甲出东门东行为□勾乙南行为□股斜行会甲为□共行六十四步股和也丁出南门东行为明勾丙南行为股斜行会丁为共行三百八十八歩股和也术曰二和相乘得一万八千四百三十二为二和相乘筭 □和自之得四千○九十六为□和筭 倍之以减二和相乘筭余一万○二百四十为实 一十四乘□和得八百九十六 以二十为隅筭作带从负隅开平方法除之得一十六为□勾 勾自乘和除之得股较四 加和半之为减和半之为股十四即□勾股较二十即□较较
带从负隅开平方法见二卷底勾通条
甲乙二人俱出东门甲东行乙南行丙丁二人俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲复斜行与乙会丁复斜行与丙会询其行步甲云我直斜共五十步丁云我直斜共二百二十五步问城径
释曰此明勾和与□勾和立法测望甲出东门直行为□勾斜行就乙为□共歩和也丁出南门东行为明勾斜行就丙为明共步和也
术曰以丁共步自之得五万○六百二十五为明和筭 又自之得二十五亿六千二百八十九万○六百二十五于上 二共步相乘得一万一千二百五十半之得二亿八千四百七十六万五千六百二十五以减上位余二十二亿七千八百一十二万五千为平实 二共步相减余一百七十五为二和差以乘明和筭倍之得一千七百七十一万八千七百五十于上 倍甲共步得一百以乘明和筭又半之得二百五十三万一千二百五十并上共二千○二十五万为从 以二行相减差自之得三万○六百二十五于上 又以二共步相乘数半得五千六百二十五减上位余二万五千为隅法作负隅减从开平方法除之得明股
负隅减从开平方法曰初商一百置一于左上为法置一乘隅法得二百五十万以减从方余一千七百七十五万为下法与上法相乘除实一十七亿七千五百万余实五亿○三百一十二万五千为实余从内再减二百五十万余一千五百二十五万为从 次商三十 置一于左上为法置一乘隅法得七十五万以减从方余一千四百五十万与上法相乘除实四亿三千五百万余实六千八百一十二万五千为实 余从内再减七十五万余一千三百七十五万为从 次商五 置一于左上为法 置一乘隅法得一十二万五千以减余从余一千三百六十二万五千为下法 与上法相乘除实尽
负隅减从开平方法已见二卷通勾□勾下因有三位故重出
明股与勾和求勾股自乘和除之得勾较减和半之为勾加和半之为
甲乙俱出东门甲东行乙南行丙丁俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直问其行步则甲乙共四十六步丙丁共二百○七步问城径
释曰此明勾股和与□勾股和立法测望甲东行□勾乙南行□股丁出南门东行明勾丙南行明股甲乙共步□勾股和也丙丁共步明勾股和也
术曰二共步相并得二百五十三自之得六万四千○○九 二共步相乘四之得三万八千○八十八二数相减余二万五千九百二十一为实 二共
步相并以六步半因之得一千六百四十四步半二共步相并以四步半因之又四之得四千五百五十四步 二数相并得六千一百九十八步半为从方 以七十○步四分三厘七毫五丝为隅法作负隅带从开平方法除之得四步为□股较
负隅带从开平方法曰置实从方隅约之商得四置一于左上为法 置一乘隅得二百八十一步七分五厘带从方共六千四百八十○步二分五厘与上法相乘除实尽
又曰副置二和以约分法约之得二十三为平率以除明和得九除□和得二 二和相减余一百六十一以平率除之得七为较率九因得明较六十三二因得□较一十四以较加和半之为股减和半之为勾
甲乙俱出东门甲东行乙南行丙丁俱出南门丙南行丁东行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直问其行步甲与丁共八十八步乙与丙共一百六十五步问城径
释曰此明勾□勾和与明股□股和立法测望甲出东门东行为□勾丁出南门东行为明勾共行八十八步二勾和也乙出东门南行为□股丙出南门南行为明股共行一百六十五步二股和也
术曰二和相减约得一十一相平为垒率以除勾和得八为勾率 除股和得一十五为股率勾股相并得二十三为和率相减得七为较率勾股求得一十七为率以勾减得九为大差率大差者勾较也以股减得二为小差率小差者股较也六为黄方率各以垒率乘二和共得二百五十三二较共得七十七二共得一百八十七二黄方共得六十六二大差共得九十九二小差共得二十二四差共一百二十一 二大差共与二小差共相乘得二千一百七十八为实 四差共为法除之得一十八即半虚黄方倍之加二黄共得一百○二即明勾□股共也减二共得一百五十一即明股□勾共也二数相减余四十九即明较□较较也名为旁差
旁差减二共余一百三十八为太虚和 加虚即城径虚与明勾□股共同数
又曰虚黄方加二和共得二百八十九减旁差即城径
甲丙二人俱从城中心甲东行出城直行丙南行出城直行乙丁二人俱在城外东南巽隅乙西行丁北行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直问其行则甲东丙南共三百九十一步乙西丁北共一百三十八步问城径
释曰此皇极勾股和与太虚勾股和立法测望甲从城心东行至川一百三十六为皇极勾丙从城心南行至日二百五十五步为皇极股共步勾股和也乙从巽隅西行至月四十八步即泛之山为太虚勾丁从巽隅北行九十步至山即月之泛为太虚股共步勾股和也
术曰二和相乘得五万三千九百五十八为实相并得五百二十九为法实如法而一得太虚一百○二
圆城西门外往南二百五十五步有塔甲乙二人俱在塔下甲南行乙东行丙丁二人俱在城外东北艮隅丙东行丁南行戊巳二人俱出南门戊南行巳东行庚辛二人俱出东门庚东行辛南行各不知步数而八人遥相望俱与城相叅直问其行步则乙之东不及甲之南与丙之东不及丁之南二不及数共一百六十一步己之东不及戊之南庚之东不及辛之南二不及数共七十七步问城径
释曰此上高勾股较下平勾股较和与明勾股较□勾股较和立法测望西门外往南有塔乃西之旦与日之心同甲乙从塔下分行甲往东乃旦之日为上高勾乙复往南即天之旦为上高股勾不及股一百○五为高差丙丁从城外东北艮隅分行丙往东乃艮之地为下平勾丁往南即山之东为下平股勾不及股五十六为平差二不及共数高差平差和也戊己从南门分行己往东乃南之月为明勾戊往南即日之南为明股勾不及股六十三步为明差庚辛从东门分行庚往东乃东之川为□勾辛往南即山之东为□股勾不及股一十四步为□差二不及共步明差□差和也
诸和与较参互立法测望二
南门外不知步数有槐一株甲从城外西北干隅直往东行至一栁树下望见槐树遂斜行至槐自云我直斜共行了七百四十五步乙从城外西南坤隅南行望见槐栁与城相参直亦斜行至槐自云我斜行不及直行一百○五步
释曰此通勾底和与大差股上高较立法测望南门有槐乃日之南为明股甲从干东行至栁乃干之地为通勾斜行至槐下乃日之地为底共行七百四十五步者通勾底和也乙从坤隅南行至望处乃天之坤为大差股亦斜行至槐乃天之日为上高不及直行一百○五步者大差股上高较也术曰甲知步内减乙较步半之为通勾加乙较步半之为底用通勾底测城径法求之得半径又曰四较步乘通勾筭得四千三百○○八千为立实 倍通勾乘通勾得二十○万四千八百 四较乘通勾得一十三万四千四百 相减余七万○四百为从方 四之通勾得一千二百八十为益亷作带从减廉开立方法除之得全径
带从减从亷开立方曰列置所得立实方亷初商二百置一于左上为法 置一乘从亷得二十五万六千 置一自之得四万为隅法并从方共一十一万○四百以减从亷余一十四万五千六百为下法 与上法相乘除实二千九百一十二万余一千三百八十八万○八千为次实 倍从亷得五十一万二千 三因隅法得一十二万为方法 三因初商得六百为亷法 次商四十 置一于左上为法 置一乘从亷得五万一千二百并入倍亷共五十六万三千二百为益亷 置一乘亷法得二万四千 置一自之得一千六百为隅法 并方法从方亷隅共二十一万六千以减益亷余三十四万七千二百与上法相乘除实尽
诸和与较参互立法三
圆城西门外直上南有栁树一株东门外往东有槐树一株俱不知步数甲从城外西北干隅南行至栁树下望见槐树又斜行至槐树下直斜共行了一千一百四十四步乙从城外东北艮隅东行望槐柳与城相叅直复斜行至槐树下与甲防乙东行不及斜行五十六步问城径
释曰此通股边和与小差勾下平较立法测望甲从干隅南行至柳下为通股斜行至槐为边共行一千一百四十四步通股边和也乙从艮隅东行乃艮之地为小差勾斜行至槐乃地之川为下平不及五十六步小差勾与下平较也
术曰如乙直行不及斜行五十六即甲斜行不及直行差也副置甲共步其一加五十六而半之得甲直行六百步为通股其一减五十六而半之得甲斜行五百四十四步为边
以五十六乘甲南行又倍南行得一千二百乘之得四千○三十二万为立方实 又以五十六乘南行倍之得六万七千二百 半甲南行乘二之甲南行得三十六万相并得四十二万七千二百为从方倍南行得一千二百为从亷 五分为隅法作从负隅以亷减从翻法开立方法除之得全径
带从负隅以亷减从翻法开立方曰置所得立方实以从方亷隅约之初商二百 置一于左上为法置一乘从亷得二十四万以减从方余一十八万七千二百为从 置一自之得四万隅因得二万并从方共二十○万七千二百为下法与上法相乘除实四千一百四十四万实不满法反除实四千○三十二万余一百一十二万为负积 余从内再减从亷二十四万亦不及减反减余从一十八万七千二百余五万二千八百为负从 三因隅法得六万为方法 三因初商得六百为亷法 次商四十 置一于左上为法 置一乘从亷得四万八千反并负从得一十○万○八百俱为负从 置一乘亷法隅因得一万二千置一自之隅因得八百为隅法 并方亷隅共七万二千八百反减负从余二万八千为下法四千相乘除实尽
此法已见四卷通勾□条因用法不同故重出又为带从负隅以亷添积开立方亦可
甲出南门东行乙出东门南行各不知步数而立相望与城相参直既而乙复斜行与甲防计乙行步一直一斜共一百三十二步直行不及斜行七十二步问城径释曰此□股虚和与□股虚较立法测望甲出南门东行为明勾七十二乙出东门南行为□股三十斜行与甲防为太虚一百 二直行不及斜行七十二为□股虚较适与明勾同数直斜相并则□股虚和也即两个乙南行一个甲东行去共二数相并即两个虚相减即两个乙南行也
术曰倍不及得一百四十四以不及减共步余六十乘之得八千六百四十为实 四之不及得二百八十八为法除之得乙直行三十为□股以减共步余为虚
求城径倍虚筭减和筭余为实平方开之即太虚较四十二加和半之为股减和半之为勾以虚勾股求容圆即得
又为带从负隅以亷添积开立方法
甲出南门东行不知步数而立乙出东门南行相望与城相叅直乙复斜行与甲防二人共行了二百○四步甲东行不及共步一百三十二步
释曰此明勾□股太虚和又与明勾相较立法测望甲出南门东行七十二步为明勾乙出东门南行三十步为□股斜行一百○二步与甲会为太虚共步明勾□股太虚和也甲行不及共步和与明勾相较之数也
术曰以不及减共步余七十二为明勾即甲东行步半共步减明勾余三十为□股即乙南行步 半
共步得一百○二为太虚即乙斜行步 乙南行减甲东行余四十二即太虚较 较自之与自之相减余为实 平方开之即勾股和 加较半之为股减较半之为勾以虚勾股求容圆得城径
圆城南门之东有槐一株东门之南有柳一株甲出南门直行往南乙出东门直行往东各不知步数而立相望槐柳俱与城相叅直甲复向东北斜行至槐树下乙复向西南斜行至柳树下问其行步则甲直斜共行二百八十八步乙直斜共行五十步甲直行乙直行相并多于槐柳相距四十九步问城径
释曰此明股和□勾和又明股□勾和与太虚较立法测望槐在南门之东七十二步为明勾甲出南门直行为明股斜行至槐柳下为明共行二百八十八步明股和也柳在东门之南三十步为□股乙出东门直行为□勾斜行至柳树下为□共行五十步为□勾和也槐柳斜相距一百○二步为太虚甲直行与乙直行相并得一百五十一步为明股□勾和多于虚
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