一作○于格右
四六之次以存虚位余皆抺之另商
第四防所用仍剩一万八千四百四
竟以一数开毕
前所用四六○是四百六十仍再倍为
亷法当作九百二十数让空四下所防
一位不填以待隅法而列九于八下列二于四下列○于○下乃先以九除一八看得若干乃二九一十八也当用二为再商右纪二亦注于所防四下为隅法如九百二十二者然乃以相呼首以二乘九除十八次以二乘二减四次○不必除次又以二乘二除四恰尽凡开方每面四千六百零二若欲还原用自
又有开方不尽者
具式于后假如列
实四亿五千六百
七十八万九千○首防左第一位下只以本
一十二数凡九位一位开之首位系四当用
从小数间防至大二盖二之自乘四也系二
数共五防该以五于四下右纪二为初商相
位开尽呼二二除四完初段除实
四亿余实五千六百七十
八万九千一十二俟再商
次除五六且作五十六以从简
便倍初商二作四为亷法让防
下一位系四于五下所商以四
除五得防转四除五只一转右
纪一亦注一于防下先呼一四
如四五除四剩一四上五变一
次呼一一如一六除一剰五也
一上六变五完二段除实四亿
四千一百万余实一千五百七
十八万有竒另商
次除一五七八之一段且作一千五百七十八而商因前商二一是为二十一今倍作四十二为亷法空有防之八以待隅法而系二于七下系四于五下要商四除一十五凡几转计得三转即用三数为再商纪格右亦系三于有防八字之下先呼三四一十二于十五内除十二则抺五改三进抺一又呼三二是六于七内除六尚剰一则抺七改一又呼三三是九于八内除九依借法抺八改九进位一变○完三段余实三百九万九千有竒次除三○九九
○之一段因前用二一三是为二百一十三今又倍其
数作四二六为亷法空有防之○
而于九下系六于进位九下系二
于○下系四先以四商上三○看
四除三十凡防转该七转则用七
纪七于格右亦系于有防○下以
相呼先呼四七二十八于三十内
除二十八尚剩二数四上○变二
进抺三次呼二七一十四于廿九
内除十四二上九变五进位二变
一次呼六七四十二六上九变七进
位五变一次呼七七四十九依借法
七上○变一进位七变二完四段余
实一十一万二千一百一十二另开
次除一一二一一二总作一段前已用二一三七是为二千一百三十七今倍之当作四二七四为亷法空有防之二而于进位一下系四于又进之一下系七于进二下系二于进一下系四先以四商上一十一看除该二转则用二纪格右亦系二于末位防下而先呼二四为八以除一十一余数三乃抺一改三进抺一
次呼二二为四依借法二上二
变八进位三变二又呼二七一
十四依借法七上一变七进位
八变六再呼二四为八依借法
四上一变三进位七变六又呼
二二为四依借法二上二变八
进位三变二完第五段除实四
亿五千六百七十六万二千三
百八十四余二万六千六百二
十八为不尽数
右开方二万一千三百七十二以自乘得四亿五千六百七十六万二千三百八十四并入余数二万六千六百二十八得原数
开平竒零法第十三
凡开方法有可尽者如十六用四除尽如二十五用五除尽是也亦有必不可尽者假如列实二十者用四除去十六尚余四此所余之四将何术以开之其法依除法立子母数倍用数为亷法外加一为隅法并为母而以余数为子乃以原所用开之数依母数化之而并子数俱以为子乃以母自乘子亦自乘以取开方而以小数除其大数视其所得之数若干即开尽数若原数内
更有未尽者再法开之倍用数得八加一为
母共九而以余数四
为子次以用数乘母
共三十六并子四共四十
以八十一而
除一千六百
得一十九零
八十一之
六十一为
开方之数
尚有未尽
另法具后
右法于二十数内开过一十九零八十一之六十一比前但开除一十六者所得多矣然尚余八十一之二十未尽另立一法开焉用盈不足对稽如前用四自乘盈四也又如用五自乘乃得二十五是又不足五也以不
足五对前四又九五内除四余一依前
之四而以少除多法化一为九内又除
【以五为实以四又九之四为法除之】 四余五是九之五也
乃以前四零九之四者而五八并得十三倍之为八零九之八并入今 除一九是一整余九之五共得九零九之四 数尚剰九之四【其倍之为亷法也并入今余又用盈不足相并】
次取九零九之四以除前所余未尽八十一之二十依化法整九与母九相乘得八十一并入子四共八十五
是为九之八 两母乘得六
十五又倒位 千八百八十
对相母乘母 五两子乘得
子乘子 一百八十
又以母子乘两母数以九乘
出之数与原六千八百八十五
存九之四十得六万一千九百
对列而以两六十五为共母其
母相乘为母子数以六千八百
次以子母互八十五乘四十得
乘各为子而二十七万五千四
并之【原存盈数也今】百以九乘一百八
【乘出数不足也亦相并】十得一千六百二
九百六十五之二万九千一百六十约
之即十七分之八也为开方零数
若欲知其已于二十数内除过防许即将四零十七分之八自乘之依法先以四各化为十七加八俱为子数而仍以十七为母母子各自乘以见开方【母自乘得二百八十九子自乘得五千七百七十六】而以母数除子数即见
依除法已开净一十九零二百八十九之二百八十五较前十九零八十一之六十一逺矣尚余二百八十九
之四未尽欲尽
之再依前法开
除
又法以四开二十因用四开之不尽乃用四零二之一
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编,卷六>
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编,卷六>数加一倍如四零三十六之一十七倍作八零三十六之三十四依法化之【八化三十六得二百八十八并入三十四得三百二十二】为三十六之三百二十二若用约法则为八零十八之十七亦依法化之【八化十八得一百四十四并入十七共得一百六十一】为一十八之一百六十一此倍出亷数也以之倒位而对前所余数母子俱自乘
仍对前所化
亷数求之
次以所约之母子与原亷母子相对而依法以乘母者并母次以两子各乗总母得数对减余为实乃取所并
此为开方不足之数比前则所剩微矣欲开尽依法再推同文算指通编卷六
<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编>
钦定四库全书
同文算指通编卷七
明 李之藻 撰
积较和相求开平方诸法第十四
凡平方长濶不等以长濶相乗为实积以长濶相减为较以长濶相并为和
凡以积和求较者以和自乗以积四因相减开其余得较
假如直田积八百六十四步长濶和六十步求长多濶几步者用和自乗【得三千六百】又四因直积【得三千四百五十六】以少减多余一百四十四平方开之得差一十二步
右开法见前不重列所以和自乗又四因直积者葢和自乗有四段直田积一段差方积故以四积减和乃剰下差方一段以取方面见步【有图在后】比类如有金八百六十四两数人分之只云人数与
【得银数共六十其】
【差几何银数爲濶人数爲长得三十六人毎人】【二十四两凡以积较求和者四因实积又以差】【自乗并入开平方除之得和假如直田积八百六十四歩濶不及长一十二歩求长濶和共几歩者以积歩四因以较自乗相并开方得长濶和六十歩右四 因积有 四长四】
【濶纵横列之于外又较自之一段】
【居中故开方得和其用和自乗者得此图全数外兼四积内兼较自乗故除积得较比类金八百六十四两只云锭数不及两数十二求锭与两共若干两数爲长锭数爲濶得锭与两共六十得三千四百五十六一百四十四三千六百长三十六步】各
若夫积与较求濶者其长之积多于濶若非加法以带除其长当于实积内抽减其长之积故其法有二其一以较为纵方并纵入方谓之带纵开平方其一以较为减积以方乗减谓之减积开平方
积与较求长者其濶之积少于长若非益积以补濶则当损其法之长也求法有二其一以较为负纵乗上商以添积谓之负纵益积开平方其一以较为减纵而以负纵减方法谓之带减纵开平方
积与和求濶者以和为纵方一为负隅和并一长一濶积得一长而少一濶故用一为负隅或益负隅于积或减负隅于纵皆可以求其濶也其益隅于积者乗负隅为方法又乗方法以益积是为带纵益隅开平方其减隅于纵者乗负隅以减纵命余纵以除实是为带纵负隅减纵开平方
积与和求长者原积有长濶相乗而无长自乗宜损濶以益长故以和为纵方而置一算为负隅稍赢其商以减其纵用减余者以除积而积常不足则翻以积减纵而余为负积或再商命隅以减纵而纵反不足亦翻以纵减商而余积纵三者俱负乃以负纵约余负积商命负隅开之是为带纵负隅减纵翻法开平方
右纵方六术所以通平方之变而翻法一术又所以通纵方之穷也此外有积与二濶较及长濶较求濶者则有所谓带纵减积开平方有以大小二方和积求径者则有所谓减积带纵负隅并纵开平方有以方圆二径虚设相同及积求其实径者则有所谓隅算开平方至于匿其积实而虚张长濶和较之数互求长濶者则又有所谓带纵隅益积开平方带纵负隅减纵开平方减积带纵隅益积开平方带纵负隅减纵益实开平方带纵廉开平方带纵廉负隅开平方带纵方廉开平方带纵廉负隅乗纵减实开平方皆以带纵诸法错综为用以御开方诸积之变神明变化存乎当机初不可一途而取今每则畧着数例以便初学
带纵开平方法【积较求濶】
有勾股积若干平方开之第云勾不及股若干用加法带除其股积余为开方名带纵开平方法列实点定开位亦列所不及为纵数于下以首位随首点下须于纵上空一横行以容商除初商若干纪格右亦以商数并纵数列首点下【有小数者照常退位排之】次第呼乗以除实数但所商数须与带纵相照若纵数多则减商数就之不尽之数再倍作廉法然倍方不倍纵亦并入带纵商之假如有直田积八百六十四步濶不及长一十二步求濶几步列实定位以带纵【二一】随首位列之初商二纪格
右亦列首点下以并带纵【一】共三乃
变壹贰注三 相呼二三除六 三
上捌变二二二除四 贰上陆变二
完首段余实二百二十四步次倍二
作四为廉法挨退位下亦列带纵以
廉四并纵一其下列五次商四纪格
右亦注末位点下为隅法以并隅二下注六乃相呼除先呼五四除二十进抺二又呼四六二十四恰尽得
濶二十四步
比类给银八百六十四两只云所得银之两比得分人数多一十二两求总是几人每人各得银几两银多为长人少为濶得银两数二十四人数三十六
假如二十三万○四百为实带纵七百二十初商可用四数因有带纵七乃减商作二纪格右亦纪首点下为
隅以并带纵七共九乃变二七作
九是为【二九】与右二疉呼除之 二
九一十八 九上叄变五进削贰
本位下削九 次以右二乗二除
四用借法 二上○变六 进位
五变四本位下削二次倍二作四
为廉法列次点之进位○下另列
带纵数于廉下以待商除次商四
纪格右亦注次点四下为隅法而以带纵及廉法并入除之四七并一十一廉下变一 进位亦加一 四二并得六隅下变六乃以右四呼首一一四除四 一上削四又以右四
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