五斗共五十石】
问贷赀商贩三次俱获倍息每次归还三百两三次母子适尽原贷若干先借一为母赀以加三次倍息【初一次二其三得四】并得八为首率减母赀之一只并三次倍息【一二四】并得七为次率知七出于八则知三百原母所出矣以三百为第三率
一 八
二 七
三 三百两
四 二百六十二两五钱
问商贩四次俱获倍息每次费银九十六两四次子母俱尽原母若干亦借一为母加四次倍息【一二四八】并得一十六为首率减母赀之一只并四次倍息【一二四八】并得一十五为次率知十五原于十六则知九十六原于何数也以九十六为三率
一 一十六
二 一十五
三 九十六两
四 九十两
问有商挟赀赴集初次所获比母银多三之二以并入母银再往获五之四三次往又获四之三实计所获并母银共四百两所原挟赀若干其法先借一数以递乗各母而例推之假如借一十为通数以乘各母【乗三得三十以三十乘五得一百五十以一百五十乘四得六百】并之为第一率以所借一十为第二率知六百出于一十而四百之所从出可知也以四百为第三率【按此条法误置子数不用只以母数逓乗与题问不合】
一 六百
二 一十两
三 四百
四 六两又三分两之二【此系初贩原赀三乗得二十两又五乗得一百两又四乗得四百两】问携酒郊游三入肆中俱饮酒一斗九升每饮添酒辄倍余酒至三次酒尽原携若于法借一为原酒加三次倍率【一二四】并得八为首率减原酒之一只三次倍率七为次率以所饮一斗九升为三率知七出于八则知一斗九升所自出矣
一 八
二 七
三 一斗九升
四 一斗六升八之五【即六合二勺五抄】
又法并三次倍率七以乗所饮【一斗九升】得一石三斗三升减半三次得原携数同前
问载米赈济不言其数每次散米一千五百石亦每次籴增俱倍余米之数五赈恰尽无余原米若干法立一为原数加五次倍率【一二四八十六】并得三十二为首率减原数一只并五倍率三十一为次率知三十一之原于三十二即知一千五百之原
一 三十二
二 三十一 【二三相乘得四万六千五百石以减半五次亦同四率】三 一千五百石
四 一千四百五十三石三十二之四【即一斗二升五合】问立一虚数以乘四得数又以乘三得数又以乘六得数外加一十共八百前所立虚数防何其法先除所加一十只以七百九十起算亦借一通数假如借一十为主以递乘得数【乗四得四十又乗三得一百二十又乗六得七百二十】并之为第一率【七百二十】以所借为第二率【一十】知七百二十之出于一十而七百九十之所从出可知也以七百九十为第三率而得第四率乃以一十加之【按此条内并之二字衍末六字应删】一 七百二十
二 一十
三 七百九十
四 一十又三十六之三十五【以乘四得四十三又九之八再以乗三得一百三十
一又三之二又乗六得七百九十加一十合问】
问老人不知其年但云加二之一又减四之一得九十九嵗实年防何其法借一虚数外加二之一又减四之一而例之假如借八十为算依法加减【加二之一得一百二十又减四之一得九十】得数为第一率八十为第二率知九十之出于八十而九十九之所从出可凖也以九十九为第三率一 九十
二 八十
三 九十九
四 八十八
问逺望一塔上露出二丈四尺其下有树遮之云尚有三分之一又五分之二共该髙防何亦借立一数以其三之一及五之二类凖之如借立三十为主酌减余分【三之一乃一十五之二乃一十二】以其所剩数【该剩八即所露】为第一率以三十为第二率知八之出于三十而二十四尺可测也以二十四为第三率
一 八尺
二 三十尺
三 二十四尺
四 九十尺 【此塔髙之数内减三之一乃三丈减五之二乃三丈六尺此外露二丈四尺】问旗竿一根其三之一是白色五之一是黒色九之二是青色外尚余十二尺红色竿长防何亦借一数以通各数而观其所剰以类征之假如借四十五数以减各分【减三之一得十五减五之一得九减九之二得一十】其余【四十五内减前各数剩十一】为第一率以所借为第二率【四十五】知十一之出于四十五而十二之所从出可推也
一 一十一
二 四十五
三 一十二尺
四 四十九尺又十一分尺之一【其白色三之一乃十六尺又十一之四黒色五之一乃九
尺又十一之九青色九之二乃十尺又十一之十也】
问白布三十疋青布四十疋共价六百六十两青布毎疋比白布价多一倍各价防何法借一虚数为白价倍之为青价而以前疋数乘之假如借立四两倍得八各乘青白【四乘白得一百二十八乗青得三百二十】并之【四百四十】为第一率以所借四为第二率知四百四十之出于四而六百六十之所出可知也以六百六十为第三率
一 四百四十
二 四两
三 六百六十
四 六两 【此系白价倍之得青价十二两各乗疋数白得一百八十两青得四百八十两】
同文算指通编卷三
钦定四库全书
同文算指通编卷四
明 李之藻 撰
叠借互征第七【附盈朒】
借虚征实其术精矣又有子母杂互隠奥难知者则两借虚数以征之征之于实尚逺也或两浮而盈或两缩而不足或一盈一不足俱以借数列上以较原数以多寡之差列下而左右互乘焉其法有二凡俱盈俱不足者以差数相减余为法以乗数相减余为实若一盈一不足者以差数相并为实而以法除实则二法相同旧有盈朒一章大都类此而此则于未有盈朒之先借数推出盈朒以求隠数故曰借征其显有盈不足实数者但依旧法求之诸盈不足者两盈者两不足者盈适足者不足适足者及叠互母子者各具数条见例
问设一虚数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原总数几何其法先另借一通数以分其半而通各分先借二十四为数列左上【其半为十二其三之一为四其四之一为三尚余五】以比三百则不足二百九十五列左下另借九十六为数列右上【其半为四十八其三之一为十六其四之一为十二尚余二十】以比三百不足二百八十列右下次以左上乘右下又以右上乘左下各得数附注其下以少减多其余为实而以左下右下相减其余为法除之
除得一千四百四十合原总以减半为七百二十其三之一乃二百四十其四之一乃一百八十加三百合一半七百二十之数
假如借四千八百为通数列左上【其半为二千四百其三之一为八百其四之一为六百余一千】以比三百则盈七百列左下又借二千四百为通数列右上【其半为一千二百其三之一为四百其四之一为三百余五百】以比三百盈二百列右下亦以二数相减余为法而以左上乘右下以右上乘左下相减余为实而以法除之
以法除实亦得一千四百四十合原总数
又假如借二千四百为通数列左上【即前第二式右上者尚余五百】盈二百列左下再借九十六列右上【即前第一右上者余二十】不足二百八十列右下此系一盈一不足者相并为法次以左上乘右下以右上乘左下亦相并为实以法除实仍得一千四百四十
问三人共银四十四两乙多甲一倍外又多四两丙兼甲乙之数外又多六两每人实数防何【此大约当以四分分之而算】先借一十为通数列左上【甲一十乙倍得二十又加四共二十四丙兼二数又加六得四十】共七十四以比四十四盈三十列左下又借六列右上【甲六乙倍之加四得十六丙兼二数加六得二十八】共五十以比四十四盈六列右下以相减余为法乃以左上乘右下以右上乘左下亦以相减余为实以法除之得五为所求之甲数倍之又加四得一十四为乙数兼之又加六得二十五
右图以甲之左数一十乘六及以右数六乘三十者固除得甲五若以乙之二十四乘六及一十六乘三十亦得乙数以丙之四十乘六及二十八乘
三十者亦得丙数以
共数七十四乘六及
五十乘三十者亦得
共数
问甲乙各不知数取乙九与甲则甲倍于乙取甲九与乙则甲乙正等原数各若干借一百为等数乙既得甲九则甲原一百九列左上而乙九十一列其次甲若取乙九则甲一百十八而乙八十二以视甲之半盈二十三【因甲取乙九当倍乙数故】列左下另借五十为等数乙既得甲九则甲原五十九列右上而乙四十一列其次甲又取乙九则甲得六十八而乙三十三以视甲之半不足二列右下盈不足相并二十五为法左上乘右下右上乘左下相并为实以法除实系甲乘者除得六十三为甲数系乙乘者除得四十五为乙数
问携酒游山到处沽増一倍俱饮六升至第四处饮讫无余原携若干借五升四合列左上倍之【一斗八合】减六【四升八合】又倍之【九升六合】减六【三升六合】三次倍之【七升二合】减六【一升二合】四次倍之【二升四合】以减六不足三升六合列左次另借六升二合列右上倍之【一斗二升四合】减六【六升四合】又倍减至四次【倍得一斗二升八合减存六升八合复倍得一斗三升六合减存七升六合又倍得一斗五升二合减存九升二合】盈九升二合列右次盈不足相并为法以左上乘右下右上乘左下并为实以法除实得五升六合二勺五抄
问贷谷不知数每年加息一倍一年还谷五斗至五年本利俱完其原贷若干先借四十三石列左上倍之【八十六】减所还【余三十六】又倍之【七十二】又减【余二十二】仍倍之【四十四】不足六石列左下又借四十四石列右上倍之【八十八】减所还【余三十八】又倍之【七十六】又减【余二十六】仍倍之【五十二】盈二石列右下并盈不足为法左上乘石下右上乘左下得数并为实以法除实得原谷四十三石七斗五升
或依三率置五十为实置
三年之倍【一二四】并得七乘
之加母【一】为法除之亦同
问逐兔百只每三人得四只该防人先借七十二人列左上以四乘三除【九十六】盈四只列下另借九十人列右上以四乘三除【一百二十】不足二十列下盈不足并为法左上乘右下右上乘左下得数并为实以法除实得七十五人
此问依三率三
乘四除即得
借此见例云
问甲乙丙共数六十乙多甲一倍外加四丙兼甲乙数外加六各该防何先借六为甲通乙丙数列左上【甲六乙十六丙二十八】共得五十比正数不足一十列左下又借八为甲通乙丙数列右上【甲八乙二十丙三十四】共六十二比正数盈二列右下相并为法次以左上乘右下以右上乘左下亦相并为实依法除得七零三之二为甲数倍之加四得十九零三之一为乙数兼甲乙加六得三十三为丙数总合六十数
问试以三十数随手剖为二以其一加六十以其一加二十而加六十者为加二十者之三之二其剖分之数各防何此取三十而随意剖之且借二十为甲数列左上列乙一十于次而各如问加焉察其数【甲二十加六十得八十乙一十加二十得三十】甲视乙固不足三之二【乙三十则甲之三分二者该九十今却八十】以不足一十列左下又借二十四为甲数列右上亦列乙六于其次各加如问而察其数【甲二十四加六十得八十四乙六外加二十得二十六】甲又盈乙三之二【乙二十六则甲之三分二者该七十八今却八十四】以盈六列右下盈不足积并为法次以左上乘右下以右上乘左下并为实以法除实得二十二又二之一为甲数然后求三之一则七零二之一为乙数也
问甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者二乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四其实数各防何此因有三之二及四之三当借竒数为通数以求甲数而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一乃奇数也以当甲列左上【左图】加七十三【共七十四】当兼乙丙而倍之【既以七十四为兼乙丙且倍之则乙丙当仅得其半共得三十七】因以折半三十七为乙丙数而乙与丙又衰分焉【乙加七十三又得甲丙三之二因寻乙所衰于丙者】依前法随意衰之为两如借二为乙衰另列于左上【右图】则丙系三十五矣列左次乃以二加七十三【得七十五】以较甲丙合数未足三之二【甲一丙三十五共三十六则其三之二乃该一百零八今乙衰二加七十三只有七十五】尚缩三十三列左下又借五当乙【三十七中之五】列右上则丙系三十二矣列右次乃以五加七十三【得七十八】以较甲丙有三之二否不足二十一【甲一丙三十二共三十三则其三之二该九十九今乙衰五加七十三只七十八】列右下两不足相减余为法而以左上乘右下以右上乘左下相减余为实法除实
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