时为一率一壶为二率一时为三率亦得一时之注【六分壶之一】乃以四之一减六之一得十二之一于是又以十二之一为第一率以一时为第二率以一壶为第三率得四率【以十二时注满】凡用准测法者三
一 四时六时十二分壶之一
二 一壶一壶一时
三 一时一时一壶
四 四分壶之一 六分壶之一 十二时
问塞下窍四时水满通下窍六时水尽今上注下泄则四个时满几分曰六时尽者四时泄三分之二以除全壶余三分之一为水满数又问如此则几时可满一壶曰依前法当以十二时满又问假如塞下窍注上窍三时而满塞上窍开下窍八时而尽若上注下泄须几时可满曰以三时满者一时之率三之一以八时尽者一时之率八之一就三之一减八之一余二十四之五为一时之率则全壶得四时零五分时之四也又问一壶既以三时而满假如四时又五分时之三可满几壶曰满一壶又十五分壶之八又问八时尽一壶若四时又五分时之四该几何曰此五分壶之三即于前数一时满一壶者除之便得问八时尽一壶三时得几何曰三时泄得八分之三以除前壶余八分之五是三时满八分之五又问三时满八分之五则全壶几时满曰四时零五分时之四
同文算指通编卷二
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编>
钦定四库全书
同文算指通编卷三
明 李之藻 撰
合数差分法第四下
问四人共分金七百八十五两多寡不同乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之九各实数防何其法先并各衰杂数【甲一十则乙七乙十四则丙三丙十二则丁九】并各子以乘各母从小数并起除丁九无并其丙衰系十二又系三则以十二并三依约法三四一十二且作四以乘乙之十四得五十六为乙衰乙系五十六又系七则以五十六并七依约法七八五十六且作八以乘甲衰之十得八十为甲衰已得各衰并数【丁九丙十二乙五十六甲八十共一百五十七数】为第一率以银总数为第二率以各衰为第三率一 一百五十七数【并衰】
二 七百八十五两【总银】
三 九【丁衰】十二【丙衰】 五十六【乙衰】八十【甲衰】四 四十五两 六十两二百八十两 四百两问发兵百人外有领队四人旗牌六人共破一寨得器械七万二千四百件即以充犒旗牌比领队得八分之五兵比旗牌得五分之三各该得若干其法衰作八五三【兵三旗牌五又合三五成八得领队之衰】各以本数乗本衰【领队四乘八得三十二旗牌六乘五得三十兵百乘三得三百】合总数为第一率所获数为第二率各衰所乘三宗为第三率
一 三百六十二【并各衰乘数】
二 七万二千四百
三 三十二【领队】三十【旗牌】 三百【兵】
四 六千四百 六千 六万
问三人共拾得遗钱三千四十二文甲欲得二之一乙得三之一丙得四之一各该若干【此问并其分数反浮总数盖曰甲视乙则二一之视三一乙视丙则三一之视四一也】其法当先并母寻其通四分三分二分之一者为主依法二三乘得六又乘四并得二十四约之得十二以甲乙丙分之其数皆通【甲二之一则用六乙三之一则用四丙四之一则用三】乃并甲乙丙衰【甲六乙四丙三】共十三为第一率以钱数为第二率分甲乙丙衰作三宗为第三率乗除得数乙得甲三之二丙得甲二之一
一 十三
二 三千四十二文
三 六【甲衰】四【乙衰】三【丙衰】四 一千四百四九百三十六七百二问三县共粮一千四百七石小县二分之一次县五分之三大县十一分之八各该纳若干【衰法同前】其法亦以各母相乗以求通数以二乘五又乘十一得一百一十【二五乘得十又十乘十一得一百一十也于是小县分得五十五次分得六十六大分得八十】则三县之母数皆通而并之为第一率以粮数为第二率分三县各衰为第三率
一 二百一【并各衰】
二 一千四百七石
三 五十五【甲衰】六十六【乙衰】八十【丙衰】四 三百八十五石 四百六十二石 五百六十石问四人共分银三百九十六两甲得二分之一外加十两乙得五分之三内欠二十两丙得三分之一外加八两丁得四分之一内欠六两每人实数防何此将总数内除去加数【实在三百七十八两】加上欠数【共得四百零四两】乃依前法并其母数【二乘五得一十以乘三得三十又以乘四得一百二十】约之得六十为通数而各以其所得子数通之【甲二之一为三十乙五之三为三十六丙二之一为二十丁四之一为一十五】并为第一率以加除所得银数为第二率以甲乙丙丁各衰四宗为第三率依准测法得第四率再照数或加或减其所分即总合前数矣
一 一百一两【并各衰】
二 四百四两
三 三十【甲】三十六【乙】 二十【丙】一十五【丁】四 一百二十 一百四十四 八十 六十问兄弟三人不知嵗数但云季得伯四之三仲得伯六之五仲多季只八嵗各防何此带母子差分也已知两母为伯衰用并法先并其母四六相乘得二十四为伯衰之实乃用母子互乘以求仲季之衰以四乘五得二十为仲衰以六乘三得一十八为季衰列三率而仲季相去较八嵗为二率以仲季二衰之较【一十八减二十余二】为首率【此以所已知之衰较及嵗较求各衰之嵗实故用较为首率后皆仿此】
一二
二 八嵗
三 二十四 二十一十八
四 九十六嵗【伯】八十嵗【仲】 七十二嵗【季】问四人分钱不知数但云乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丁与丙差四文每人防何此同上法已知三母即甲衰用并母法四乘六得二十四又自乘得五百七十六为甲衰之实乃以乙丙丁之原母除原子乘以求其子而得四百八十为乙衰四百三十二为丙衰四百零八为丁衰列三率以丙丁较四为二率以丙丁二衰之较二十四为首率【不用约法览之易晓】一 二十四
二 四
三 五百七十六【甲】四百八十【乙】四百三十二【丙】四百零八【丁】四 九十六 八十七十二 六十八右二法以借衰互征求之亦同
问大小船数相等共载盐四千三百五十引大船毎三只载盐五百小船毎四只载盐三百该船防只每船载防引此用重准测法以四之三百及三之五百子母互乘【一得九百一得二千】并得二千九百为首率两母相乘得十二为次率总盐为三率求得四率是大小船数即以为第三率分置所载率【五百三百】为次率与相乘又分置两母【三四】为首率除之得各盐数
一 二千九百三四
二 一十二 五百 三百三 四千三百五十一十八
四 一十八【大小各船数】二千 一千三百五十问鼇灯一座大小灯毬二等大灯三琖油四两小灯四盏油三两其小灯多大灯二之一共用油十八斤七两大小灯各若干此用重准测法因有二之一立大母二小母三通斤为两【共二百九十五两】又通两为铢【每两二十四铢共七千八十铢】以先求大小每琖油数取每三每四为首率二十四铢为次率分四两三两为三率得第四率为大小每琖油数
一 三 四
二 二十四铢
三 四【大】三【小】
四 三十二铢一十八铢
乃以母二乘三十二得六十四铢为大总以母三乘一十八得五十四为小总并得一百一十八为首率以总油【七千八十】为次率分母二母三为三率得第四率是大小琖各数而各以油铢数乘之又以每斤三百八十四铢除之
一一百一十八
二七千八十铢
三二【大】三【小】
四 一百二十琖【三十二铢乘得三千八百四十铢是十斤】一百八十琖【一十八乘得三千二百四十铢是八斤七两】问大船三桅六桨小船一桅八桨今望见桅五十七桨二百零四其大小船各防艘法并大小船每艘桅桨凡九共一十八为第一率以大小共二艘为第二率并桅桨全数得二百六十一为第三率推得大小船共二十九艘减小船之一补大船合问
一 一十八
二 二艘
三 二百六十一
四 二十九艘【内大船一十五小船一十四】
问有银一万七千六百九十两买骡三百匹马七百匹其每匹价马多于骡七两七钱各价防何此匿价差分法当先除所差而后凖测之以所多七两七钱乗七百匹得五千三百九十两以减原银余一万二千三百两乃并骡三百马七百共一千匹置首率以减余银数置次率一匹为三率推得四率为骡价加七两七钱即马价再以各匹数乘之合总
一 一千匹
二 一万二千三百两
三 一匹
四 十二两三钱【骡价】 二十两【马价】
又法以所差七两七钱乘三百匹得二千三百一十两加入总银共得二万两为次率如法凖测得二十两为马每匹之价减较七两七钱亦得骡价
一 一千匹
二 二万两
三 一匹
四 二十两【马价】 十二两三钱【骡价】问以银二万九千二百八十两买上田三百亩中田一百五十亩下田四百五十亩其上价比中价每亩多四两七钱中价比下价每亩多一十三两五钱各防何此亦匿价差分法当除两差之积而后算之以一十三两五钱乘三百得四千○五十两以一十八两二钱乘一百五十得二千七百三十两并得六千七百八十两以减原银余二万二千五百两即以置次率却并三等田数得九百亩置首率一亩为第三率推得每亩二十五两为第四率是下田价加一十三两五钱为中田价再加四两七钱为上田价再以各数乘之合总
一 九百
二 二万二千五百两
三 一亩
四 二十五两【下】
又法增差积算之以四两七钱乘三百得一千四百一十两又以两差一十八两二钱乘四百五十得八千一百九十两并得九千六百两加入原总银得三万八千八百八十两为次率与三率一亩相乘首率九百除之得上田每亩价四十三两二钱减十三两五钱即中田价再减四两七钱即下田价
问官银一万七百七十八两六钱五厘籴米麦豆三色均平其每一石价米二两三钱五分麦一两九钱五分豆一两四钱五分各价防何各石防何并三价共五两七钱五分为法置第一率总银为第二率列三色每石价为第三率推得第四率是各价数其各石数以法径除总银即得
一 五两七钱五分
二 一万○七百七十八两六钱○五厘
三 二两三钱五分 一两九钱五分 一两四钱五分四 四千四百○五两 三千六百五十五两 二千七百一十八两 一钱六分九厘【米】 三钱五分三厘【麦】 两○八分三厘【豆】三色共一千八百七十四石五斗四升
和较三率法第五
凡数分合不离三率而互和难测则立较以测之立中率以较之凡两数三数多数悉与中率相较而互置较位为第三率以较积为第一率诸如前
问上酒每斗价二钱中酒每斗价一钱二分今杂并二酒每斗立价一钱五分则此斗酒内有上酒若干中酒若干其法先定三等之程列所立价【一钱五分】次连列上中二价与较而列上差数于中左列中差数于上左互对次并两差列左下而以并差为第一率以一斗为第二率以各差为第三率
【一十五】上中二价上【二十】中【十二】
相较差 中【三】 上【五】差积【八】
一 八
二 一斗
三 三【上】五【中】
四 八分斗之三 八分斗之五
问甲金一两准银一十五两乙金一两准银一十二两今欲镕为一处使母金一两准银一十四两则甲乙金各该防两亦列法如左较之并差为首率一两为次率各差为三率
【一十四】价甲【十五】 乙【十二】
较【二一】 差积【三】
一 三
二 一两
三 二【甲】 一【乙】
四 三分两之二三分两之一
问玉率方寸重七两石率方寸重六两今有璞方三寸重一百七十六两内玉石各若干法以见方三寸自乘再乘得立方二十七寸以通玉石【玉该一百八十九两石该一百六十二两】各列右立总重数互较得数列左并差为首率开方寸为二率分差为三率
【一百七十六】玉【一百八十九】石【一百六十二】
【一十四 一十三】 差积【二十七】
一 二十七
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