底勾也乙斜行至树下明也
术曰半底勾乘明得一万五千三百为实二行相并半之得一百七十六步半为从方半为隅算 作带从负隅开平方法除之得七十二为明勾
带从负隅开平方法见前底勾通股条
求城径以明勾乘底勾平方开之得半径
又曰勾求股以明勾股求容圆法求之得全径
东门外往南有树乙出东门直行不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与树俱与城相叅直乙遂斜行三十四步至树下
释曰此以底勾□立法测望甲出北门东行底勾也乙斜行至树下□也
术曰底勾减二□余一百三十二以底勾乘之得二万六千四百 又以□筭一千一百五十六乘之得三千○五十一万八千四百为三乘方实 倍底勾以□筭乘之得四十六万二千四百为从方底勾减□ 余自之得二万七千五百五十六
为从一廉底勾减□余倍之得三百三十二为从二廉 作带从方上廉以下廉减从开三乘方法除之得□股三十求城径以□勾股求容圆法求之带从方廉以下廉减从开三乘方曰约初商得三十 置一于左上为法 置一自之得九百以乘从二廉得二十九万八千八百为减廉以减从方余一十六万三千六百为从方 置一乘第一廉得八十二万六千六百八十为益廉 置一自乘再乘得二万七千为隅法 并从方益廉隅法共一百○一万七千二百八十为下法与上法相乘除实尽得三十为□股
后凡如此类者俱仿此
乙出南门东行不知步数而立甲出北门东行二百步见之乃斜行二百七十二步与乙相防
释曰此以底勾黄长立法测望东行底勾也斜行黄长也
术曰二行相减余七十二为差以乘甲东行得半径筭四之即全径筭各以平方开之
乙出东门南行不知步数而立甲出北门东行二百步见之斜行一百七十步与乙防
释曰此以底勾小差立法测望乙出东门行三十步乃东之山甲出北门东行底勾也斜行与乙防乃山之地小差也
术曰以二行差三十乘甲东行得六千为平实以斜行一百七十为从方 作减从翻法开平方法除之得半径
减从翻法开平方法见二卷及三卷底勾□股条
乙出东门东行不知步数而立甲出北门东行二百步望乙与城相叅直乃斜行一百三十六步与乙防释曰此以底勾下平立法测望甲东行底勾也斜行与乙防下平也
术曰倍二行差以减东行步余七十二以乘东行得半径筭倍平减底勾以底勾乘之亦同
大差勾与别测望三
乙从城外东北艮隅东行不知步数而立甲从城外西南坤隅东行一百九十二步望乙与城角相叅直复斜行二百七十二步与乙防
释曰此以大差勾黄长立法测望甲从坤隅东行为坤之月大差勾也斜行与乙防乃月之地黄长也
术曰倍大差勾减黄长余一百一十二为倍勾减差自之得一万二千五百四十四 黄长自之得七万三千九百八十四 相减余六万一千四百四十为平实 以倍勾减差四之得四百四十八为从 八为益隅 作负隅减法开平方法除之得半径
负隅以从减法开平方曰置实于左以从约之初商一百 置一于左上为法 置一乘隅法得八百以减去从方四百四十八余三百五十二为下法与上法相乘除实三万五千二百 余实二万六千二百四十 倍隅法得一千六百为廉法次商二十 置一于左上为法 置一乘隅法得一百六十 并入廉法共一千七百六十减去从方四百四十八余一千三百一十二为下法与上法相乘除实尽
后凡言负隅以从减法开平方法者仿此
又为以从添积负隅开平方法详见八卷皇极和和与太虚勾股较条下
明勾与别测望四
乙出东门不知步数而立甲出南门东行七十二步见之又斜行一百三十六步就乙
释曰此以明勾平测望甲出南门东行七十二步明勾也斜行就乙乃月之川下平也
术曰斜行自之得一万八千四百九十六为平筭二行相减余六十四自之得四千○九十六为差筭即平勾筭以减筭余为平股筭开之得股平股即圆半径也
乙出东门南行不知步数而立甲出南门往东七十二步见乃斜行一百○二步与乙防问城径
释曰此以明勾太虚立法测望甲出南门东行明勾也斜行就乙太虚也
术曰二行相减余三十为差斜行自之为斜筭 倍差乘东行又倍之为八千六百四十以减斜筭余一千七百六十四平方开之得四十二为较 倍差乘东行得四千三百二十为实 较为从方 平方开之得四十八为虚勾 加较为股 并为和和即城径
测圆海镜分类释术卷四
钦定四库全书
测圆海镜分类释术卷五
元 李 冶 撰
明 顾应祥 释术
通股与别测望一
圆城乙出东门东行不知步数而立甲从城外西北干隅南行六百步见之复斜行五百四十四步与乙相防
释曰此以通股边立法测望甲从干隅南行六百步通股也斜行乃天之川边也
术曰二行相减余五十六为差 差乘南行得三万三千六百又以半南行乘之得一千○○八万为立方实 半南行以乘南行得一十八万与差乘南行相并得二十一万三千六百为从方 倍南行得一千二百为从廉作带从廉减从方翻法开立方法除之得半径
带从廉减从翻法开立方曰置所得实于左以从方从廉约之初商一百 置一于左上为法 置一乘从廉得一十二万以减从方余九万三千六百为从 置一自之得一万为隅法并从方共一十○万三千六百为下法 与上法相乘应除实一千○三十六万实不满法反除实一千○○八万余二十八万为负积 倍从廉得二十四万三因隅法得三万为方法 三因初商得三百为廉法 约次商二十 置一于左上为法 置一乘从廉得二万四千并入倍廉共二十六万四千以减从方不及反减从方二十一万三千六百余五万 四百为负从 置一乘廉法得六十 置一自之得四百为隅法 并方廉隅共三万六千四百以减负从余一万四千为下法与上法相乘除实尽 此术改为以从廉添积开立方亦可后凡言带从廉减从方翻法开立方法者俱仿此
出城东门外往南有树甲从西北干隅南行六百步见树斜行五百一十步至树下问城径
释曰此以通股黄广测望南行通股也斜行乃天之山黄广也
术曰二行相减余九十为差倍差以乘倍南行得二十一万六千为实 差并南行倍之得一千三百八十为从二为隅算 作减从负隅开平方法除之得全径
减从负隅开平方法见二卷通勾□勾条
又曰倍差乘南行得一十○万八千为实 差并南行共六百九十为从方作减从开平方法除之得全径不用隅算
减从开平方法见二卷底勾□勾条
出城南门外往东不知步数有树甲从城外西北干隅南行六百步望树与城相叅直乃斜行四百○八步至树下问城径
释曰此以通股大差立法测望南行通股也斜行乃天之月大差也
术曰南行自之得三十六万为南行筭两行相乘得二十四万四千八百倍之内减南行筭余一十二万九千六百为实 倍南行得一千二百为从作减从开平方法除之得半径
减从开平方法见二卷【底勾□勾条】
又术两行相乘得二十四万四千八百以减南行筭余一十一万五千二百为实 二为隅算 作负隅开平方法除之得全径
负隅开平方法见一卷【底勾底条下】
圆城南门外不知步数有树甲从城外西北干隅南行六百步望树与城叅直斜行二百五十五步至树下问城径
释曰此以通股上高立法测望甲南行为通股斜行为天之日上高也
术曰二行相减余三百四十五为差倍之减甲南行余九十以乘南行得五万四千为实以倍差六百九十为从方 以二为隅算 作负隅减从开平方法除之得半径
负隅减从开平方法见二卷【通勾□勾条】
圆城南门外不知步数有槐一株东门外不知步数有栁一株有人从城外西北隅南行六百步望二树与城东南角相叅直其槐栁斜相距二百八十九步问城径
释曰此以通股皇极立法测望南行为通股二树斜相距步即皇极日之川也
术曰南行步与二树相距步相乘又自之得三百○○亿六千七百五十六万为三乘方实 通股乘皇极筭倍之得一亿○○二十二万五千二百为从方 通股皇极相乘倍之得三十四万六千八百为从一廉 倍皇极得五百七十八为从二廉 二为隅算 作带从负隅以廉隅添积开三乘方法除之得二百五十五为皇极股
求城径以皇极股求皇极勾得一百三十六 勾股相乘倍为实以除之得容圆全径
带从负隅以廉隅添积开三乘方曰置所得三乘方实从方从廉隅算约之 初商二百 置一于左上为法 置一乘从一廉得六千九百三十六万为益从加从方共一亿六千九百五十八万五千二百为下法 置一自之以乘从二廉得二千三百一十二万为益隅 置一自乘再乘以隅筭因之得一千六百万为隅法 并益隅共三千九百一十二万为益积之法以初商因之得七十八亿二千四百万为益实添入原积得三百七十八亿九千一百五十六万为通实以下法上法相乘除实三百三十九亿一千七百○四万 余三十九亿七千四百五十二万为次商之实 二因益从得一亿三千八百七十二万为益从方 三因益隅得六千九百三十六万为益隅之方 三之初商乘从二廉得三十四万六千八百为益隅之廉 四因隅法得六千四百万为方法 初商自之六因又隅因之得四十八万为上廉 初商四之隅因得一千六百为下廉 约次商得五十置一于左上为法 置一乘从廉得一千七百三十六万为益从廉并益从方共一亿五千六百○六万为益从之实加入从方共二亿五千六百二十八万五千二百为下法 置一乘益隅之廉得一千七百三十四万 置一自之以乘从二廉得一百四十四万五千为益隅之隅 并益隅方廉隅共八千八百一十四万五千为益隅之实 置一乘上廉得二千四百万 置一自之以乘下廉得四百万 置一自乘再乘隅因得二十五万为隅法 并方上下廉隅法共九千二百二十五加益隅之实共一亿八千○三十九万五千为益积之法以次商乘之得九十○亿一千九百七十五万为益实 添入余积共一百二十九亿九千四百二十七万为通实以下法与上法相乘除实一百二十八亿一千四百二十六万余一亿八千○○一万为二商之实 二因益从廉得三千四百六十八万并入益从方得一亿七千三百四十万为益从方 二因益隅之廉得三千四百六十八万三因益隅之隅得四百三十三万五千俱并入
益隅方得一亿○八百三十七万五千为益隅方并初次商三之以乘从二廉得四十三万三千
五百为益隅之廉 二因上廉得四千八百万三因下廉得一千二百万四因隅法得一百万并入方法共一亿二千五百万为方法 并初次商自之六因又隅因之得七十五万为上廉 并初次商四之隅因得二千为下廉 约三商得五 置一于左上为法 置一乘从一廉得一百七十三万四千为益从廉并益从方得一亿七千五百一十三万四千为益从之实 加入从方共二亿七千五百三十五万九千二百为下法 置一乘益隅之廉得二百一十六万七千五百 置一自之以乘从二廉得一万四千四百五十为益隅之隅并益隅方廉隅共一亿一千○五十五万六千
九百五十为益隅之实 置一乘上廉得三百七十五万 置一自之以乘下廉得五万 置一自乘再乘隅因得二百五十为隅法 并方上下廉隅共一亿二千八百八十○万○二百五十 加益隅之实得二亿三千九百三十五万七千二百为益积之法以三商因之得一十一亿九千六百七十八万六千为益实 添入余积得一十三亿七千六百七十九万六千为通实 下法与上法相乘除尽
又为以二廉隅减一廉从方开三乘方其法曰初商二百 置一于左上为法 置一乘从一廉得六千九百三十六万为益从方并从方共一亿六千九百五十八万五千二百为从 置一自之以乘从二廉得二千三百一十二万为益隅之实置一自乘再乘隅因得一千六百万为隅法 加益隅之实得三千九百一十二万为减实 以减从余一亿三千○四十六万五千二百为下法与上法相乘除实二百六十○亿九千三百○四万 余三十九亿七千四百五十二万为次商之实二因益从之实得一亿三千八百七十二万为益从方 三因益隅之实得九千六百三十六万为益隅之方三之初商以乘从二廉得三十四万六千八百为益隅之廉 初商自之六因又隅因得四十八万为上廉 初商四之隅因得一千六百为下廉 次商五十 置一于左上为法 置一乘从一廉得一千七百三十四万为益从之廉并益从方得一亿五千六百○六万为益从之实加入从方共二亿五千六百二十八万五千二百为
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