之先以首四除一十八尽乘得四四一十六用四而余二然次位是六以六乘二十三不足矣不得不减数从三只用三以除一十八除得三四一十二尚余六四上八变六进位削一而格右纪三为用数并削首位之四 嗣以三因次位之六三六一十八六上三变五进位四上六变四乃削三削六下又削次位六 嗣以三因九三九二十七九上二变五进位六上五变二乃削二削五亦削九是以三除之余四十二万五千四百八十七数故当用三余再除如后图】右图下层次位以三因六三六一十八其六上三变五者三小八大照减法借进位一数于一十之内除八余得二再加三是变五也
若除法未熟不妨小注于下假上层【三六】下层用三因六三六一十八即于三下且注八于六下且注一三除八如前借法六除一乃还借除二为六变四余仿此
【另退一位挨下四六九先以四除四十二看得几个四凡数极于九用九乘
四九三十六尚余六四上二变六进位四削尽亦削下首位之四格右纪九
嗣以次位六因九六九五十四余一十一六上五变一进位六变一亦削
下位六嗣以次位九因九九九八十一尚余
三十三九上四变三进位一变三系借除进位一削尽亦削九其不尽三
千三百八十七数再除如后图】
【复列四六九而四不能除三姑存其位作○于格右其下层四六九
皆削去 又列四六九以四除三十三看除得几转四八三十二余
一矣然六乘一十八则不足故减而用七除得四七二十八四上三
变五进位削三嗣以六因七六七四十二六上八变六进位五变一
亦削下位六 嗣以九因七七九六十三九上七变四进位削六缘
尚有进位之数仍作○以纪其位而削九存一百○四为不尽之数
不复可分以法命之曰四百六十九之一百○四也以四百六十九
为母数以一百○四为子数法别详】
右尾第二位变六作○缘进位尚有一数须作○以存其位此法切记
若上层除余之数反多于下层除数者或上数与下数相等者定是除法有差【只就除过本位上下相较】亦不必另创第将差者抹去而另注所除数于上层之上另注除数于下层之下又另注除得之数于格右以从简便
【先以二除一十六当用五却误用四是宜多反
少者且如二因四得八六变八削一与六亦削
下首位二嗣以四因八四八三十二八上二变
○进位八变五下削八嗣以四因九四九三十
六九上三变七进位○变六系借除进位五变
四下位削九谛视之则余数反多于分数其数
可知悉抹之而另注原数于上另注除数于下
而用五以除之二五除首位一十五八得四十
进位六变二五九四十五九上三变八进位二
变七又进位二变一再列二八九用六除二六
一十二二上七变五进位削一六八四十八八
上八变○进位五变一六九五十四九上一变
七进位○变四进位削一 再列二八九用一】
右误除乃宜多反少者亦 【除二上四变二八上七变九进位二变一九上】有宜少反多者具后 【四变五进位九变八又列二八九用六除二六
一十二二上八变六进位削一八上五变七进
位六变一六九五十四九上九变五进位七变
二外余一百二十五数以法命之】
六有竒
【此不当用六却误以六除二六一十二二上六
变四进削一次位六八四十八却不足抹削另
起另列二八九于下一六于上而以五分之二
五除一十五八得四十进位六变二余如前式
不差 再列不当用七而误用七二七一十四
二上七变三进削一七八五十六即不足削三
另列一七于上又列用六二六一十二二上七
变五进削一六八四十八八上八变○进位五
变一六九五十四九上一变七进位○变四进
削一不差次用一次用六俱不差】
右式第二次误用七除者首位二七一十四可除次位七八五十六却只得三十八既已误矣傥不知还原如何其法只以下位见除二字与所用七字相乘而加上见乘之三即是还原二七一十四加三得一十七也举此一端以例其余
凡三位四位误分改正俱用此法该进位者照前法进位乘后加之式具后
【先用一除之二上四变二三上○变七进位二变一 次该用七却
误用六二六一十二二上七变五进削一三六一十八三上四变六
进位五变三谛视之余数反多于除数误也欲还原者先以下层三
乗所用六三六一十八加上余数六得二十四知本位还四而以二
寄于进位次以进位下面二乗六二六一十二加上余数三再加原
寄二共得一十七知本位还七进位再还一合正数】
既已还其正数另以七
除之二七一十四二上七变三
进削一三七二十一二上
四变三进位三变一
另列二三用六除之二六
一十二三上三变一进削
一三六一十八削尽
若原数既已除尽或未尽有零而欲试其误否亦用九除七除二法
用九除者只据见积将下层除数除余列左以格右用数除余列右以左右互乘九除余数列上又以原总数除余列下如有未尽零数者于左右乘后并入总除列上与原数除余者相比
除毕 六
无零 七 用数一七六余五列
右除数二三共五列
左乘得五五二十五
九除余七列上原数
四四八以九除亦余
七列下无差
【用数余四列右除数余二列左相乘
得八加上零数一三共得一十二以
九除之余三列上总数九除亦余三
列下相比无差】
用七除者实积细除同前乘法其除数列左用数列右相乘除余列上有零者亦并入乘数列上总数余列下
【用数一百七十六以七除余一列右
除数二十三以七除余二列左左右
相乘一二如二列上又将原数四千
○四十八以七除余二列下正同】
【用数一百九十三以七除余四列右除数二百三十六以
七除余五列左相乘得二十以七除余六若无竒零则纪
六于上是己今有零数一百三十再七除余四并六得一
十以七除余三列三于上又将原数四万五千六百七十
八亦以七除余三列下正合】
又法将除数用数相乘以合原数如竒零不尽者乘后并入假如前式原数四万五千六百七十八者以除数之二百三十六乘用数之一百十三共四万五千五百四十八并入零数之一百三十合原数若归除至半欲订其误照前以除数之减余列左以用数减余列右相乘又取本位以上除賸位【只至已抹本位而止其未除到者不用】亦减之以并所乘列上以抹过原数减余列下相比其九法减见数七法减实积数俱同前【此是用二除过一徧者截至左第四位止试之
用数二列右除数二八九八无余左列○以○乘二无乘
却有零九一三除九余四上列四原数除过四位以九除
亦余四相合】
【用数二列二于右除数二千
八百九十八以七除无余列○于左以二乘○无乘却有
零数九百一十三以七除余三列上其原数已除四位六
千七百○九以七除亦余三相合】
凡除数随上原数逦迤右退至于除数尾位撞遇原数尾位而止此外虽有未除零数总系余分但可以法命之为几分之几以其除数多零数少故也【多者为母少者为子】
若除数尾带 此以三千八
多○而原数 百万而除一
首尾系数中 百三十九亿
叚系○者但 四千六百万
看尾隔几位 零七千八百
用数该几位 九十三数其絫
只须撞尾而 甚多而谛视
止就截去余 尾位相值只
○且尽实数 该以三位除
除讫嗣以余 尽乃姑截去
○加之以法 余○只以三
命之式具下 八而除一三九
四六每各得
三百六十七
其数已穷其
余皆竒零不
尽之数乃于
三八之尾照
位填○为母
以零数为子
命之云
若除数首位数中位○次又有数次又有○者不可便以中○为止务须尽其实数而止惟尾后之○如前法
用四除之 三四一十二
三上三变一 进削一 次
○○皆无可除者故置不论
径除第四位之八 四八
三十二 八上六变四进位
四变一 更列三○○八用
六除之 三六一十八 三
上九变一进削一置○○不
分 六八四十八 八上○
变二 进位四变九 又进
一变○尚余一○九二为不
尽零数乃以除数余○缀除
数之尾为母以原数○七六
九三附零数一○九二之尾
为子是为三亿八十万之一
亿九百二十万七千六百九
十三云
凡除数首位只一其余俱○者不必另寻用数即以原数为用至撞除数尾位而止此外皆系竒零不尽之数
以除数尾寻至原数尾该得
五位除尽亦只自原数首尾
起照取五位为用数其余皆
系小数不能除矣故作零数
首列一除四得四 又列一
除七得七 一除八得八
一除○还○ 一除九得九
若原数余○虽多而实数归除已尽则其数外之○无复可除虽不撞到尾位亦只据未抹○位逐加用数之后如左图
假如有数一亿八千六百三十万而以三百四十五除之每各得五十四万
首用五除 三五一十五 三上八变
五 三进削一 五四得二十进位三○ 变一 五五二十五 五上三变八○ 进位六变三 又列用四除 三四一○ 十二 三上三变一 进削一 四四○ 一十六 四上八变二 进削一 五
四得二十 五上削○ 进削二毕既已除完其余不复可除照○位加于格外用数之右
右加减乘除四法共一卷算学纲
领习熟自精变化之妙详载别卷
同文算指前编卷上
钦定四库全书
同文算指前编卷下
明 李之藻 撰
竒零约法第六
凡数除之不尽者以法命之曰几分之几除数为母【法】列上竒数为子【实】列下
假如列实四十六以七为法除之尚余四是谓七之四余仿此
列位式
若竒零有二项辨其孰多孰寡以子母二数互参母数相同则但据子数
若子数相等母数不等者其母数小子数反大母数大
若子母数俱不等别其多寡者并列以彼此母子互乘得数各注其子数下
有差逺者 有稍差者
有相同者
四之三与八之六同则八之六即四之三
假如欲知何以皆为四分之三但将子母两数立通数乘之且如【八四】之【六三】有六数可以通乘六八四十八六六三十六母系六八子系六六便知【八四】之【六三】即是八之六此系有见成乘法可用者
其积数已多而既难折半又无通数可乘则须另立纽数归除其法以小减大减尽而止以最后减尽数为用以除子母二数其所除得数即是约数
假如四十八之三十二即三之二
于【八四】内减【二三】余【六一】即以【六一】再减【二三】二次尽乃以一十六为纽数以除【八四】得三是母约数以除【二三】得二是子约数
假如六百七十六之四百六十八即一十三之九子减母余二百八以二百八减子数用二转余五十二以五十二减二百八恰尽即以五十二为纽数以除六百七十六得一十三是母约数以除四百六十八得九是子约数【凡以小减大者即系除法数相近名减若大小相逺减几徧者名除】
其以寡减多终不能尽者不复可约只就见数为则以【七四】减【九五】余【二一】 以【二一】减【七四】余【一一】 以【一一】减【二一】余一不尽
以【○二】减【三六】余三 以三减【○二】余二 以二减三余一不尽 以上不尽无纽
竒零并母子法第七
凡两子母数不等须先并母较之以两母相乘得共母数次
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