甲与乙也丙几何与丁几何为比例即必
有彼几何如戊与此几何丙为比例若丙与丁也此理推广无碍于理有之不必举其率也举率之理备见后卷
几何原本卷五之首
钦定四库全书
几何原本卷五
西洋利玛窦撰
第一题
此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率
解曰如甲乙丙丁此二几何大于戊己彼二几何各若干倍题言甲乙丙丁并大于戊己并亦若干倍
论曰如甲乙与丙丁既各三倍大于戊与己即以甲乙三分之各与戊等为甲庚庚辛辛乙又以丙丁三分之各与己等为丙壬壬癸癸丁即甲乙与丙丁所分之数等而甲庚既与戊等丙壬既与己等既于甲庚加丙壬于
戊加己其甲庚丙壬并与戊己并必等依显庚辛壬癸并辛乙癸丁并与戊己并各等夫甲乙与丙丁之分三合于戊己皆等【本卷界説二】则甲乙丙丁并三倍大于戊己并
第二题
六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数解曰一甲乙倍二丙之数如三丁戊倍四己之数又五乙庚倍二丙之数如六戊辛倍四己之数题言一甲乙五乙庚并倍二丙之数若三丁戊六戊辛并倍四己之数
论曰甲乙丁戊之倍于丙己其数等则甲乙几何内有丙几何若干与丁戊几何内
有己几何若干其数亦等【本卷界説二】依显乙庚丙有丙若干与戊辛内有己若干亦等次于甲乙丁戊两等数率每加一等数之乙庚戊辛率则甲庚丁辛两几何内之分数等而一五并之甲庚内有二丙若干与三六并之丁辛内有四己若干亦等
注曰若第一第三两几何之数与第二第四两几何之数各等而第五倍第二之数等于第六倍第四之数或第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五第二两几何之数与第六第四两几何
之数各等俱同本论如上二
图甲庚为第一第五之并率
其倍二丙之数与丁辛为第
三第六之并率其倍四己之数等也【甲庚内有丙若干与丁辛内有己若干等故同理】他若第一第三两几何之数第五第六两几何之数与第二第四两几何之数各等此理更明何者第一第五并之倍第二若第三第六并之倍第四俱两倍故
第三题
四几何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次倍第一又倍第三其数等则第一所倍之与第二若第三所倍之与第四
解曰一甲所倍于二乙若三丙所倍于四丁次作戊己两几何同若干倍于甲于丙题言以平理推戊倍乙之数若己倍丁论曰戊与己之倍甲与丙其数既等试以戊作若干分各与甲等为戊庚庚辛辛壬次分己亦如之为己癸癸子子丑即戊内有甲若干与己内有丙若干等
【本卷界説二】夫戊庚与甲己癸与丙既等而甲之倍乙与丙之倍丁又等则戊庚倍乙若己癸倍丁也依显庚辛辛壬各所倍于乙若癸子子丑各所倍于丁也夫一戊庚之倍二乙既若三己癸之倍四丁而五庚辛之倍二乙亦若六癸子之倍四丁则一戊庚五庚辛并之倍二乙若三己癸六癸子并之倍四丁也【本篇二】又一戊辛之倍二乙既若三己子之倍四丁而五辛壬之倍二乙亦若六子丑之倍四丁则一戊辛五辛壬并之倍二乙若三己子六子丑并之倍四丁也辛壬子丑以上任作多分皆仿此论
第四题【其系爲反理】
四几何其第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例亦等觧曰甲与乙偕丙与丁比例等次作戊与己同任若干倍于一甲三丙别作庚与辛同任若干倍于二乙
四丁题言一甲
所倍之戊与二
乙所倍之庚偕
三丙所倍之己
与四丁所倍之
辛比例亦等
论曰试以戊己二防何同任倍之为壬为癸别以庚辛同任倍之为子为丑其戊之倍甲既若己之倍丙而壬之倍戊亦若癸之倍己即壬之倍甲亦若癸之倍丙也【本篇三】依显子之倍乙亦若丑之倍丁也夫甲与乙偕丙与丁之比例既等而壬癸所倍于甲丙子丑所倍于乙丁各等即三试之若倍甲之壬小于倍乙之子则倍丙之癸亦小于倍丁之丑矣若壬子等即癸丑亦等矣若壬大于子即癸亦大于丑矣【本卷界説六】夫戊己之倍为壬癸也庚辛之倍为子丑也不论防许倍其等大小三试之恒如是也则一戊所倍之壬与二庚所倍之子偕三己所倍之癸与四辛所倍之丑等大小皆同类也而戊与庚偕己与辛之比例必等【本卷界説六】
一系凡四防何第一与二偕第三与四比例等即可反推第二与一偕第四与三比例亦等何者如上倍甲之壬与倍乙之子偕倍丙之癸与倍丁之丑等大小俱同类而显甲与乙若丙与丁即可反説倍乙之子与倍甲之壬偕倍丁之丑与倍丙之癸等大小俱同类而乙与甲亦若丁与丙【本卷界説六】
二系别有一论亦本书中所恒用也曰若甲与乙偕两与丁比例等则甲之或二或三倍与乙之或二或三倍偕丙之或二或三倍与丁之或二或三倍比例俱等仿此以至无穷
第五题
大小两防何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍于彼全截取之分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之
解曰甲乙大防何丙丁小防何甲乙所倍于丙丁若甲乙之截分甲戊所倍于丙丁之截分丙己题言甲戊之分余戊乙所倍于丙巳之分余巳丁亦如其数
论曰试作一他防何为庚丙今戊巳之倍庚丙若甲戊之倍丙巳也【本卷界説増】甲戊戊乙之倍丙巳庚丙其
数等即其两并甲乙之倍庚巳亦若 【甲】戊之倍丙巳也【本篇一】而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙己则丙丁与庚己等也次毎减同用之丙巳即庚丙与巳丁亦等而戊乙之倍巳丁亦若戊乙之倍庚丙矣夫戊乙之倍庚丙既若甲戊之倍丙己则戊乙为甲戊之分余所倍于巳丁为丙巳之分余者亦若甲乙之倍丙丁也
又论曰试作一他防何为庚甲令庚甲之
倍己丁若甲戊之倍丙巳【本説界説二十】即其两并庚戊之倍丙丁亦若甲戊之倍丙巳也【本篇一】而甲乙之倍丙丁元若甲戊之倍丙巳是庚戊与甲乙等矣次毎减同用之甲戊即庚甲与戊乙等也而庚甲之倍己丁若甲乙之倍丙丁也则戊乙之倍巳丁亦若甲乙之倍丙丁也
第六题
此两防何各倍于彼两防何其数等于此两防何毎减一分其一分之各倍于所当彼防何其数等则其分余或各与彼防何等或尚各倍于彼防何其数亦等觧曰甲乙丙丁两防何各倍于戊巳两防何其数等毎减一甲庚丙辛甲庚丙辛之倍戊巳其数等题言分余庚乙辛丁或与
戊巳等或尚各倍于戊巳其数亦等
论曰甲乙全与其分甲庚既各多倍于戊则分余庚乙与戊其或等或尚防倍必矣何者庚乙与戊不等不防倍其加于甲庚不成为戊之多倍也然则庚乙与戊等曷为辛丁与巳亦等试作壬丙与己等其一甲庚之倍二戊既若
三丙辛之倍四己而五庚乙之等二戊又若六壬丙之等四巳则第一第五并之甲乙所倍于二戊若第三第六并之壬辛所倍于四巳也【本篇二】而甲乙之倍戊元若丙丁之倍己即壬辛与丙丁亦等次毎减同用之丙辛
即壬丙与辛丁必等是辛丁与己亦等矣然则庚乙之倍戊曷为与辛丁之倍己等试作壬丙其倍己若庚乙之倍戊依前论甲乙之倍戊若壬辛之倍己【本篇二】而壬辛与丙丁等壬丙与辛丁亦等是辛丁之倍己亦若庚乙之倍戊矣
第七题【二支】
此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等
解曰甲乙两几何等彼几何丙不论等大小于甲乙题言甲与丙偕乙与丙各为比例必等又反上言丙与甲偕丙与乙各为比例亦等
论曰试作丁戊两率任同若干倍于甲乙即丁与戊等别作己任若干倍于丙其丁戊既等即丁视己与戊视己或等或大或小必同类矣夫一甲三乙所倍之丁戊偕
当二又当四之丙所倍之己其等大小既同类【本卷界説六】则一甲与二丙之比例若三乙与四丙矣反説之当一当三之丙所倍之己偕二甲四乙所倍之丁戊其等大小既同类则一丙与二甲之比例若三丙与四乙矣
后论与本篇第四题之系同用反理如甲与丙若乙与丙反推之丙与甲亦若丙与乙也
第八题
大小两几何各与他几何为比例则大与他之比例大于小与他之比例而他与小之比例大于他与大之比例解曰不等两几何甲乙大丙小又有他几何丁不论等大小于甲乙于丙题言甲乙与丁之比例大于丙与丁之比例又反上言丁与丙之比例大于丁与甲乙之比例
论曰试于大几何甲乙内分甲戊与小几何丙等而戊乙为分余次以甲戊戊乙作同若干倍之辛庚庚己而庚己为戊乙之倍必令大于丁辛庚为甲戊之倍必令大于丁或等于丁若不足以倍加之也其庚己辛庚之倍于戊乙甲戊既等即辛己之倍甲乙若辛庚之倍甲戊矣【本篇一】甲戊即丙也次作一壬癸为丁之倍令
仅大于辛庚两倍不足三之又不足任加之己大勿倍也次于壬癸截取子癸与丁等即壬子必不大于辛庚何者向作壬癸为丁之倍元令仅大于辛庚若壬子大于辛庚者何必又倍之为壬癸也故仅大之壬癸截去子癸者必不大于辛庚也则壬子或等或小于辛庚矣夫庚己既大于丁而子癸与丁等即庚己必大于子癸又辛庚不小于壬子【或大或等】即辛己亦大于壬癸也夫辛己辛庚同若干倍于第一甲乙第三丙也而壬癸之倍于当二之丁当四之丁又同一率也则第一所倍之辛己大于第二所倍之壬癸而第三所倍之辛庚不大于第四所倍之壬癸【辛庚元小于壬癸】是一甲乙与二丁之比例大于三丙与四丁矣【本卷界説八】次反上説一丁所倍之壬癸【反説则丁当一当三丙二甲乙四】大于二丙所倍之辛庚而三丁所倍之壬癸不大于四甲乙所倍之辛己【壬癸必小于辛己】是一丁与二丙之比例大于三丁与四甲乙矣【本卷界説八】
第九题【二支】
两几何与一几何各为比例而等则两几何必等一几何与两几何各为比例而等则两几何亦等
先解曰甲乙两几何各与丙为比例等题言甲与乙等
论曰如云不然而甲大于乙即甲与丙之比例
宜大于乙与丙【本篇八】何先设两比例等也故比例等则甲与乙等
后解曰丙几何与甲与乙各为比例等题言甲与乙等论曰如云不然而甲大于乙即丙与乙之比例宜大于丙与甲【本篇八】何先设两比例等也
第十题【二支】
彼此两几何此几何与他几何之比例大于彼与他之比例则此几何大于彼他几何与彼几何之比例大于他与此之比例则彼几何小于此
先解曰甲乙两几何复有丙几何甲与丙之比例大于乙与丙题言甲大于乙
论曰如云不然甲与乙等即所为两比例宜等
【本篇七】何先设甲与丙大也又不然甲小于乙即乙与丙之比例宜大于甲与丙【本篇八】何先设甲与丙大也后解曰丙与乙之比例大于丙与甲题言乙小于甲论曰如云不然乙与甲等即所为两比例宜等【本篇七】何先设丙与乙大也又不然乙大于甲即丙与甲之比例宜大于丙与乙何先设丙与乙
大也
第十一题
此两几何之比例与他两几何之比例等而彼两几何之比例与他两几何之比例亦等则彼两几何之比例与此两几何之比例亦等
解曰甲乙偕丙丁之比例各与戊己之比例等题言甲乙与丙丁之比例亦等论曰试于各前率之甲丙戊同任倍之为庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之为癸子丑其一甲与二乙之比例既若三戊与四己即三试之若倍一甲之庚小于倍二乙之癸即倍三戊之壬亦小于倍四己之丑矣若庚癸等即壬丑亦等若庚大于癸即壬亦大于丑矣【本卷界説六】依显壬之
视丑若辛之视子其等大小亦同类矣此三前三后率任作几许倍其等大小皆同类也【本卷界説六】则甲与乙之比例若丙与丁也
第十二题
数几何所为比例皆等则并前率与并后率之比例若各前率与各后率之比例
解曰甲乙丙丁戊己数几何所为比例皆等者甲与乙若丙与丁丙与丁若戊与己也题言甲丙戊诸前率并与乙丁己诸后率并之比例若甲与乙丙与丁戊与己各前各后之比例也
论曰试于各前率之甲丙戊同任倍之为庚辛壬别于各后率之乙丁己同任倍之为癸子丑即庚辛壬并之倍甲丙戊并若庚之倍甲也癸子丑并之倍乙丁己并若癸之倍乙也【本篇一】夫一甲与二乙既若三
丙与四丁又若三戊与四己则庚之倍一甲与癸之倍二乙或等或大或小偕辛壬之倍三丙戊与子五之倍四丁己等大小同类也又各前所倍庚辛壬并与各后所倍癸子丑并其或等或大或小亦偕各前所自倍与各后所自倍其等大小必同类也【本卷界説六】则一甲与二乙之比例若三甲丙戊并与四乙丁
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