之得三百六十八万六千四百又四之得一千四百七十四万五千六百为立方实 以东行一十六步为从廉作带从廉开立方法除之得全径
带从廉开立方法见前底勾明股条
圆城不知周径南门外一百三十五步有树出东门直行一十六步见之问城径
释曰此□勾明股立法测望出东门外一十六步为□勾城东之余勾也树在城南一百三十五步为明股城南之余股也以余勾余股测城径
术曰余勾余股相乘为勾乘股筭自之得四百六十六万五千六百为三乘方实 勾乘股筭倍之得四千三百二十又以余勾余股并乘之得六十五万二千三百二十为从方 余勾余股相并自之得二万二千八百○一余勾余股相减自之得一万四千一百六十二数相减余八千六百四十为益廉 作带从廉添积开三乘方法除之得半径
带从益廉添积开三乘方曰置所得三乘方积以从方廉约之初商一百 置一于左上为法 置一乘从益廉得八十六万四千并从方共一百五十一万六千三百二十为益积之法与上法相乘得一亿五千一百六十三万二千为益实添入原积共一亿五千六百二十九万七千六百为通实置一自乘再乘得一百万为隅法与上法相乘
除实一亿余五千六百二十九万七千六百为次实 二因益廉得一百七十二万八千 四因隅法得四百万为方法 初商自之 六因得六万为上廉 初商四之得四百为下廉 约次商得二十置一于左次为上法 置一乘益廉得一十七万二千八百并前倍廉共一百九十○万○八百 并从方共二百五十五万三千一百二十为益积之法与上法相乘得五千一百○六万二千四百为益实添入次实共一亿○七百三十六万为通实置一乘上廉得一百二十万 置一自之以乘下廉得一十六万置一自乘再乘得八千为隅法并方廉隅共五百三十六万八千为下法与上法相乘除实尽
又为带从方廉减隅翻法开三乘方
其法曰初商一百 置一于左上为法 置一自乘再乘得一百万为隅法 置一乘从廉得八十六万四千并从方共一百五十一万六千三百二十以减隅法不及反减隅法一百余五十一万六千三百二十为负隅与上法相乘得五千一百六十三万二千加原实共五千六百二十九万七千六百为次商之实 四因隅法得四百万为方法初商自之六因得六万为上廉 初商四之得
四百为下廉 次商二十置一于左次为上法置一乘上廉得一百二十万置一自之以乘下廉得一十六万 置一自乘再乘得八千为隅法并方法廉隅共五百三十六万八千为通隅 倍初商加次商得二百二十以乘从廉得一百九十○万○八百并从方共二百五十五万三千一百二十以减通隅余二百八十一万四千八百八十为下法与上法相乘除实尽
后凡言如此类立法者仿此
又术曰以树去南门步自之得一万八千二百二十五为余股筭副置二位一以余股乘之得二百四十六万○三百七十五为余股立筭一以余勾乘之得二十九万一千六百为勾乘股立筭相乘得七千一百七十四亿四千五百三十五万为三乘方实 余勾余股相乘得二千一百六十为勾股相乘筭倍之以乘余股立筭得一百○六亿二千八百八十二万为从方 余勾自之得二百五十六为余勾筭四之以乘余股得一十三万八千二百四十 倍勾乘股立筭得五十八万三千二百 二数相减余四十四万四千九百六十为从二减廉 以勾股相乘筭为隅筭 作从廉减从方负隅开三乘方法除之得八十一为明勾较以除明股筭得二百二十五为明勾和 加较半之为减较半之为勾 勾股相乘倍为实 以较除之得通和较通和较即城径也
从防减从方负隅开三乘方曰约初商八十置一于左上为法 置一自之以乘从廉得二十八亿四千七百七十四万四千以减从方余七十七亿八千一百○七万六千 置一自乘再乘得五十一万二千以隅筭因之得一十一亿○五百九十二万为隅法 并从方共八十八亿八千六百九十九万六千为下法与上法相乘除实七千一百○九亿五千九百六十八万余实六十四亿八千五百六十七万为次实 四因隅法得四十四亿二千三百六十八万为方法 初商自之六因又以隅因得八千二百九十四万四千为上廉 初商四之隅因得六十九万一千二百为下廉 约次商得一 置一于左次为上法 倍初商加次商得一百六十一又并初次商为八十一乘之得一万三千○四十一以乘从廉得五十八亿○二百七十二万三千三百六十以减余从余一十九亿七千八百三十五万二千六百四十为从方 置一乘上廉 置一自之以乘下廉俱如旧 置一自乘再乘仍得一为隅法并方法从方廉隅共六十四亿八千五百六十七万为下法与上法相乘除实尽
测圆海镜分类释术卷三
钦定四库全书
测圆海镜分类释术卷四
元 李 冶 撰
明 顾应祥 释术
通勾与别测望一
圆城南门之南有树甲从城外西北干隅东行三百二十步乙出西门南行望树及甲与城相叅直乃斜行二百五十五步至树下问城径
释曰此以通勾上高立法测望甲东行通勾也乙斜行乃天之日上高也乙从西门南行四百八十步为边股树在南门外一百三十五步为明股术曰二行相乘又以半甲东行乘之得一千三百○五万六千为立方实 二行相乘得八万一千六百半甲东行乘甲东行得五万一千二百相并得一十三万二千八百为益从甲东行三百二十为减从廉减从开立方法除之得半径
带从以廉减从开立方曰布实于左从于右别置减从廉 约初商得一百 置一于左上为法置一乘从廉得三万二千 以减从方余一十○○八百置一自之得一万并余从共一十一万○八百为下法与上法相乘除实一千一百○八万余一百九十七万六千 倍减廉得六万四千三因隅法得三万为方法 三因初商得三百为廉法 约次商得二十 置一于左次为上法置一乘减廉得六千四百并倍廉共七万○四百以减原从余六万二千四百 置一乘廉法得六千置一自之得四百为隅法并方廉隅共三万六千四百带余从共九万八千八百为下法与上法相乘除实尽得半径一百二十
后凡言带从以廉减从开立方法者仿此
甲从城外西北干隅东行三百二十步而立乙出南门直行不知步数望见甲与城相叅直遂斜行四百二十五步与乙相防问城径
释曰此以通勾底立法测望甲东行通勾也乙自南门外斜行就甲为底乃日之地也
术曰二行相减余一百○五为通勾底差以乘通勾得三万三千六百 又以半通勾乘之得五百三十七万六千为立方实 半通勾乘通勾得五万一千二百与差乘通勾之数相减余一万七千六百为从方 倍东行得六百四十步为益廉作带从减益廉开立方法除之
带从减益廉开立方法见三卷【明勾边股下】
圆城南门外有槐树一株东门外有栁树一株两树斜相距二百八十九步甲从城外西北隅向东行三百二十步望槐栁与城相叅直问城径
释曰此以通勾皇极立法测望甲东行通勾也两树斜相距皇极也原法先求出皇极勾即栁至城心步后以勾求股以皇极勾股求容圆即是术曰通勾与皇极相乘得九万二千四百八十自之得八十五亿五千二百五十五万○四百为三乘方实 皇极自乗得八万三千五百二十一为皇极筭以通勾乘之得二千六百七十二万六千七百二十倍之得五千三百四十五万三千四百四十为从方 倍通勾皇极相乘之数得一十八万四千九百六十为第一从廉 倍皇极得五百七十八为第二益廉 以二为隅筭作带从廉负隅以廉隅添积开三乘方法除之得一百三十六为皇极勾求城径以皇极勾求皇极股二百五十五 勾股相乘倍为实以除之即得容圆全径【勾求股见一卷】带从廉负隅以廉隅添积开三乘方曰置所得三乘方积为实 列从方从一廉从二益廉约商首一位得一百置一于左上为法 置一自之以乘益廉得五百七十八万 置一自乘再乘以隅筭因之得二百万为隅法益廉共七百七十八万与上法相乘得七亿七千八百万为益实添入积内共九十三亿三千○五十五万○四百为通实置一乘从一廉得一千八百四十九万六千为益从并入从方共七千一百九十四万九千四百四十为下法与上法相乘除实七十一亿九千四百九十四万四千余实二十一亿三千五百六十○万六千四百为次商之实 四因隅法得八百万为方法 初商自之六因又以隅筭因之得一十二万为上廉 初商四之隅因得八百为下廉次商三十置一于左次为上法 倍初商加次商得二百三十并初次商为一百三十相乘得二万九千九百又加初商自之一万共三万九千九百以乘从二益廉得二千三百○六万二千二百为益廉之实 置一乘上廉得三百六十万 置一自之得九百以乘下廉得七十二万 置一自乘再乘得二万七千隅因得五万四千为隅法并方廉隅共一千二百三十七万四千为益隅之实与益廉之实相并得三千五百四十三万六千二百为益积之法与上次法相乘得一十○亿六千三百○八万六千为益积之实添入余实共三十一亿九千八百六十九万二千四百为通实 倍初商加次商得二百三十 以乘从一廉得四千二百五十四万○八百为益从并入从方共九千五百九十九万四千二百四十为下法 与上次法相乘除实二十八亿七千九百八十二万七千二百尚余三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实 二因上廉得七百二十万 三因下廉得二百一十六万 四因隅法得二十一万六千并入方法共一千七百五十七万六千为方法 并初次商自之 又六因得一十○万一千四百以隅筭因之得二十○万二千八百为上廉 并初次商四之得五百二十以隅因得一千○四十为下廉 三商得六 置一于左上为法 倍初次商加三商得二百六十六 并初次商加三商得一百三十六 相乘得三万六千一百七十六又以初次商并自之得一万六千九百加之共五万三千○七十六以乘从二益廉得三千○六十七万七千九百二十八为益廉之实 置一乘上廉得一百二十一万六千八百 置一自之以乘下廉得三万七千四百四十相并得一百二十五万四千二百四十为廉法 置一自乘再乘得二百一十六 以隅因之得四百三十二为隅法并方法廉法隅法共一千八百八十三万○六百七十二为益隅之实 并益廉之实共四千九百五十○万八千六百为益积之法 与上法相乘得二亿九千七百○五万一千六百为益积 添入余实共六亿一千五百九十一万六千八百为通实 倍初次商加三商得二百六十六 以乘从一廉四千九百一十九万九千三百六十为益从 并从方共一亿○二百六十五万二千八百为下法与上法六相乘除实尽得一百三十六为皇极勾此法以二廉与隅添积以第一廉益从为法
又为带从负隅以廉隅减从开三乘方法
其法曰以八十五亿五千二百五十五万○四百为正实 以五千三百四十五万三千四百四十为从方 以一十八万四千九百六十为从一廉以五百七十八为从二减廉 二为隅算 约
初商得一百 置一于左上为法 置一自之得一万以乘从二廉得五百七十八万为减廉置一自乘再乘 又以隅因得二百万为隅法 并减廉隅法得七百七十八万为减从 置一乘从一廉得一千八百四十九万六千为益从 以益从加入原从得七千一百九十四万九千四百四十以减从减之余六千四百一十六万九千四百
四十为下法 与上法相乘除实六十四亿一千六百九十四万四千 余实二十一亿三千五百六十○万六千四百为次商之实 四因隅法得八百万为方法 初商自之六因又以隅因之得一十二万为上廉 初商四之隅因得八百为下廉 约次商得三十置一于左上为法 倍初商加次商得二百三十 并初次商得一百三十相因得二万九千九百又加初商自乘一万共三万九千九百以乘从二廉得二千三百○六万二千二百为减廉 置一乘上廉得三百六十万 置一自之以乘下廉得七十二万 置一自乘再乘隅因得五万四千为隅法 并方廉隅共一千二百三十七万四千为减隅 并减廉减隅共三千五百四十三万六千二百为减从 倍初加次商得二百三十以乘从一廉得四千二百五十四万○八百为益从以加原从得九千五百九十九万四千二百四十以减从减之余六千○五十五万八千○四十为下法 与上法相乘除实一十八亿一千六百七十四万一千二百 余实三亿一千八百八十六万五千二百为三商之实 二因上廉得七百二十万三因下廉得二百一十六万四因隅法得二十一万六千并入方法共一千
七百五十七万六千为方法 初次商并自之六因又以隅筭因之得二十○万二千八百为上廉 初次商并四之隅因得一千○四十为下廉约三商得六置一于左次为上法 倍初次商
加三商得二百六十六 并初次三商共一百三十六相因得三万六千一百七十六又加初次商相并自之一万六千九百共五万三千○七十六以
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