长者或损长以就之用带纵负隅减纵开平方
假如一长二濶三和四较以长乗之得四万七千二百一十二其较二十八步而不知其积求其长列长乗之积为实较为纵方仍前法推得【九】为负隅初商七十纪
右乗负隅得六百三十为
方法内减纵法【二十八】剰六
百二退位注实下以呼所
商六七四十二六上防变
五进削肆 二七一十四
二上壹变七进位贰变
○余实五○七二次倍方法得【一千二百六十】内减纵法【二十八】得一千二百三十二为廉法列余实之下约实续商得四纪右乗负隅得三十六为隅法并廉法共一二六八改注尾位与续商相呼恰尽得长七十四步
又有同前不知积知较而以濶乗其一长二濶三和四较得若干求长者用减积带纵隅益积开平方
假如设为一长二濶三和四较以濶数乗之得二万九千九百五十二其较二十四问长几何置较自乗【五百七十六】以减原积余二万九千三百七十六为实【以较自乗减其原积故曰减积】较为益纵六为隅算初商七十纪右乗隅【六】得四
百二十为隅法注实下
又以商【七十】乗益纵【二十四】得一千六百八十以益
原积尾次七变五进位
叄变○ 又进玖变一
又进贰变三得三一
○五六乃以隅法乗商呼之四七二十八 四上一变三进削三 二七一十四 二上○变六 进位三变一余实一六五六乃倍隅法得八百四十为廉法续商【二】以乗隅【六】得一十二为隅法另以所商【二】乗益纵得四十八以益余实尾位陆变四进位五变○进位六变七共一千七百四却以方隅二法共八百五十二注尾位以呼续商恰尽得长七十二步
亦有匿积只以濶乗一长二濶三和四较共若干及较若干求长而用带纵负隅减纵益实开平方者
假如田不知积一长二濶三和四较以濶乗得二万九千三百四十八步濶不及长二十八步者列实亦列较为纵方九为负隅【共得九长】初商七纪右【即七十】以乗负隅得
六百三十为方法
内减纵方【二八】得六
百二注实下又以
乗纵方得一万六
千八百五十六以
益实六上捌变四
五上肆变○ 八上叄变二 六上玖变六 一上
贰变四乃以所商【七】呼除所注之下法【六百二】二上○变六进位二变○ 六上六变四进削四余实四○六四次倍方法【一千二百六十】减纵方得一千二百三十二为廉法次商四纪右以乗负隅【九】得三十六为隅法以乗纵方得一千零八为益实并入余积八上四变二进位六变七 一上四变五以廉【一千二百三十二】隅【三十六】相并【一千二百六十八】呼商恰尽得长七十四步
右法以濶求长积欠一较故乗较为益实以补其缺
亦有同前不知积而以濶乗长濶和较共数及较求濶者用带纵廉开平方
假如直田不云积步只云一长二濶三和四较以濶乗得二万九千九百五十二步濶不及长二十四步求濶者置乗积为实减较之半【一十二】为纵廉而以初商乗之初商四【即四十】纪右为方法以乗纵廉得四十八即与商相并共五十二注实下照式退位以呼初商【四】五四二
十进削贰 二四除八 二上玖变
一余实九一五二次倍所乗纵廉得
【九十六】及方法【八】共一百四进位得一
千四十为方法再置纵方一十二为
廉以相并共一千五十二商实得八
纪右亦注尾位为隅以乗纵方得九
十六并方廉隅共一千一百四十四注实下以呼次商恰尽得濶四十八步
又有同前匿积和较又以濶乗长濶和较共数求濶用带纵廉负隅开平方者
假如田不知积只云一长二濶三和四较以濶乗之共二万九千三百四十八其较二十八以求濶者置濶乗数为实推得共八较九濶用九为负隅以较八乗得二百二十四为纵廉以初商乗负隅为方法初商四【即四十】纪右乗隅得三百六十并纵廉共五百八十四注实下呼商五四除二十进削贰 四八三十二八上叄变一
进位玖变六 四四一十
六 四上肆变八进位一
变九 进位六变五余积
五九八八次倍方法得七
百二十为廉法并纵廉九
百四十四为实续商六纪
右以乗负隅【九】得五十四为隅法并廉法纵廉共九百九十八注实下呼商恰尽得濶四十六步
若同前不知积步第置长濶和较以长乗得若干及较求濶用带纵方廉开平方
假如一长二濶三和四较以长乗之得四万四千九百二十八步较二十四步求其濶若干列实以较为纵方推得八长一濶共九段倍之得一十八为纵廉以乗初商而并计之又兼纵方乃以呼商除之初商四纪右【即四十】为方法乗纵廉【一十八】得七百二十并入方法【四十】共七百六十又并纵方【二十四】共七百八十四以呼商四七二
十八 七上肆变六进位
肆变一 四八三十二
八上玖变七进位六变三
四四一十六 四上贰
变六进位七变五余实一
三五六八乃倍四得八为
方法倍纵廉得一千五百二十并入纵方【二十四】共一千五百四十四为廉法以商余实得八纪右以乗纵廉【一十八】得一百四十四为隅法乃并方入廉【一千五百四十四】隅【一百四十四】三法共一千六百九十六注实下呼商恰尽得濶四十八步
又同前不知积及置长濶和较以长乗得若干及较求濶用带纵廉负隅乗纵减实开平方者
假如一长二濶三和四较长乗得四万七千二百一十二步濶不及长二十八步求濶几何列实推得八长用八乗较得二百二十四为纵廉推得九段用九为负隅又以较为减纵方初商四【即四十】纪右以乗负隅得三百六十为方法并入纵廉共五百八十四为下法乗减纵
得一万六千三百五
十二为减实注实下
变为三○八六○乃
以初商四呼下法照
常注退位五四得二
十进位三变一 四
八三十二 八上八变六进位○变七进削一 四四一十六 四上六变○进位六变五余实七千五百乃倍方法得【七百二十】并纵廉【二百二十四】共九百四十四为廉法约商得六纪右以乗负隅得五十四为隅法即以隅法乗减纵得一千五百一十二以减实余五九八八以廉隅二法相并得【九百九十八】与次商相乗开之恰尽得濶四十六
开立方法第十六
凡数自乗平列一面为平方更以原数再乗则四面皆方中积充实为立方矣凡立方点段俱隔二超三而首段寻其原数以自乗再乗如适合见数者即为方法开讫如少于见数则挨身减数寻原而以其再乗所得列首段下除之以为方法【若再乗之数反浮见数即非其原】余实三倍其方为廉叧置而以方法进一十【如系一则作一十系二则作二十之类】与相乗得数以较余实约得几何分之几何假如已得二之一者即以二为次商亦以乗廉法得数若干以并前所乗数共若干而以次商数总乗之即得三面之廉复以次商数自乗再乗为隅法并入开尽有不尽者以法命之
依法分为四段先开首位之捌寻原系二乃以二自乗再乗得八恰尽 抹捌右纪二 次开叄陆伍除点上之伍未用且作【六三】开之乃三倍其二为六另置于方法之上试加一为【一二】以六乗之得一百二十六以除原积叄陆其数反浮乃只作○纪格右为【○二】
次求第三位更三倍其【○二】为【○六】置于方法【○二】之上随意加一位且如只加○为 以与【○六】相乗得一万二千以视原积叄陆伍肆贰约得三之一乃商三纪格右为 以乗【○六】得一百八十并前【一万二千】共得一万二千一百八十又以三乗之
得三万六千五百四十又以三自乗再乗得【二十七】为隅法并入恰尽 凡隅法皆以尾位挨本位所点之下尚余尾段三个○再加一○于格右
假如列实一千七百二十八
首位一自乗再乗只得一以一为方法纪右抹壹次倍一为三作廉法另置乃以方法加○为【○一】以乗廉法三得【○三】约得原积【二十七】内二之一矣乃改○作二为次商纪格右以乗廉法三得六并【○三】共得三十六而以次商之【二】乗之得七十二又以二自乗再乗得八为隅法并入是为七百二十八开尽
假如列实三万二千七百六十八数
首位寻原系三以三为方法自乗再乗得【七二】二变五抹叄次倍三作九为廉法加○于方法之右为【○三】以乗九得二百七十以视余实【五千七百六十】为二之一乃商二纪二于三右以二乗九得一十八并前乗共得二百八十八以二总乗得五百七十六符三廉之数又以二自乗再乗得八为隅法并入尽
若次商以方法进位乗廉法而乗得之数适符余实或于余实相近不足二之一及三之一以上者只以一为次商之数
假如列实九千二百六十一数
先开首位玖寻原用二自乗再乗得八即除八于玖而抹玖变一以二为方法纪右次倍二得六为廉法另置次以二为【○二】与相乗得一百二十适近本积只以一为次商数以乗所置六仍得六并前乗共得一百二十六又以一自乗再乗为隅依法并入是为一千二百六十一恰尽
广诸乗方法第十七
凡积数若干以平面开之适得自乗之数者为开平方其立方乃开平再乗积也【四面皆方中积满布】三乗方长立方也【如以二自乗起者得两立方以三自乗起者得三立方之类但以平面一边之数为准】四乗方平面立方也【如长立方得两方数则进作四立方如长立方得三方数则进作九立方又如长立方系九方数则进作八十一立方之类仿此以至无穷俱系平面】五乗方大立方也【如系二自乗起者有四立方则进并十六方为大方如系五自乗起者有二十五立方则进并一百二十五方为大方之类】自此推之六乗方视三乗形七乗方视四乗形八乗方视五乗形余乗仿此可至无穷旧法繁碎且仅止于五乗此立捷法由平面至诸乗总一机轴先以诸乗原委布为一图乗母为原乗出之子为开
凡开方列位以点分段者
平方每二位点作一段再
乗方每三位一段三乗方
每四位一段仿此推之至
九乗方则十位一段矣皆
自尾小数起而先以最大
数之首段检上图以寻其
原即以原数开之假如平
方开者检知首段数四十
九即知七是原数用七自
乗可开若首段数系六十
四者即知八是原数用八
自乗可开若系六十三者
不及六十四尚以七数开
之余积另求再乗三乗以
上皆同此法假如再乗首
段系二十七检知其原系
三即以三开之若是六十
三以下亦以三开又假如
七乗方首段系二五六原
数是二以二开之若原数
是六五六不及三数之六
五六一仍以二开之也上
图系乗出之数已得乗出
之数开方之时第以此数
注首段下以除为开
右法已得首位方法余实倍方为廉平方者一倍再乗方者再倍三乗以上皆以本乗之数仿此倍之别立通率凡平方只一率为【○二】再乗立方有二率为 【○三】三乗方有三率为四十为六百为四千自此以上诸乗仿此渐加而皆如后图所推乃以方法之数乗之以乗出之数较余实约得几何母之几何而即以其母为廉法
此图以首行所列
之二为平方三为
立方四为三乗至
十七则十六乗方
也余乗仿此首行
顺列其第二行数
悉承首行上格二
数积之如【三三】为六
【四六】为【○一】之类数穷
则挨加一数如第
二行第五格为【○一】
其第三行第五格
亦为【○一】是也
右格内数以检各乗合用通率而各视其乗法多寡于本位叠加虚○凡平方一乗者用一率为二以加○为【○二】以与方法相乗其立方再乗者用两率为三三而左小数加一○为【○三】右大数加两○为 而以 乗方法若三乗方者则用三率为四六四于末位之四加一○为【○四】进位之六加二○为 首位之四加三○为四千亦以大数乗方法右图只具四六两位而乗法却宜三位则回用右方之四以足三率若并位之数相重如四乗方之连用【○○一一】者回转减其重数竟以首位之五用之末位为五【○○一一】五照前依位增○其数则为五十为一千为一万为五万而以五万乗方法也至六乗方八乗方以上皆然
一乗开平方
假如列实六百七十六万五千二百○一以平方开之初商得二为方法以求廉法立【○二】为通率列中位亦列方法于左位以相乗得【○四】以较余实【七二】约得六之一乃立六为廉法列于右位以自乗得【六三
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