呼次一 一四除四 一上六变二又以右四乗次六四六二十四 六上除肆 进位除二恰尽因尚余一点于右加一○
右平方二百四十带纵共九百六十
若实数首位寡而带纵数多不能并累开方者虽点段在首位亦退一位列商及列带纵而减一商
假如列实一万六千一百卄八带纵七十二点段该将
左首位商起因带纵是七即减
一商置次点下 初商九纪格
右亦注次点之下并带纵七共
一十六乃改七九作六进位置
一为方法与商九相呼 一九
除九 一上陆变七进抹一
六九五十四 六上壹变七进位七变一 二九一十八 二上贰变四进位七变五次倍九得一十八为廉法叧退一位置带纵再商六纪右亦注末点下为隅法而并廉法带纵呼除如前得濶九十六带纵七十二共长一百六十八
其实首数多带纵数少可以开除者仍照所点段位开起
假如列实三万八千四百带纵二百首位三自为一段初商一纪右亦纪一于首位下并带纵二得三乃以贰变三与右一相呼一三如三径除叄次倍一作二为廉法以注初商之次位以并带纵得四注纵下如前再商二以纪右亦以注第二点下俱与右二相呼先呼二四如八径除捌又呼二二如四径除肆外尚剰一点该于格右加○
右开方一百二十纵三百二十
若点段开位少而带纵之位反多【如开位三点只该百而带纵乃至千之类】以初商置首点下而以带纵大数进位列之必首段系二位者方有此例
假如列实一十九万八千带纵一千五百三十只点作三段其开数止有三位初商只是百数而所带乃逾至千此其并纵亦须以百随百以千进一位 初商一纪右亦注首点之下并带纵五得六另改注其下先以右一与纵一呼之一一除壹次以右一呼并六 一六如
六六上玖变三 次以右一呼纵
三三上捌变五完首段 乃倍初
商之一作二为廉法注初商之次
其带纵亦于次位列之【列五百于廉下二五
并得七另注七于下一千进位】再商二纪右亦注
次点下以并三得五另注五乃以
递呼 先呼一二如二 一上三
变一 再呼二七一十四 七上
五变一 进除一 又呼二五得一十恰尽外尚余一点右加○
右开方一百二十纵一千六百五十
带纵并商数有共一十者进位照式呼除【第一图亦有此】假如列实七万二千带纵四百八十点在首位初商一纪右亦注点下并纵四得五注于下以呼一五除五四上防变二 再呼一八除八 八上贰变四进位二变一乃倍初商之一作二为廉法注次位其
下另列带纵以二并四得六注于
下次商二纪右亦注次点之下以
相呼除 二六除一十二 六上
四变二进削一商二并纵八得一
十进位注一本位注○以相呼除
一二除二恰尽外余一点加○于
右
右开方一百二十纵六百
若实数纵数商除数俱多杂糅易淆者务须先将带并之数逐一归并停当各注其本位之下乃以呼除大抵只据最下一字为准则不淆乱
假如列实一十六万六千四百六十四带纵一千○八十八先点定该开三位讫其带纵低二行列之以便填商置初商于第二位点下以带纵之千进一位列之【初商是百故带纵之千进位与前法同】初商一并入为一千一百八十八以初商一纪右相呼首位呼一一如一以削壹 次
位呼一一如一 一上陆变五
三位呼一八如八 八上陆
变八 进位五变四 四位呼
一八如八 八上肆变六进位
八变七毕一段【以上甚简】倍初商之
一作二为廉法注次位下另列
带纵数【并得一千二百八十八】次商三纪
右亦注次点下并入以商【三】并
纵【八】得一十一注一于八下又注一于进位廉二之下以商纵【一】并廉【二】得三另注三于廉【二】之下并毕其并注数多认定最下字为主以与右相呼首位呼一三如三一上四变一次位呼三三如九三上七变八进削一第三位呼一三如三 一上六变三第四位呼三八二十四 八上陆变二进位三变一毕二段以上除过一十五万八千三百四十余实八千一百二十四未尽又倍前商之一三作二六为廉法空末位之点以待隅
法而以六注【二】下【右第二位】以二注
【一】下【右第三位】另列
带纵数以相并
乃以廉六并纵
八共一十四系
四于八下一进
位又以一并廉
二共得三系于其下乃商六纪右亦注末位下又以并纵八共一十四注四于末位下一进位四下改作五并讫以最下字与右相呼一六除六 一上八变二 三六一十八 三上一变三进除二 五六三十进除三四六二十四除恰尽
右开方一百三十六纵一千二百二十四
减积开平方法【积较求濶】
勾股积若干勾不及股亦有减积法减积者于实内减股之积以就其方也列实定位另列不足数为减积以商乗减积以所乗出之数列原积下对减视余实若干以所商依法除之有未尽者倍方为廉约得再商别置为隅亦乗减积以减余实乃倂廉隅除之
假如直田八百六十四步濶不及长一十二步求濶几何列实点位如前另列不及一十二为减积以初商乗之初商可用三因有乗数故约用二纪右亦注首位下以乗减积得二十四随位列之相对减原积二上捌变
六 四上陆变二余实六百二
十四乃以方法呼除 二二除
四二上六变二余实二百二十
四次倍二作四为廉法注退位
再商得四纪右亦纪末位为隅
法以乗减积得四十八亦相对
减余实四上二变八进位二变
一 八上肆变六进位八变七乃以方廉呼除 四四除十六 四上七变一进削一又以方隅呼除四四除一十六恰尽得濶二十四步
假如直积一千七百五十濶不及长一十五问濶几何列实定位叧列不及为减积初商三纪右亦注首点之
下为方法以乗减积得【五四】随方
法之位列之以减原积四上防
变三 五上伍变○ 乃以方
法除之 三三除九 四上三
变四进削壹余实四百次倍三
作六为廉法注退位再商五纪
右亦注末位为隅法以乗减积
得七十五对注以减余实五上
○变五 七上○变二 进位四变三尚余三百二十五皆与次商相呼五六进除三 五五二十五恰尽得广三十五
假如直积一十六万七千四十濶不及长一百三十二求濶几何列实定位另置不及为减积初商三纪格右亦注首点下以乗减积得三百九十六随首点列位对减 六上○变四因有借故进位仍七 三上陆变二余实一十二万七千四百四十乃以方法开之三三除九 三上二变三进削壹余实三七四四○次倍三作六为廉法注退位商实得四纪右亦注次段点下为隅法亦乗减积得五
百二十八退前积一位
列之对减八上肆变六
二上四变一五上七
变二仍余三二一六却
以廉隅呼除四六二十
四六上二变八进削三
四四一十六 四上
一变五进位八变六尚
余六五六○乃倍三四
作六八为廉法挨尾点
一位列之再商得八纪
右亦注尾下为隅法又
乗减积得一千五十六
挨尾位列之对减六上
○变四 五上六变○
一上六变五仍余五
五○四乃以廉隅呼除
六八四十八 六上五
变七进削五 八八六
十四 八上○变六进
削七又八八六十四恰尽得濶三百四十八
负纵益积开平方法【积较求长】
有勾股积若干勾不及股为较以积及较求股而勾少于股则益积以补勾名负纵益积开平方列实定位另置所不及数为负纵以商乗负纵虚增其积而后以方法开除不尽者倍方为廉又以再商乗负纵増积而另置一算为负隅以再商乗负隅为隅法置于廉次以商呼廉隅除尽
假如直积八百六十四濶不及长一十二求长几何列实定位叧列不及十二为负纵而初商则约所増负纵之乗命之如首位捌开法宜用二因有负纵之乗乃商三纪右亦注首位下为方法而以乗负纵得三十六注三于首位注六于次位以并原积六上陆变二 三上捌变二 进位置一益积得数一千二百二十四乃以
方法呼除三三除九 三上二变
三余积三二四又倍三作六为廉
法另商六纪右以乗负纵得七十
二退位列之添积二上肆变六
七上二变九共积三九六而另置
一算为负隅以次商【六】乗之仍得
六为隅法乃并廉隅呼除六六三
十六 六上九变三进削三又呼六六三十六恰尽得长三十六
假如直积二十三万四百长濶较七百二十求长几何列实亦列较为负纵初商九纪右亦注首点下为方法以乗负纵得六四八以益积 八上○变八 四上叄变七六上贰变八共八七八肆○○以方法除之九九八十一九上七变六进削八余实六八肆○○乃倍九作【八一】为
廉法注八于次隅之进位又
注一于进位次商六亦乗负
纵得四三二以益余积二上
肆变六 三上八变一 四
上六变一 进位置一共得
一一一六○○又以次商六
乗负隅一仍得六注本段点
下为隅法乃以廉隅呼除
一六除六 一上一变五进
削一 六八四十八 八上
一变三进削五 六六三十六恰尽得长九百六十带减纵开平方【积较求长】
凡以较及积求股者股长于勾亦有损股之长以就其方者名减纵开平方列实定位列较为减纵以减初商而以所减之余即乗初商以开之其次商又即以初商并入为廉法而商之置隅如常
假如直积八百六十四濶不及长一十二求长若干列实叧置不及一十二为负纵初商三十【因有二点故知三十】置右另以负纵减之余一十八挨注首位点下为方法以呼所商三八二十四 八上陆变二 进位捌变六 一三除三
一上六变三 余积三百二十肆乃
于右三加○以并方法一十八共四十八为廉法注退位再商六纪右亦注隅而并入廉法共五十四而六八并改四
进位四改五以呼次商五六三十
五上进位削三 四六二十四恰尽得
长三十六 其次商若不以隅相并亦同前法
六 次商六并前【八一】为四十八退位注之以
呼四六二十四 四上二变八 进位
削三 六八四十八 八上肆变六
进位八变三 又置隅法于尾位六六
三十六恰尽
只就本段积
比类以金换绢八百六十四匹
不知金一两换绢几匹但云原
金总两多于绢数十二今求原
金几何如长绢匹如濶得金三
十六两其所换匹数即直积也
假如直积三千四百五十六濶不及长二十四求长几何列实定位另置较二十四为负纵初商七十【因有二点故知七十】纪右以负纵减之余四十六挨注首位为方法【四多于三照例退位】与商相呼 四七二十八 四上肆变六进削叄 六七四
十二 六上伍变三进位六变二 余
实二百三十陆乃于右七加○以并四
十六共一百一十六为廉法列于下续
商得二改右○为二亦注尾位为隅法
并入廉法呼除一二为二 一上削二
又一二为二 一上三变一 二八
一十六恰尽得长七十二
又有两方共积若干第云以小方之一面乗大方之一面共若干问大小方面各几何者倍乗积以减共积以所余积为实开方得较再置二方乗数为实以较为减纵开平方除之得大方面以较减之得小方面
假如大小方田二段共积六千五百二十九步以小方大方各一边相乗得三千一百二十步求大小方面几何者倍二方乗积【得六千二百四十步】以减共积余二百八十九为实以开平方法除之得较一十七步再置二方乗数三千一百二十步为实以较为负纵初商六十纪右以负纵减之余四十三注下为方法以呼所商四六二十四 四上壹变七进削叄三六一十八 三上贰变四
进位七变五余实五百四十乃于
六右加○以并方法共得一百零
三为廉法列下续商五纪右亦注
尾位为隅法并入廉法共一百零
八以相呼 一五除五五八四十
恰尽得大方面六十五步以较一
十七减之得小方面四十八步
带纵益隅开平方法【积和求濶】
凡积和求濶者用其和为带纵则已兼
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