戊乙上两直角方形并等【一卷四七】即丙戊偕戊丁矩内直角形及已戊上直角方形并与已戊戊乙上两直角方形并亦等矣次每减同用之已戊上直角方形则所存丙戊偕戊丁矩内直角形不与戊乙上直角方形等乎戊乙与甲戊既等即甲戊偕戊乙矩内直角形与丙戊偕戊丁矩内直角形亦等次论曰若丙丁任分甲乙线于戊即以甲乙线两平分于庚次于庚已已乙各作直线相联即已庚为甲乙之垂线而成两直角【本篇三】其丙戊偕戊丁矩内直角形及巳戊上直角方形并与等已丁之已乙上直角方形等【二卷五】而已戊上直角方形与已
庚庚戊上两直角方形并等【一卷四七】已乙上直角方形与已庚庚乙上两直角方形并亦等则丙戊偕戊丁矩内直角形及已庚庚戊上两直角方形并与已庚庚乙上两直角方形并等次每减同用之已庚上直角方形即所存丙戊偕戊丁矩内直角形及庚戊上直角方形不与庚乙上直角方形等乎夫甲戊偕戊乙矩内直角形及庚戊上直角方形并亦与庚乙上直角方形等【二卷五】此二相等率者每减同用之庚戊上直角方形则丙戊偕戊丁与甲戊偕戊乙两矩内直角形等矣
后论曰圜内两线俱不过心者又有二种或一线平分或两俱任分皆从已心与戊相聨作直线引长之为庚辛线依上论甲戊偕戊乙矩内直角形不论甲乙线平分任分皆与过心之庚戊偕戊辛矩内直角形等又依上论丙戊偕戊丁矩内直角形
不论丙丁线平分任分亦与过心之庚戊偕戊辛矩内直角形等则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等
第三十六题
圜外任取一防从防出两直线一切圜一割圜其割圜之全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方形等
解曰甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙线切圜于乙【本篇十七】作丁甲线截圜界于丙题言甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等
先论丁甲过戊心者曰试作乙戊线为丁乙之垂线【本篇十八】其甲丙线平分于戊又引出一丙丁线即甲丁偕丙丁矩内直角形
及等戊丙之戊乙上直角方形并与戊丁上直角方形等【二卷六】而戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等【一卷四七】即甲丁偕丙丁矩内直角形及戊乙上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等此两率者每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等
后论丁甲不过戊心者曰试
以甲丙线两平分于已次从
戊心作戊已戊丙戊丁戊乙
四线即戊乙为丁乙之垂线【本篇十八】戊已为甲丙之垂线【本篇三】其甲丙线既两平分于已又引出一丙丁线即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙上直角方形并与已丁上直角方形等【二卷六】次每加一戊已上直角方形即甲丁偕丁丙矩内直角形及已丙戊已上两直角方形并与己丁戊己上两直角方形并等夫己丙戊己上两直角方形并与等戊丙之戊
乙上直角方形等【一卷四七】而戊丁上直角方形与己丁戊己上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形与戊丁上直角方形等矣又戊丁上直角方形与戊乙丁乙上两直角方形并等即甲丁偕丁丙矩内直角形及戊乙上直角方形并与戊乙丁乙上两直角方形并等次每减同用之戊乙上直角方形则所存甲丁偕丁丙矩内直角形与
丁乙上直角方形等
一系若从圜外一防作数线至规内各全线偕规外线矩内直角形俱等如从甲作
甲丙甲丁甲戊各线截圜界于己于庚于辛其甲丙偕己甲甲丁偕庚甲甲戊偕辛甲各矩内直角形俱等何者试作甲乙切圜线则各矩线内直角形与甲乙上直角方形俱等故【本题】
二系从圜外一防作两直线切圜此两线等如甲防作甲乙甲丙两切圜线即甲丙与甲乙等何者试从甲作甲丁线截圜界
于戊其甲乙甲丙上两直角方形各与甲丁偕甲戊矩内直角形等【本题】则此两直角方形自相等
三系从圜外一防止可作两直线切圜若言从甲既作甲乙甲丙两线切圜又可作甲丁线亦切圜令从戊心作戊乙戊丁两
线即甲乙戊为直角而甲丁戊亦宜等为直角【本篇十八】试作甲戊直线则甲乙戊角形内有甲丁戊角应大于甲乙戊角【一卷廿一】安得为直角也又甲乙甲丁若俱切圜即两线宜等【本题二系】试作甲戊线截圜于己则甲丁为近己线甚小当小于逺己之甲乙线【本篇八】又安得相等也故一防上止可作切圜线两也
第三十七题
圜外任于一防出两直线一至规外一割圜至规内而割圜全线偕割圜之规外线矩内直角形与至规外之线上直角方形等则至规外之线必切圜
解曰甲乙丙圜其心戊从丁防作丁乙至规外之线遇圜界于乙又作丁甲割圜至规内之线而截圜界于丙其丁甲偕丁丙矩内直角形与丁乙上直角方形等题言丁乙为切圜线论曰试从丁作丁己线切圜于己【本篇十七】次作戊乙戊己两线相联若丁甲不过戊心者又作丁戊直线其丁己上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形等【本篇卅六】而丁乙
上直角方形与丁甲偕丁丙矩内直角形亦等则丁乙丁己上两直角方形自相等而丁乙丁己两线亦等夫丁乙戊角形之丁乙乙戊与丁己戊角形之丁己己戊各两腰等丁戊同底即两角形之三角各等【一卷八】而对丁戊底之丁己戊为直角【本篇十八】即丁乙戊亦直角故丁乙为切圜线【本篇十六之系】
几何原本卷三
钦定四库全书
几何原本卷四之首
西洋利玛窦译
界说七则
第一界
直线形居他直线形内而此形之各角切他形之各邉为形内切形
此卷将论切形在圜之内外及作圜在形之内外故解形之切在形内及切在形外者先以直线形为例如前图丁戊己角形之丁戊己三角切甲乙丙角形之甲乙乙丙丙甲三邉则丁戊己为甲乙丙之形内切形如后图癸子丑角形虽癸子两角切庚辛壬角形之庚辛壬庚两邉而丑角不切辛壬邉
则癸子丑不可谓庚辛壬之形内切形
第二界
一直线形居他直线形外而此形之各邉切他形之各角为形外切形
如第一界图甲乙丙为丁己戊之形外切形 其余各形仿此二例
第三界
直线形之各角切圜之界为圜内切形
甲乙丙形之三角各切圜界于甲于乙于丙是也
第四界
直线形之各邉切圜之界为圜外切形
甲乙丙形之三邉切圜界于丁于己于戊是也
第五界
圜之界切直线形之各邉为形内切圜
同第四界图
第六界
圜之界切直线形之各角为形外切圜
同第三界图
第七界
直线之两界各抵圜界为合圜线
甲乙线两界各抵甲乙丙圜之界为合圜线若丙抵圜而丁不至及戊之两俱不至不为合圜线
几何原本卷四之首
钦定四库全书
几何原本卷四
西洋利玛窦撰
第一题
有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线法曰甲乙丙圜求作合线与所设丁线等其丁线不大于圜之径线【径为圜内之最大线更大不可合见三卷十五】先作甲乙圜径为乙丙若乙丙与
丁等者即是合线若丁小于径者即于乙丙上截取乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等何者甲乙与乙戊等则与丁等
第二题
有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角
法曰甲乙丙圜求作圜内三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先作庚辛线切圜于甲【三卷十七】次作庚甲乙角与设形之己角等次作辛甲丙角与设形之戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设丁戊己形等角论曰甲丙乙与庚甲乙两角等甲乙丙与
辛甲丙两角亦等【三卷卅二】而庚甲乙辛甲丙两角既与所设己戊两角各等即甲丙乙甲乙丙亦与己戊各等而乙甲丙必与丁等【一卷卅二】则三角俱等
第三题
有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角
法曰甲乙丙圜求作圜外三角切形其三角与所设丁戊己形之三角各等先于戊己一邉引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚等次作乙壬丙角与丁己辛等末于甲乙丙上作
癸子子丑丑癸三垂线此三线各切圜于甲于乙于丙【三卷十六之系】而相遇于子于丑于癸【若作甲丙线郎癸甲丙癸丙甲两角小于两直角而子癸丑癸两线必相遇余二仿此】此癸子丑三角与所设丁戊己三角各等
论曰甲壬乙子四邉形之四角与四直角等【一卷卅二题内】而壬甲子壬乙子两为直角即甲壬乙甲子乙两角并等两直角彼丁戊
庚丁戊己两角并亦等两直角【一卷十三】此二等率者每减一相等之丁戊庚甲壬乙则所存丁戊己与甲子乙等依显丑角与丁己戊等则癸与丁亦等【一卷卅二】而癸子丑与丁戊己两形之各三角俱等
第四题
三角形求作形内切圜
法曰甲乙丙角形求作形内切圜先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分之【一卷九】作乙丁丙丁两直线相遇于丁次自丁至角形之三邉各作垂线为丁己丁庚丁戊其戊丁乙角形
之丁戊乙丁乙戊两角与乙丁己角形之丁己乙丁乙己两角各等乙丁同邉即丁戊丁己两邉亦等【一卷廿六】依显丁丙己角形与丁庚丙角形之丁己丁庚两邉亦等即丁戊丁己丁庚三线俱等末作圜以丁为心戊为界即过庚己为戊庚己圜而切角形之甲乙乙丙丙甲三邉于戊于己于庚【三卷十六之系】此为形内切圜
第五题
三角形求作形外切圜
法曰甲乙丙角形求作形外切圜先平分两邉【若形是直角钝角则分直角钝角之两旁邉】于丁于戊次于丁戊上各作垂线为己丁己戊而相遇于己【若自丁至戊作直线即己丁戊角形之己丁戊己戊丁两角小于两直角故丁己戊己两线必相遇】其己防或在形内或在形外俱作己甲己乙己丙三线或在乙丙邉上止作己甲线其甲丁己角形之甲丁与乙丁己角形之乙丁两腰等丁己同腰而丁之两旁角俱直角即甲己己乙两底必等【一卷四】依显甲己戊丙己戊两形之甲己己丙两底亦等则己甲己乙己丙三线俱等末作圜以己为心甲
为界必切丙乙而为角形之形外切圜
一系若圜心在三角形内即三角形为锐角形何者每角在圜大分之上故若在一邉之上即为直角形若在形外即为钝角形
二系若三角形为锐角形即圜心必在形内若直角形必在一邉之上若钝角形必在形外
増从此推得一法任设三防不在一直线可作一过三防之圜其法先以三防作三直线相联成三角形次依前作
其同法甲乙丙三防先以甲乙两防
各自为心相向各任作圜分令两圜
分相交于丁于戊次甲丙两防亦如
之令两圜分相交于己于庚末作丁
戊己庚两线各引长之令相交于辛即辛为圜之心 论见三卷二十五增
第六题
有圜求作内切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作内切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于
戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即甲乙丙丁为内切圜直角方形
论曰甲乙戊角形之甲戊与乙戊丙角形之戊丙两腰等乙戊同腰而腰间角两为直角即其底甲乙乙丙等【一卷四】依显乙丙丙丁亦等则四邉形之四邉俱等而甲乙丙丁四角皆在半圜分之上又皆直角【三卷卅一】是为内切圜直角方形
第七题
有圜求作外切圜直角方形
法曰甲乙丙丁圜其心戊求作外切圜直角方形先作甲丙乙丁两径线以直角相交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两
径之垂线而相遇于己于辛于壬于庚即己庚壬辛为外切圜直角方形
论曰甲戊乙己乙戊既皆直角即己辛甲丙平行【一卷廿八】依显甲丙庚壬亦平行则己庚辛壬亦平行【一卷三十】又甲丙辛己既直角形即甲丙己辛必等【一卷卅四】而甲丙辛甲己辛两角亦等甲丙辛既直角即甲己辛亦直角依显庚壬辛亦直角而辛壬壬庚庚己三邉俱等于甲丙乙丁两径既四邉俱等于两径则己庚壬辛为直角方形而四邉各切圜【三卷十六之系】
第八题
直角方形求作形内切圜
法曰甲乙丙丁直角方形求作形内切圜先以四邉各两平分于戊于己于庚于辛而作
辛己戊庚两线交于壬其甲丁与乙丙既平行相等即半减线之甲辛乙己亦平行相等而甲乙与辛己亦平行相等【一卷卅三】依显丁丙与辛己亦平行相等甲丁乙丙戊庚俱平行相等而甲壬乙
壬丙壬丁壬四俱直角形壬戊壬己壬庚壬辛四线与甲辛戊乙丁辛甲戊四线各等夫甲辛戊乙丁辛甲戊各为等线之半即与之等者壬戊壬己壬庚壬辛亦自相等次作圜以壬为心戊为界必过己庚辛而切甲丁丁丙丙乙乙甲四邉
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
