不用 凡钱千文为缗五缗为绽凡钞五贯为锭锭当钱千里法三百六十步步法今用五尺
厯法每度百分每分百秒西厯则积六十秒为分积六十分为度秒以下俱以六十析之
右式三位而成百五位而成万九位而成亿十七位而成兆二十五位而成京自京至垓自垓至秭以极于正于载皆以万万递加是谓中数昔者黄帝为法数有十等及其用也乃有三焉十等者亿兆京垓秭壤沟涧正载三等者谓上中下也其下数者十十变之若言十万曰亿十亿曰兆十兆曰京也中数者万万变之若言万万曰亿万万亿曰兆万万兆曰京也上数者数穷则变若言万万曰亿亿亿曰兆兆兆曰京也从亿至载终于大衍下数浅短计事不尽上数宏廓世不可用故其业惟以中数举一中数而天地鬼神人物之纪思议之所不及者皆尽之矣况更有上数在乎由旬刹那吾无取焉尔
加法第二
凡数惟加法最易加之不已至于无算故算首论加加也并也积也一也少曰并多曰积皆加也列散数于上各横置以类相比【如十从十百从百及两从两斗从斗之类】先从小数并之而以所得数纪本位下遇十则进一位遇百则进二位第一图 系进一位式
【倂四七九得二十下纪○ 二进位并五八八又并前二得二十三下纪三二进位并六九七八又倂前二得三十二下纪二三进位并八六又并前三得一十七下纪七一进位并一五又并前一得七下纪七】
【只七下纪七】
右式散数四项列格上并总得数七十七万七千二百三十列格下
第二图 系进二位式
【初并一百零二下纪二以一百进二位
次并五下纪五
再并一十六前一得一十七下纪七一进位
终并连前共得二十三下纪三二进位】
右式散数一十二项并总得数二万三千七百五十二
以上二图尽加法矣另有试法具后
一法先自上数下得若干复自下数上得若干然后纪总一法以减法试加随意减一行得若干再加所减仍得若干
又有将散数总数错综覈之者有九减七减二法先减散数余若干次减总数余若干以其所余两数对列相较同则无差异则有差
第一图用九减
此法不论进位只以见数为
准累用九减去○不用先以
散数九减之余置于左次以
总数九减之余置于右俱得
八故知不差
又用七减
此法与九减者稍异乃以实数七七减之从左起连○算者如首行首七竞减净 次【○一】减七余三 次即作【六三】减七余一 次作【五一】减七余一 次作【四一】七减无余乃于首行之左格外纪○ 又以次行之首【九八】七减余五 次即作【○五】七减余一 次作【七一】七减余三乃于次行之左格外纪三 其第三行依法减之余得五第四行依法减之亦余得五各以纪于其左 次将总数七减如前法余得六 乃合四项散数所七减而余者据见数更七减之三五五余得六纪于□左以总数所余之六纪于右六六相合固知不差
第二图用九减
【先减散去九不用六个八
共四十八余三加次行五
得八又加次行得二十四
又加末行得四十六九减
余一纪左次阅总数共一
十九九减亦余一纪右】
又用七减
照前七减法先将散
数逐减纪左累
而减之余一次
将总数亦以七
减余一相合无差
右九减七减法繁碎难用然出巧思具至理录之备翫
减法第三
减与加反用稽所余其法先较数之多寡多中减寡亦自右方小数减起以渐进位其辨多寡之法于左方首位辨之首位相等乃视次位次复相等逐位退求则多寡分焉
【此数首位视之
相等然退至三
位上系一千下
系九百九十九】
既审多寡乃以原数列上减数列下依法右起所余逐纪于下如就多中减少者不须别立借法如后第一图若少内减多须立借法以通其变如后第二图云
此上下相减俱系以少减多
不须更立借法
第二图【亦系以少减多但中有上数小下数反大者须立借法】
右借法乃借大数兼小数以便总减者又法直于借数一十用减却加入本数尤为便捷假如二不能减九当借作一十二内减九得三今却不作一十二只就所借一十之内先减九余一次乃加二仍得三也先减后加比前较易
以上二图减法尽矣其间有差与否何以覈之
一法用加法验之以减数合减余数得原数【如三加六合原九之类】又法以减余数减其原数应与所减数合【如原数七减二余五今却减五合余二为不差】
亦有用九减七减二法者俱以第一行原数为一项第二行减数第三行余数共为一项而较零之同否同即不差
九减七减
【减数首作六十七余四次作四十八余
六又作六十二余六又作六十三无
零其余数首作三十九余四次作四
十三余一次作一十二余五次作五
十三余四次作四十一余六次作六
十一余五纪右五五相合无差】
乘法第四
既知加减当论因乘单位曰因位多曰乘通谓之乘凡乘之数妙于九九作九九图
九九相乘图
首横一行自上读下右直
一行自右读左其相值处
即是乘得数指掌可尽也
附九九相乘歌
一一如一一二如二二二如四一三如三二三如六三三如九一四如四二四如八三四一十二 四四一十六 一五如五二五得一十三五一十五 四五得二十 五五二十五 一六如六二六一十二 三六一十八 四六二十四 五六得三十六六三十六 一七如七二七一十四 三七二十一四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九一八如八二八一十六 三八二十四 四八三十二五八得四十 六八四十八 七八五十六 八八六十四一九如九二九一十八 三九二十七 四九三十六五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二九九八十一
又法就小乘得大乘不用九而用十假如二数并列因其数大难乘未知乘得若干且连注二数而取十数与较看所不足若干因连注不足数于本数右平衡相对其所不足数必其小于原数者也小者易乘乃以不足数上下相乘注乘得数于下为单数又以不足数与原数上下互减注减余数于其下为进位数即得所求大乘数
右法专为未熟大乘者设也若小数相乘不必用此盖以小数减十则不足之数反多而乘出亦多但多出十数外者以十外之数寄于进位就于互除还之其数未尝不合
【左七俱得三合 三三如九所寄进位一共得四是为六七四十二】
既知乘数乃列乘位凡乘亦从右小数乘起次第进位徧乘有以一位乘一位者有以一位乘二位【十数】三位【百数】及数十位者有以二位乘一位或二位三位以至数十百位者其变无穷其法一定
若以几位乘几位者无拘上下随意互乘
上图位数相近随意互乘如第一图者先以八乘上四次九次三次○○六四俱徧各以其乘得数置本位下次乃以七乘四乘九乘三乘○而以乘四所得置于七本位下以乘九所得置于七进一位下以乘三所得置于七进二位下其余徧乘仿此毕乘诸位仍以加法通并详具于后
二位乘【此以三十八乘三百九十四者是为二位乘】先以八徧乘上三位如前法次亦以三徧乘上三位但以尾位所得置于三本位下而其进位及进乘所得皆以次递进一位不可紊乱 如三乘四者得【二一】纪二于三下一进位 如三乘九者得【七二】加前一共【八二】纪八于三之次位二又进位 如三乘三者得九加前二得【一一】纪一于又次位一又进位 两位所乘鱼鳞相比毕则总并其数
以上二图乘法之大略也覈其差否须以除法还原列乘出总数为实如以第一行为法除之必得第二行数【如前一万四千九百七十二为实以三百九十四为法除之必得三十八】如以第二行为法除之必得第一行数【如前实以三十八为法除之各得三百九十四数】合即不差又有九除七除法列原数所余于左列乘数所余于右左右相乘列乘出数于上乃以乘积总数依法除之余数列下上下相比同即不差中间逐位乘出散数俱不用
【首行余七列左次行余二列右
二七乘得一十四以九除余五
列上其积出总数亦余五列下
依法实除原数首三十九
余四次作四十四余二纪
左乘数三十八余三纪右
二三乘得六纪上次除总
数一十四除尽次九十七
余六次六十二余六纪下】
六位乗
挨身下次以九乘上诸位尾
位亦挨本身下余以渐进位
排列 次以三乘上诸位挨
身进位如前 次以○徧乘
上位无乘各挨身照位作○
纪之或空其本位亦可 次
以六徧乘上位尾位所得就
挨六之本身其余以渐而进
云
七位乘
此即前数上下易位为乘故散
数不同而总数同
○无所乘姑空本位
试上图用九除
用七除
【依法按实七除首行余四列左次行
余四列右四四一十六仍除余二列
上总数余二列下】
亦有原数乘数并除而一有零一无零照无乘例只作○
用九除首行原数无余列左
次行乗数余五列右以五遇
○无乗只作○列上次除总
数无余亦只作○列下比同
亦有左右上下俱无零数者
用九除原数乗数俱无余左
右上俱○其总数又无余亦
作○比同
凡乗法或上行原数首尾俱系实数而次行乘数之尾却系几○或次行乘数首尾俱实数而首行原数之尾却几○者不必多作诸○第从简便将各实数如法相乘讫却照其尾余几○逐加于后即见全数盖凡以○乘数者只是作○缘其无可乘出但存其位而已此原数首尾皆实而乘数尾却多○者○无可乘且置不用只以四乘六挨身下数乘徧而止乃将三○系之于尾但不可遗其○位所差不小
若原数及乘数之尾俱各有○若干即须一一相乘以存其位嗣以实数所乘出者挨次进位不得仅如前图照位加○而已
乘得一十
六也
右图上下尾位皆○须留其位故数尾四四未敢竟下挨身必○○徧乘【共得七○为尾】上有○○○亦进三位乃下四四一十六若但就身下数乘毕补○如下图然则尾少三○其失非小
若以一数为首而尾带多○其数虽多总只是一以此相乘无复可乘但照首行原数挨身进位录之乃视尾有几○照加于后即成全数
除法第五
凡数以少剖多曰除亦名归除归者各分所入除者分分除减其义一也法列原数于上层列除数于次层【旧以原数为实除数为法】从左大数除起上下挨身列位然必以小数系大数下若上层原数小下层除数大者须退一位系之详具左
列位图
凡除法原数列上除数列下于原数尾右界格如半规然而于格外注所得数其归除率以下字除上字要见几除而尽如九除而尽者格外注九字八除而尽者格外注八字余仿此所除不尽之数就原数变之抹原数而书其上凡欲知除出之数得几位者视除数之末位去原数之尾位得若干字即是归除所得位数
一位除【假如七万六千○四十八数以八除之】
格右为除得数第一除得九第二除得五未毕
先看八除【六七】得几转以乘法除之八九七十二是九也注九于格右尚余四变六作四【冩四于六上】削去首七亦削去次行除数之八
挨身另下八以八除【○四】依乘法五八四十格右再纪五其上层【○四】俱削亦削八
同前
第一除得九第二除得五第三除得○第四除得六是为每得九千五百○六恰尽
第一次除得九削去【六七】及八以六变四 第二次除得五削去【○四】及八尽 另挨身下八八虽不除四而当存其位乃于格右纪○而存四削八 另挨身下八以八除【八四】得六八四十八恰尽纪六于格右削去【八四】及下八毕
若除数至二位三位者除讫一位挨身布退一位如鱼鳞然其格右所注数每次所除不论几位总之只得一数但其除数首位必须兼顾次位如以首位除之已得某数即取除余变数为实以所得某数呼次位乗之看是恰尽或有余否方可纪于格右若有不足则将首位所除量减数以为次位之地【如九乗不足则减而用八如八乗不足则减而用七用六之类】务取通融恰当其三位除四位除者亦如之三位除【此有一百八十三万二千四百八十七之数而以四百六十九除之
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