三乗三位左乗得四百三十二
万而以右【八】乗之得三千四百
五十六万
四乗四位左乗得五万四千而
以右【六一】乗之得八十六万四千
五乗五位左乗得三百六十以
右【二三】乗之得一万一千五百二
十并上五乗积又并右廉所乗
隅法六十四恰尽
右五乗方若以还原则以六十二之数自乗再乗以至五乗
六乗方
假如列实三万五千二百一十六亿一千四百六十万六千二百○八以六乗方开之寻原六为初商除实二万七千九百九十三亿六千万余实七千二百二十二
亿五千四百六十万六
千二百○八数以求廉
法凡六乗方通率叠用
六位为七十为二千一
百为三万五千为三十
五万为二百一十万为
七百万中列而以方法
【六】对尾位【○七】列之又自
乗再乗三乗四乗五乗
自下而上皆列其左
初乗首位左位得数三
千二百六十五亿九千
二百万以较余积约得
二之一以二为廉法对
首位七百万列之亦自
乗再乗三乗四乗五乗
对列于右又以六乗得
一二八为隅法系下而
以首位【二】数乗左乗所
得之数共得六千五百
三十一亿八千四百万
次乗次位左乗得一百
六十三亿二千九百六十
万以右【四】乗之得六百五
十三亿一千八百四十万
三乗三位左乗得四亿五
千三百六十万以右【八】乗
之得三十六亿二千八百
八十万
四乗四位左乗得七百五
十六万以右【六一】乗之得一
亿二千○九十六万
五乗五位左乗得七万五
千六百以右【二三】乗之得二
百四十一万九千二百
六乗六位左乗得四百二
十以右【四六】乗之得二十六
万八千八百并上六乗之
积又并隅法一百二十八
恰尽
右六乗方若以还原则以六十二之数自乗再乗以至六乗
七乗方
假如列实四兆五千九百四十九万七千二百九十八亿六千三百五十七万二千一百六十一数以七乗方开之首位四其原一以一为方法余实三兆五千九百四十九万七千二百九十八亿共求一廉法因方法一数无乗当并下位以较余实而惟首次两数同位为大
数其余小数不足为多寡
且从省只并首次两位开
之【若不相并者以首率八千万较余实试用四为
廉法乗之似可除然次率八乗即浮原数矣试减用
三亦浮原数见后注】此二数并得一
亿○八百万以较余实约
可用三数然缘次乗之六
以乗中列之第二位其数
反浮【初以三乗中首位固可除至次乗六以乗
次位得一亿六千八百万并初乗共四亿有奇反浮
余实】当减用二为廉法自乗
再乗至七乗依式列右凡
乗数多于原数者减法仿
此
初乗以廉二乗八千万得
一亿六千万
再乗以廉再乗数【四】乗二
千八百万得一亿一千二
百万
三乗以廉三乗数【八】乗五
百六十万得四千四百八
十万
四乗以廉四乗数【六一】乗七
十万得一千一百二十万
五乗以廉五乗数【二三】乗五
万六千得一百七十九万
二千
六乗以廉六乗数【四六】乗二
千八百得一十七万九千
二百
七乗以廉七乗数 乗八
十得一万○三百六十八
右并前七乗之积共得三亿二千九百九十八万一千四百四十并入隅法二百五十六以除余积尚剰二千九百五十一万五千六百二亿六千三百五十七万二千一百六十一数再商自首至尾共以一段开之
乃并廉法入方法共一十二为三商之数以对尾位【○八】列于左以自乗再乗三乗四乗五乗六乗悉自下而上对列
一初乗首位左乗得二千八
百六十六万五千四百四
十六亿四千万以较余积
只可一乃以一为廉法乗
无可乗故自乗至七乗皆
只一照式列右其对中末
位之下仍系一为隅法
再乗次位左乗得八十三
万六千○七十五亿五千
二百万
三乗三位左乗得一万三
千九百三十四亿五千九
百二十万
四乗四位左乗得一百四
十五亿一千五百二十万
五乗五位左乗得九千六
百七十六万八千
六乗六位左乗得四十万
三千二百
七乗尾位左乗得九百六
十并七乗之积増入隅法
之一恰尽
右七乗开方若欲还原则以一百二十一数自乗再乗以至七乗
以上开方则例共七乗衍至十乗百乗亦复如是妙在寻原变在通率熟玩自得难以备述
若夫寻原之法固与还原不同还原者依本乗之数以还实积耳寻原者用前列乗图以寻下手方法凡寻原惟平方最易以每段只二位也次则立方亦易以每段只三位也三乗则四位为一段寻原难矣自是而上位置愈多寻原愈难矣然而即平方可求立方之原兼平方立方可以求多乗之原若三乗方者以平方法开之得数又以平方法开之得数即原矣若五乗方者先以平方开之得数乃以立方开之或先以立方开之得数乃以平方开之即原矣若六乗方者作四乗方开二次即得其原若七乗方者作开平方三次即得其原若八乗方者作立方二次即得其原若九乗方者先以平方开一次又以四乗方开之或先以四乗方开一次又以平方开之即得其原若十乗方者作四乗开方三次亦得其原错综变化总由自然进退开阖具有定法孰谓开方诸乗迂逺难冀者乎神而明之从积正负带减加翻巧由心造妙以熟生智者于斯盖不啻思过半也奇零诸乗开方法第十八
凡开方诸法不惟全数可开即奇零之数亦各有法大都皆以寻原为第一义有母数子数俱有原数可用者如平方九之四则以三之二为原以三自乗得九以二自乗得四也如再乗立方【七二】之八亦以三之二为原以三自乗得九再乗得【七二】以二自乗得四再乗得八也又如三乗方【一八】之【六】以三之二为原谓三再乗得【七二】三乗得【一八】谓二再乗得八三乗得【六一】也如五乗方者 之【四六】以三之二为原谓三数以五乗则得 二数以五乗则得【四六】也有二数并列于母不同而亦有原数可用者如四之二与九之八并列依对乘法两母乗得三十六两子乗得一十六是为【六三】之【六一】其平方之原为九之四以四九三十六与夫四四一十六用四为钮数者也有以全数带奇数而亦有原可寻者如有全数二又【七二】之【○一】依化法乃为【七二】之【四六】寻其立方之原为三之四以三再乗为【七二】四再乗为【四六】归其整数即一零三之一也凡有原可寻则可开无原可寻则不可开必命分之母与得分之子各有原则可开若一有原一无原则不可开寻原之术数之多者约之以至于寡如【五四】之【○二】必约之为九之四其开平方之原即三之二也如【一八】之【四二】必约之为【七二】之八其立方之原亦三之二也他如九之六者九有原六无原不可开矣又如【○二】之【一二】者命分数与得分数俱无原不可开矣然则终不可开乎又非也数穷则变变则通虽无原有数之最相近者可借之以为原吾以本数析之又析而相近之原可得也析之之法多取进位平方或析一为十为百立方或析一为百为千数弥多者求弥密其原亦弥近也弥近之数或稍多干所求或稍约于所求然而皆可以为原者也
假如以五数为开平方是为无原而任借【○一】为 之原以自乗得一百以五乗得 虽【○一】不为 之原乃其原之最近者有两数其一为 以【二二】为原【二十二自乗得四百八十四】此近而朒者其一为 以【三二】为原【二十三自乗得五百二十九】此近而盈者何也试以所借【○一】为命分之母以【二二】为得分之子以【○一】之【二二】自乗【此 整二零 之二】得 之 内除四百为四整数而【四八】为 之【四八】夫四零 之【四八】以视二零【○一】之二犹五百与【二二】之比例也试以所借【○一】为母以【三二】为子以【○一】之【三二】自乗【此系整二零二之三】得 之 内除五百为五整数而【九二】为 之【九二】夫五零 之【九二】以视二零【三二】犹五百与【三二】之比例也故【○一】可以为五借也
假如以九数为开立方亦为无原而任借【○一】为 之原【以自乗再乗故】以九乗得 虽九千不以一十为原而其近原者亦有两数一为 以【○二】为原【自乗再乗】此近而朒者一为九二六一以【一二】为原【自乗再乗】此近而盈者则何也试以【○一】为母【○一】之【○二】系整二数以自乗再乗即得【○一】之八试以【○一】为母【○一】之【一二】系整二数零【○一】之一以自乗再乗即得九零 之 也【母一十自乗得一百再乗得一千子整二化二十并入一仍二十一自乗得四百四十一再乗得九千二百六十一以九千归元得整九余为一千之二六一】故【○一】可以为九借也
假如列实【○四】以四乗方开之为无原任借一数为【○一】以自乗至四乗得一十万以【○一】乗之得四百万用前法推衍其原之近者有两数其一为【○二】其一为【一二】何也以【○一】为【○二】之母此【○一】之【○二】系整二数以二自乗再乗三乗四乗为【○一】之【二三】以视【○四】其近而朒者以【○一】为【一二】之母此【○一】之【一二】系整二数零【○一】之一以二零【○一】之一自乗再乗【化整数并子法如前母四乗得一十万子自乗再乗得九千二百六十一】三乗四乗得整四十数零一十万之八万四千二百○一【二十一以三乗得一十九万四千四百八十一以四乗得四百○八万四千二百○一内以四百万还元得整四十数其零为八四二○一】以视四十其近而盈者故【○一】可以为【○四】借也以上三论姑借【○一】见例若进至百千万数其数弥多其析愈精则原愈近矣
同文算指通编卷八
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