则甲与丙之比例亦大于丁与己
论曰试作庚与丙之比例若戊与己即乙与丙之比例大于庚与丙而乙几何大于庚【本篇十】是甲与小庚之比例大于甲与大
乙矣【本篇八】夫甲与乙之比例元大于丁与戊即甲与庚之比例更大于丁与戊也次作辛与庚之比例若丁与戊即甲与庚之比例亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本篇十】是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣【本篇八】夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也【本篇廿二】则甲与丙之比例大于丁与己也
第三十二题
此三几何彼三几何此第一与二之比例大于彼第二与三之比例此第二与三之比例大于彼第一与二之比例如是错者以平理推则此第一与三之比例亦大于彼第一与三之比例
解曰甲乙丙此三几何丁戊己彼三几何而甲与乙之比例大于戊与己乙与丙之比例大于丁与戊如是错者题言以平理推则甲与丙之比例亦大于丁与己
论曰试作庚与丙之比例若丁与戊即乙与丙之比例大于庚与丙而乙防何大于庚【本篇十】是甲与小庚之比例大于
甲与大乙矣【本篇八】夫甲与乙之比例既大于戊与己即甲与庚之比例更大于戊与己也次作辛与庚之比例若戊与己即甲与庚之比例亦大于辛与庚而甲几何大于辛【本篇十】是大甲与丙之比例大于小辛与丙矣【本篇八】夫辛与丙之比例以平理推之若丁与己也【本篇廿三】则甲与丙之比例大于丁与己也
第三十三题
此全与彼全之比例大于此全截分与彼全截分之比例则此全分余与彼全分余之比例大于此全与彼全之比例
解曰甲乙全与丙丁全之比例大于两截分甲戊与丙己题言两分余戊乙与己丁之比例大于甲乙与丙丁
论曰甲乙与丙丁之比例既大于甲戊与丙己更之即甲乙与甲戊之比例亦大于丙丁与丙己也【本篇廿七】又转之甲乙与戊乙之比例小于丙丁与己丁也【本篇三十】又更之甲乙与丙丁之比例小于戊乙与己丁也【本篇廿七】戊乙与己丁分余也则分余之比例大于甲乙全与丙丁全矣依显两全之比例小于截分则分余之比例小于
两全
第三十四题【三支】
若干几何又有若干防何其数等而此第一与彼第一之比例大于此第二与彼第二之比例此第二与彼第二之比例大于此第三与彼第三之比例以后俱如是则此并与彼并之比例大于此末与彼末之比例亦大于此并减第一与彼并减第一之比例而小于此第一与彼第一之比例
解曰如甲乙丙三几何又有丁戊己三几何其甲与丁之比例大于乙与戊乙与戊之比例大于丙与己题先言甲乙丙并与丁戊己并之比例大于丙与己次言亦大于乙丙并与戊己并后言小于甲与丁
论曰甲与丁之比例既大于乙与戊更之即甲与乙之比例大于丁与戊也【本篇廿七】又合之甲乙并与乙之比例大于丁戊并与戊也【本篇】
【廿八】又更之甲乙并与丁戊并之比例大于乙与戊也【本篇廿七】是甲乙全与丁戊全之比例大于减并乙与减并戊也既尔即减余甲与减余丁之比例大于甲乙全与丁戊全也【本篇卅三】依显乙与戊之比例亦大于乙丙全与戊己全即甲与丁之比例更大于乙丙全与戊己全也又更之甲与乙丙并之比例大于丁与戊己并也【本篇廿七】又合之甲乙丙全与乙丙并之比例大于丁戊己全
与戊己并也【本篇廿八】又更之甲乙丙全与丁戊己全之比例大于乙丙并与戊己并也【本篇廿七】则得次解也又甲乙丙全与丁戊己全之比例既大于减并乙丙与减并戊己即减余甲与减余丁之比例大于甲乙丙全与丁戊己全也【本篇卅三】则得后解也又乙与戊之比例既大于丙与己更之即乙与丙之比例大于戊与己也【本篇卄七】又合之乙丙全与丙之比例大于戊己全与己也【本篇卄八】又更之乙丙并与戊己并之比例大于丙与己也【本篇卄七】而甲乙丙并与丁戊己并之比例既大于乙丙并与戊己并即更大于末丙与末己也则得先解也
若两率各有四几何而丙与己之比
例亦大于庚与辛即与前论同理
盖依上文论乙与戊之比例大于乙丙庚
并与戊己辛并即甲与丁之比例更
大于乙丙庚并与戊己辛并也更之
即甲与乙丙庚并之比例大于丁与
戊己辛并也【本篇十八】又合之甲乙丙庚
全与乙丙庚并之比例大于丁戊
己辛全与戊己辛并也又更之甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并也【本篇廿七】则得次解也又甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例既大于减并乙丙庚与减并戊己辛即减余甲与减余丁之比例大于甲乙丙庚全与丁戊己辛全也【本篇卅三】则得后解也又依前论显乙丙庚并与戊己辛并之比例既大于庚与辛而甲乙丙庚全与丁戊己辛全之比例大于乙丙庚并与戊己辛并即更大于末庚与末辛也则得先解也自五以上至于无穷俱仿此论可显全题之防
几何原本卷五
钦定四库全书
几何原本卷六之首
西洋利玛窦译
界说六则
第一界
凡形相当之各角等而各等角旁两线之比例俱等为相似之形
甲乙丙丁戊己两角形之甲角与丁角等乙与戊丙
与己各等其甲角旁之甲乙与甲丙
两线之比例若丁角旁之丁戊与
丁己两线而甲乙与乙丙若丁戊与
戊己甲丙与丙乙若丁己与己戊则
此两角形为相似之形依显凡平邉
形皆相似之形如庚辛壬癸子丑俱
平邉角形其各角俱等而各邉之比例亦等者是也四邉五邉以上诸形俱仿此
第二界
两形之各两邉线互为前后率相与为比例而等为互相视之形
甲乙丙丁戊己庚辛两方形其甲乙
乙丙邉与戊己己庚邉相与为比例
等而彼此互为前后如甲乙与戊己
若己庚与乙丙也则此两形为互相
视之形依显壬癸子丑寅卯两角形
之壬子与丑寅若丑夘与壬癸或壬癸与丑寅若丑夘与壬子亦互相视之形也
第三界
理分中末线者一线两分之其全与大分之比例若大分与小分之比例
甲乙线两分之于丙而甲乙与大分甲丙之比例若大分甲丙与小分丙乙此为理分中末线其分法见本卷三十题而与二卷十一题理同
名异此线为用甚广至量体尤所必须十三卷诸题多頼之古人目为神分线也
第四界
度各形之髙皆以垂线之亘为度
甲乙丙角形从甲顶向乙丙底作甲庚垂线即甲庚为甲乙丙之髙又丁戊己角形作丁辛垂线即丁辛为丁戊己之髙若两
形相视两垂线等即两形之髙必等如上两形在两平行线之内者是也若以丙己为顶以甲乙丁戊为底则不等自余诸形之度髙俱仿此
凡度物髙以顶底为界以垂线为度盖物之定度止有一不得有二自顶至底垂线一而己偏线无数也第五界
比例以比例相结者以多比例之命数相乗除而结为一比例之命数
此各比例不同理而相聚为一比例者则用相结之法合各比例之命数求首尾一比例之命数也曷为比例之命数谓大几何所倍于小几何若干或小几何在大几何内若干也如大几何四倍于小或小几何为大四分之一即各以四为命比例之数也【五卷界说
三】今言以彼多比例之命数相
乗除而结为此一比例之命数
者如十二倍之此比例则以彼
二倍六倍两比例相结也二六
相乗为十二故也或以彼三倍
四倍两比例相结也三四相乗
亦十二故也又如三十倍之此
比例则以彼二倍三倍五倍三
比例相结也二乗三为六六乗
五为三十故也
其曰相结者相结之理盖在中率凡中率为前比例之后后比例之前故以二比例合为一比例则中率为辏合之因如两爿合此为之胶如两襟合此为之纽矣第五卷第十界言数几何为同理之比例则第一与第三为再加之比例再加者以前中二率之命数再加为前后二率之命数亦以中率为纽也但彼所言者多比例同理故止以第一比例之命数累加之此题所言则不同理之多比例不得以第一比例之命数累加之故用此乗除相结之理于不同理之中求其同理别为累加之法其纽结之义颇相类焉下文仍发明借象之术以需后用也
五卷言多比例同理者第一与第三为再加与第四为三加与第五为四加以至无穷今此相结之理亦
以三率为始三率则两比例
相乗除而中率为纽也若四
率则先以前三率之两比例
相乗除而结为一比例复以
此初结之比例与第三比例
乗除相结为一比例也若五率则先以前三率之两比例乗除相结复以此再结之比例与第三比例乗除相结又以三结之比例与第四比例乗除相结为一比例也或以第一第二第三率之两比例乗除相结以第三第四第五之两比例乗除相结又以此二所结比例乗除相结而为一比例也自六以上仿此以至无穷
设三几何为二比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三两比例相结也如上圗三几何二比例皆以大不等者其甲乙与丙丁为二倍大丙丁与戊己为三倍大则甲乙与戊己为六倍大二乗三为六也若以小不等戊己
为第一甲乙为第三三乗二亦六则戊己与甲乙为反六倍大也
甲乙与丙丁既二倍大试以甲乙二平分之为甲庚庚乙必各与丙丁等丙丁与戊己既三倍大而甲庚庚乙各与丙丁等即甲庚亦三倍大于戊己庚乙亦三倍大于戊己而甲乙必六倍大于戊己
又如上圗三几何二比例前以大不等后以小不等者中率小子前后两率也
其甲乙与丙丁为三倍大丙丁与戊己为反二倍大【反二倍大者丙丁得戊己之半】即甲乙与戊己为等带半三乗半得等带半也若以戊己为第一甲乙为第三反推之半除三为反等带半也
又如上圗三几何二比例前以小不等后以大不等者中率大于前后二率也
其甲乙与丙丁为反二倍大【甲乙得丙丁之半】丙丁与戊己为等带三分之一即甲乙与戊己为反等带半【甲乙得戊己三分之二】何者如甲乙二即丙丁当四丙丁四即戊己当三是甲乙二戊己当三也
后増其乗除之法则以命数三带得数一为四以半除之得二二比三为反等带半也若以戊己为第一甲乙为第三三比二为等带半也
设四几何为三比例不同理而合为一比例则以第一与二第二与三第三与四三比例相结也如上圗甲乙丙丁四
几何三比例先依上论以甲与乙乙与丙二比例相结为甲与丙之比例次以甲与丙丙与丁相结即得甲与丁之比例也如是逓结可至无穷也
或用此圗申明本题之防曰甲与乙之命数为丁乙
与丙之命数为戊即甲与丙之命数
为己何者三命数以一丁二戊相乗
得三己即三比例以一甲与乙二乙
与丙相乗得三甲与丙
后増若多几何各带分而多寡不等者当用通分法如设前比例为反五倍带三之二后比例为二倍大带八之一即以前命数三通其五倍为十五得分数从之为十七是前比例为三与十七也以后命数八通其二倍为十六得分数从之为十七是后比例为十七与八也即首尾二几何之比例为三与八得二倍大带三之二也
曷谓借象之术如上所说三几何二比例者皆以中率为前比例之后后比例之前乗除相结畧如连比例之同用一中率也而不同理别有二比例异中率者是不同理之断比例也无法可以相结当于其所设几何之外别立三几何二比例而同中率者乗除相结作为仪式以彼异中率之四几何二比例依仿求之即得故谓之借象术也假如所设几何十六为
首十二为尾却云十六
与十二之比例若八与
三及二与四之比例八
为前比例之前四为后
比例之后三与二为前
之后后之前此所谓异
中率也欲以此二比例乗除相结无法可通矣用是别立三几何二比例如其八与三二与四之比例而务令同中率如三其八得二十四为前比例之前三其三得九为前比例之后即以九为后比例之前又求九与何数为比例若二与四得十八为后比例之后其二十四与九若八与三也九与十八若二与四也则十六与十二若二十四与十八俱为等带半之比例矣是用借象之术变异中率为同中率乗除相结而合二比例为一比例也其三比例以上亦如上方所说展转借象逓结之 详见本卷二十三题筭家所用借象金法双金法俱本此
第六界
平行方形不满一线为形小于线若形有余线不足为形大于线
甲乙线其上作甲戊丁丙平行方形不满甲乙线而丙乙上无形即作己乙线与丁丙平行次引戊丁线遇己乙于己是为甲戊己乙满甲乙线平行方形则甲丁为依甲乙线之有阙平行方形而丙己平行方
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