜共五十步问城径
释曰此通勾和与□勾和立法测望甲东行为通勾斜行就丙为通共步和也乙出东门而东□勾也斜行就丁□也和为共步
术曰
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