甲丁与二丁乙既若三丙己与四己戊而一与三二与四各所倍等即三试之若一甲丁所倍之庚辛小于二丁乙所倍之壬寅即三丙己所倍之癸子亦小于四己戊所倍之丑卯也若等亦等若大亦大也【本卷界説六】如庚辛小于壬寅而癸子亦小于丑卯即每加一辛壬子丑其所并庚壬亦小于辛寅而癸丑亦小于子卯矣依显庚辛等壬寅而癸子等丑卯即庚壬等辛寅而癸
丑等子卯矣庚辛大于壬寅而癸子大于丑卯即庚壬大于辛寅而癸丑大于子夘矣夫一甲乙所倍之庚壬与二丁乙所倍之辛寅偕三丙戊所倍之癸丑与四己戊所倍之子夘其等大小皆同类则甲乙与丁乙若丙戊与己戊也【本卷界説六】
第十九题【其系为转理】
两几何各截取一分其所截取之比例与两全之比例等则分余之比例与两全之比例亦等
解曰甲乙丙丁两几何其甲乙全与丙丁全之比例若截取之甲戊与丙己题言分余戊乙与己丁之比
例亦若甲乙与丙丁
论曰甲乙与丙丁既若甲戊与丙己试更之甲乙与甲戊若丙丁与丙己也【本篇十六】次分之戊乙与甲戊若己丁与丙己也【本篇十七】又更之戊乙与己丁若甲戊与丙己也【本篇十六】夫甲戊与丙己元若甲乙与丙丁则戊乙与己丁亦若甲乙与丙
丁矣
一系从此题可推界説第十六之转理如上甲乙与戊乙若丙丁与己丁即转推甲乙与甲戊若丙丁与丙己也何者甲乙与戊乙既若丙丁与己丁试更之甲乙与丙丁若截取之戊乙与己丁也【本篇十六】即甲乙全与丙丁全又若分余之甲戊与丙己矣【本题】又更之则甲乙与甲戊若丙丁与丙己也【本篇十六】此转理也注曰凡更理可施于同类之比例不可施于异类若转理不论同异类皆可用也依此系即转理亦頼更理为用似亦不可施于异类矣今别作一论不頼更理以为转理明转理可施于异类也论曰甲乙与丙乙若丁戊与己戊即转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己何者甲乙与丙乙既若丁戊与己戊试分之甲丙与丙乙若丁己与
己戊也【本篇十七】次反之丙乙与甲丙若己戊与丁己也【本篇四】次合之甲乙与甲丙若丁戊与丁己也【本篇十八】
第二十题【三支】
有三几何又有三几何相为连比例而第一几何大于第三则第四亦大于第六第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
先解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何其甲与乙之比例若丁与戊乙与丙之比例若戊与己而甲大于丙题言丁亦大于己论曰甲既大于丙即甲与乙之比例大于
丙与乙矣【本篇八】而甲与乙之比例若丁与戊即丁与戊之比例亦大于丙与乙矣【本篇十三】又丙与乙之比例若己与戊【乙与丙若戊与己反之则丙与乙若己与戊】即丁与戊之比例大于己与戊矣是丁大于己也【本篇十】
次解曰若甲丙等题言丁己亦等
论曰甲丙既等即甲与乙之比例若丙与乙矣【本篇七】而甲与乙之比例若丁与戊即丁与戊之比例亦若丙与乙矣【本篇十一】又丙
与乙之比例若己与戊【反理】即丁与戊之比例亦若己与戊矣是丁己等也【本篇九】
后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙之比例小于丙与乙矣【本篇八】而甲与乙之比例若丁与戊即丁与戊之比例亦小于丙与乙矣又
丙与乙之比例若己与戊【反理】即丁与戊之比例小于己于戊矣是丁小于己也【本篇十】
第二十一题【三支】
有三几何又有三几何相为连比例而错以平理推之若第一几何大于第三则第四亦大于第六若第一或等或小于第三则第四亦等亦小于第六
解曰甲乙丙三几何丁戊己三几何相为连比例不序不序者甲与乙若戊与己乙与丙若丁与戊也以平理推之若甲大于
丙题言丁亦大于己
论曰甲既大于丙即甲与乙之比例大于丙与乙【本篇八】而甲与乙若戊与己即戊与己之比例亦大于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本篇四】则戊与己大于戊与丁也是丁大于己也【本篇二十】
次解曰若甲丙等题言丁己亦等
论曰甲丙既等即甲与乙之比例若丙与乙【本篇七】而甲与乙若戊与己即丙与乙之
比例亦若戊与己也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙亦若戊与丁也【本篇四】则戊与己若戊与丁也是丁己等也【本篇九】
后解曰若甲小于丙题言丁亦小于己论曰甲既小于丙即甲与乙之比例小于丙与乙【本篇八】而甲与乙若戊与己即戊与
己之比例小于丙与乙也又乙与丙既若丁与戊反之即丙与乙若戊与丁【本篇四】则戊与己小于戊与丁也是丁小于己也【本篇十】
第二十二题【平理之序】
有若干几何又有若干几何其数等相为连比例则以平理推
解曰有若干几何甲乙丙又
有若干几何丁戊己而甲与
乙之比例若丁与戊乙与丙
之比例若戊与己题言以平
理推之甲与丙之比例若丁
与己
论曰试以甲与丁同任倍之为庚为辛别以乙与戊同任倍之为壬为癸别以丙与己同任倍之为子为丑其一甲与二乙既若三丁与四戊即倍甲之庚与
倍乙之壬若倍丁之辛与倍
戊之癸也【本篇四】依显一乙与
二丙既若三戊与四己即倍
乙之壬与倍丙之子若倍戊
之癸与倍己之丑也是庚壬
子三几何辛癸丑三几何又相为连比例矣次三试之若庚大于子即辛必大于丑也【本篇二十】若等亦等者小亦小也则倍一甲之庚倍三丁之辛与倍二丙之子倍四己之丑等大小皆同类也是甲与丙若丁与己也【本卷界説六】其几何自三以上如更有丙与寅若己与卯亦依显甲与寅若丁与卯也何者上既显甲与丙若丁与己而今称丙与寅若己与卯即以甲丙寅作三几何以丁己卯作又三几何相为连比例依上推论亦得甲与寅之比例若丁与夘也自四以上可至无穷依此推显
第二十三题【平理之错】
若干几何又若干几何相为连比例而错亦以平理推
解曰甲乙丙若干几何丁戊
己若干几何相为连比例而
错者甲与乙若戊与己乙与
丙若丁与戊也题言以平理
推之甲与丙之比例亦若丁与己
论曰试以甲乙丁同任倍之为庚辛壬别以丙戊己同任倍之为癸子丑即甲与乙若所自倍之庚与辛
【本篇十五】而甲与乙既若戊与己
即庚与辛亦若戊与己【本篇十一】戊与己又若所自倍之子与
丑即庚与辛亦若子与丑【本篇】
【十一】依显一乙与二丙既若三丁与四戊即倍一乙之辛与倍二丙之癸若倍三丁之壬与倍四戊之子也【本篇四】是庚辛癸三几何壬子丑三几何又相为连比例而错矣次三试之若庚大于癸即壬亦大于丑若等亦等若小亦小【本篇廿一】则一甲三丁所倍之庚壬与二丙四己所倍之癸丑等大小皆同类也是一甲与二丙若三丁与四己【本卷界说六】如三以上既有甲与乙若己与夘乙与丙若戊与己又有丙与寅若丁与戊亦显甲与寅若丁与卯何者依上论先显甲与丙若戊与夘次丙与寅又若丁与戊即以甲丙寅作三几何丁戊夘作又三几何相为连比例而错依上论亦得甲与寅若丁与夘四以上悉依此推显
第二十四题
凡第一与二几何之比例若第三与四几何之比例而第五与二之比例若第六与四则第一第五并与二之比例若第三第六并与四
解曰一甲乙与二丙之比例若三丁戊与四己而五乙庚与二丙若六戊辛与四己题言一甲乙五乙庚并与二丙若三丁戊六戊辛并与四己论曰乙庚与丙既若戊辛与己反之丙与乙庚若己与戊辛也【本篇四】又甲乙与丙既若丁戊与
己而丙与乙庚亦若己与戊辛平之甲乙与乙庚若丁戊与戊辛也【本篇廿二】又合之甲庚全与乙庚若丁辛全与戊辛也【本篇十八】夫甲庚与乙庚既若丁辛与戊辛而乙庚与丙亦若戊辛与己平之甲庚与丙若丁辛与己矣【本篇廿二】
注曰依本题论可推广第六题之义作后増题【第六题言几倍后增题不止言倍其义稍广矣】
増题此两几何与彼两几何比例等于此两几何每截取一分其截取两几何与彼两几何比例等则分余两几何与彼两几何比例亦等
解曰如上圗甲庚丁辛此两几何与丙己彼两几何比例等者甲庚与丙若丁辛与己也题言截取之甲乙与丙若丁戊与己则分余之乙庚与丙亦若戊辛与己
论曰甲乙与丙既若丁戊与己即反之丙与甲乙若己与丁戊也【本篇四】又甲庚与丙既若丁辛与己而丙与甲乙亦若己与丁戊即平之甲庚与甲乙若丁辛与丁戊也【本篇廿二】又分之乙庚与甲乙若戊辛与丁戊也【本篇十七】夫乙庚与甲乙既若戊辛与丁戊而甲乙与丙若丁戊与己
即平之若戊辛与己也【本篇廿三】
第二十五题
四几何为断比例则最大与最小两几何并大于余两几何并
解曰甲乙与丙丁之比例若戊与己甲乙最大己最小题言甲乙己并大于丙丁戊并
论曰试于甲乙截取甲庚与戊等于丙丁截取丙辛与己等即甲庚与丙辛之比例若戊与己也亦若甲乙与丙丁也夫甲乙全与丙丁全既若截取之甲庚与丙辛即亦若分余之庚乙与辛丁也【本篇十九】而甲乙最大必大于丙丁即庚乙亦大于辛丁矣又甲庚与戊丙辛与己既等即于戊加丙
辛于己加甲庚必等而又加不等之庚乙辛丁则甲乙己并岂不大于丙丁戊并
第二十六题
第一与二几何之比例大于第三与四之比例反之则第二与一之比例小于第四与三之比例
解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言反之二乙与一甲之比例小于四丁与三丙
论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与
乙之比例大于戊与乙而甲几何大于戊【本篇十】则乙与戊之比例大于乙与甲也【本篇八】反之则乙与戊之比例若丁与丙【本篇四】而乙与甲之比例小于丁与丙第二十七题
第一与二之比例大于第三与四之比例更之则第一与三之比例亦大于第二与四之比例
解曰一甲与二乙之比例大于三丙与四丁题言更之则一甲与三丙之比例亦大于二乙与四丁
论曰试作戊与乙之比例若丙与丁即甲与乙
之比例大于戊与乙而甲防何大于戊【本篇十】则甲与丙之比例大于戊与丙也【本篇八】夫戊与乙之比例既若丙与丁更之则戊与丙之比例亦若乙与丁【本篇十六】而甲与丙之比例大于乙与丁矣
第二十八题
第一与二之比例大于第三与四之比例合之则第一第二并与二之比例亦大于第三第四并与四之比例
解曰一甲乙与二乙丙之比例大于三丁戊与四戊己题言合之则甲丙与乙丙之比例亦大于丁己与戊己
论曰试作庚乙与乙丙之比例若丁戊与戊
己即甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙而甲乙几何大于庚乙矣【本篇十】此二率者每加一乙丙即甲丙亦大于庚丙而甲丙与乙丙之比例大于庚丙与乙丙也【本篇八】夫庚乙与乙丙之比例既若丁戊与戊己合之则庚丙与乙丙之比例亦若丁己与戊己也【本篇十八】而甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己矣第二十九题
第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例分之则第一与二之比例亦大于第三与四之比例解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言分之则甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊己
论曰试作庚丙与乙丙之比例若丁己与戊
己即甲丙与乙丙之比例亦大于庚丙与乙丙而甲丙几何大于庚丙矣【本篇十】此二率者每减一同用之乙丙即甲乙亦大于庚乙而甲乙与乙丙之比例大于庚乙与乙丙也【本篇八】夫庚丙与乙丙之比例既若丁己与戊己分之则庚乙与乙丙之比例亦若丁戊与戊己也【本篇十七】而甲乙与乙丙之比例大于丁戊与戊己矣
第三十题
第一合第二与二之比例大于第三合第四与四之比例转之则第一合第二与一之比例小于第三合第四与三之比例
解曰甲丙与乙丙之比例大于丁己与戊己题言转之则甲丙与甲乙之比例小于丁己与丁戊
论曰甲丙与乙丙之比例既大于丁己与戊己分之即甲乙与乙丙之比例亦大于丁戊与戊己也【本篇廿九】又反之乙丙与甲乙之比例小于戊
己与丁戊矣【本篇廿六】又合之甲丙与甲乙之比例亦小于丁己与丁戊也【本篇廿八】
第三十一题
此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第一与二之比例此第二与三之比例大于彼第二与三之比例如是序者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例
解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于丁与戊乙与丙之比例大于戊与己如是序者题言以平理推
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