方形为甲丁之阙形又
甲丙线上作甲戊己乙平行方形其甲乙邉大于元设甲丙线之较为丙乙而甲己形大于甲丙线上之甲丁形则甲己为依甲丙线之带余平行方形而丙己平行方形为甲己之余形
几何原本卷六之首
钦定四库全书
几何原本卷六
西洋利玛窦撰
第一题
等髙之三角形方形自相与为比例与其底之比例等觧曰甲乙丙丁戊己两角形等髙其底乙丙戊己丙庚戊辛两方形等髙其底乙丙戊己题言甲乙丙与丁戊己之比例丙庚与戊辛之比例皆若乙丙与戊己
论曰试置四形于庚辛子寅两平行线内【凡形自顶至底作垂线即本形之髙故等髙者必在平行线内见本卷界说四】于乙子线内作数底线各与乙丙等为乙壬壬癸癸子于己寅线内作数底线各与戊己等为己丑丑寅次从甲从丁作甲壬甲癸甲子丁丑丁寅诸线其甲乙丙甲乙壬
甲壬癸甲癸子四三角形既等底而在平行线内即等【一卷三八】依显丁戊己丁己丑丁丑寅三三角形亦等则子丙底线大于乙丙若干倍而甲子丙角形大于甲乙丙亦若干倍依显戊寅之倍戊己亦若丁戊寅之倍丁戊己【底线分数与形之分数等故】即用三试法若子丙底大于戊寅底则甲子丙形亦大于丁戊寅形也若等亦等若小亦小也【一卷三八】则一乙丙所倍之子丙三甲乙丙所倍之甲子丙与二戊己所倍之戊寅四丁戊己所倍之丁戊寅等大小皆同类也而一乙丙底与二戊己底之比例若三甲乙丙与四丁戊己矣【五卷六界】又丙庚戊辛两方形各倍大于甲乙丙丁戊己两角形【一卷卅三】而甲乙丙与丁戊己之比例既若乙丙与戊己即丙庚与戊辛两方形之比例亦若乙丙与戊己两底矣【五卷十五】或从壬癸子及丑寅各作直线与庚乙辛己平行即依上论推显
增题凡两角形两方形各等底其自相与为比例若两形之髙之比例
解曰甲乙丙与丁戊己两角形甲庚乙丙与丁戊己辛两方形其底乙丙与戊己等题言甲乙丙与丁戊己两角形之比例甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例皆若甲壬与丁癸两髙
论曰试作子壬底线与乙丙等作丑癸
底线与戊己等次作甲子丁丑两线其甲壬子与甲乙丙两角形等底又等髙即等依显丁癸丑与甲乙丙两角形等底又等髙即等依显丁癸丑与丁戊己两角形亦等【一卷三八】即甲乙丙与丁戊己之比例若甲壬子与丁癸丑也【五卷七】今以甲壬丁癸为底即甲壬子与丁癸丑两角形之比例若甲壬与丁癸两底也【本篇一】而甲乙丙与丁戊乙之比例亦若甲壬与丁癸矣又甲乙丙与丁戊己两角形之比例既以倍大故若甲庚乙丙与丁戊己辛两方形之比例【五卷十五】即两方形之比例亦若甲壬与丁癸两底也【五卷十一】若作庚子辛丑两线亦依前论推显
第二题【二支】
三角形任依一邉作平行线即此线分两余邉以为比例必等三角形内有一线分两邉以为比例而等即此线与余邉为平行
先解曰甲乙丙角形内如作丁戊线与乙丙平行题言丁戊分甲乙甲丙于丁于戊
以为比例必等者甲丁与丁乙若甲戊与戊丙也论曰试作丁丙戊乙两线其丁戊乙丁戊丙两角形同以丁戊为底同在两平行线内即等【一卷三七】而甲戊丁与丁戊乙两角形之比例若甲戊丁与丁戊丙矣【五卷七】夫甲戊丁与丁戊乙两角形亦在两平行线内【若干戊防上作一线与甲乙平行即两形在其内】则甲戊丁与丁戊乙两角形之比例若甲丁与丁乙两底也【本篇一】依显甲戊与戊丙两底之比例亦若甲戊丁与丁戊丙两角形也【两形亦在两平行线内故】是甲丁与丁乙两线之比例甲戊与戊丙两线之比例皆若甲戊丁与丁戊乙也或与丁戊丙也【丁戊乙与丁戊丙等】则甲丁与丁乙亦若甲戊与戊丙也【五卷十一】
后解曰甲乙丙角形内有丁戊线分甲乙甲丙于丁于戊以为比例而等题言丁戊与乙丙为平行线论曰试作丁丙戊乙两线其甲丁与丁乙两底之比例若甲戊丁与丁戊乙两角形也【在两平行线内故见本篇一】而甲丁与丁乙之比例若甲戊与戊丙即甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊与戊丙也【五卷十一】又甲戊与戊丙两底之比例既若甲戊丁与丁戊丙【在两平行线内故见本篇一】则甲戊丁与丁戊乙之比例亦若甲戊丁与丁戊丙也【五卷十一】而丁戊乙与丁戊丙两角形等矣【五卷九】两角形同以丁戊为底
而等则在两平行线内【一卷卅九】
第三题【二支】
三角形任以直线分一角为两平分而分对角邉为两分则两分之比例若余两邉之比例三角形分角之线所分对角邉之比例若余两邉则所分角为两平分
先解曰甲乙丙角形以甲丁线分乙甲丙角为两平分题言乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙
论曰试作乙戊线与甲丁平行次于丙甲线引长之至戊其甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角等外角丁甲丙与内角戊亦等【一卷廿九】今乙甲丁与丁甲丙又等即甲乙戊角与戊角亦等也而甲戊与甲乙两腰亦等矣【一卷六】则戊甲与甲丙之比例若乙甲与甲丙也【五卷七】夫戊甲与甲丙之比例若乙丁与丁丙也【本篇二】则乙甲与甲丙之比例亦若乙丁与丁丙也【五卷十一】后解曰乙丁与丁丙之比例若乙甲与甲丙题言甲丁线分乙甲丙角为两平分
论曰依前作乙戊线与甲丁平行而引丙甲线至戊其乙甲与甲丙之比例既若乙
丁与丁丙甲丁线又与戊乙邉平行而乙丁与丁丙之比例若戊甲与甲丙【本篇二】即乙甲与甲丙之比例亦若戊甲与甲丙【五卷十一】是戊甲与乙甲两线等矣【五卷九】则甲乙戊角与戊角亦等也【一卷五】夫甲乙戊与乙甲丁为平行线相对之两内角等而外角丁甲丙与内角戊亦等【一卷廿九】则乙甲丁丁甲丙两角必等第四题
凡等角三角形其在等角旁之各两腰线相与为比例必等而对等角之邉为相似之邉
解曰甲乙丙丁丙戊两角形等角者甲乙丙与丁丙戊甲丙乙与丁戊丙乙甲丙与丙丁戊每相当之各角俱等也题言甲乙与乙丙之比例若丁丙与丙戊甲乙与甲
丙若丁丙与丁戊甲丙与乙丙若丁戊与丙戊而每对等角之邉各相似相似者谓各前各后率各对本形之相当等角论曰试并置两角形令乙丙丙戊两底为一直线而丁丙戊为甲乙丙之外角其甲乙丙甲丙乙两角既小于两直角【一卷廿七】丁戊丙与甲丙乙两角又等即乙戊两角亦小于两直角而乙甲戊丁两线引出之必相遇【一卷界说十一】即作两线令遇于己其丁丙戊外角与甲乙丙内角既等即丁丙与己乙为平行线【一卷】
【廿八】依显甲丙乙外角与丁戊丙内角既等即甲丙与己戊亦平行线【一卷廿八】而甲己丁丙为平行线方行则甲己与丁丙两线等也甲丙与己丁两线等也【一卷卅四】夫乙戊己角形内之甲丙线既与己戊邉平行即甲乙与等甲己之丁丙之比例若乙丙与丙戊也【本篇二】更之即甲乙与乙丙若丁丙与丙戊也【五卷十六】又乙戊己角形内之丁丙线既与己乙邉平行即乙丙与丙戊之比例若等己丁之甲丙与丁戊也【本篇二】更之即乙丙与甲丙若丙戊与丁戊也【五卷十六】甲乙与乙丙既若丁丙与丙戊而乙丙与甲丙又若丙戊与丁戊平之即甲乙与甲丙若丁丙与丁戊也【五卷廿二】
一系凡角形内之直线与一邉平行而截一分为角形必与全形相似如上甲乙丙角形作丁戊直线与乙丙平行而截一分为甲丁戊
角形必与甲乙丙全形相似何者甲丁戊外角与甲乙丙内角等甲戊丁外角亦与甲丙乙内角等【一卷廿九】甲角又同即两形相似而各等角旁两邉之比例等【本题】
増题凡角形之内任依一邉作一平行线于此邉任取一防向对角作直线则所分两平行线比例等
解曰甲乙丙角形内作丁戊线与乙
丙平行次于乙丙邉任取己防向甲
角作直线分丁戊于庚题言乙己与
己丙之比例若丁庚与庚戊
论曰甲己乙甲庚丁两角形既相似【本系】即甲己与己乙之比例若甲庚与庚丁也更之即甲己与甲庚若己乙与庚丁也【五卷十六】依显甲己与甲庚若己丙与庚戊也则乙己与丁庚亦若己丙与庚戊也【五卷十一】更之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五卷十六】又论曰甲己乙甲庚丁两角形甲己丙甲庚戊两角形既各相似即乙己与甲己之比例若丁庚与庚甲也【本系】依显甲己与己丙亦若甲庚与庚戊也平之即乙己与己丙若丁庚与庚戊也【五卷廿二】
第五题
两三角形其各两边之比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等
觧曰甲乙丙丁戊己两角形其各两边之比例等者甲乙与乙丙若丁戊与戊己而乙丙与甲丙若戊己与丁己甲丙与甲乙若丁己与丁戊也题言此两形为等角形而对各相似边之角甲与丁乙与戊丙与己各等论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与丙角等而戊庚己庚两线遇于庚即庚角与甲角等【一卷三二】是甲乙丙庚戊己两形等角矣则甲
乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也【本篇四】甲乙与乙丙元若丁戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也【五卷十一】而丁戊与庚戊两线必等【五卷九】又乙丙与甲丙之比例若戊己与庚己【本篇四】而乙丙与甲丙元若戊己与丁己则戊己与庚己亦若戊己与丁己也【五卷十一】而丁己与庚己两线必等【五卷九】夫庚戊庚己两腰既与丁戊丁己两腰各等戊己同底即丁角与庚角亦等【一卷八】其余庚戊己与丁戊己庚己戊与丁己戊各相当之角俱等【一卷四】而庚角与甲角既等即丁角与甲角亦等丁戊己角与乙角丁己戊角与丙角俱等第六题
两三角形之一角等而等角旁之各两边比例等即两形为等角形而对各相似边之角各等
解曰甲乙丙丁戊己两角形其乙与戊两角等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己题言余角丙与己甲与丁俱等论曰试作己戊庚角与乙角等作庚己戊角与丙角等而戊庚己庚两线遇于庚依前论推显甲乙丙庚戊己两形等角即甲乙与乙丙之比例若庚戊与戊己也【本篇四】甲乙与乙丙元若丁
戊与戊己则庚戊与戊己亦若丁戊与戊己也【五卷十一】而丁戊与庚戊两线必等【五卷九】夫丁戊庚戊两边既等戊己同边庚戊己角与丁戊己角又等【丁戊己角与乙角等而己戊庚亦与乙等故】即其余各相当之角俱等【一卷四】而庚角既与甲角等庚己戊角既与丙角等即甲角丙角与丁角戊己丁角各等而甲乙丙丁戊己为等角形矣
第七题
两三角形之第一角等而第二相当角各两旁之边比例等其第三相当角或俱小于直角或俱不小于直角即两形为等角形而对各相似边之角各等解曰甲乙丙丁戊己两角形其一甲角与一丁角等而第二相当角如甲丙乙两旁之甲丙丙乙两邉偕丁己戊两旁之丁己己戊两邉比例等其第三相当角如乙与戊或俱小于直角或俱不小于直角题言两形等角者谓甲丙乙角与己等乙角与戊等先论乙与戊俱小于直角者曰如云不然
而甲丙乙大于己令作甲丙庚角与己等即甲庚丙角宜与戊等【一卷卅二】甲庚丙与丁戊己为等角形矣即甲丙与丙庚之比例宜若丁己与己戊【本篇四】而先设甲丙与丙乙若丁己与己戊也是甲丙与丙庚亦若甲丙与丙乙也【五卷十一】是庚丙与乙丙两线等也【五卷九】丙庚乙与丙乙庚两角亦等也【一卷五】夫乙既小于直角即等腰内之丙庚乙亦小于直角则较角之丙庚甲必大于直角也【丙庚甲丙庚乙两角等于两直角见一卷十三】而丙庚甲既与戊等则丙庚乙宜大于直角矣其相等之乙角何由得小于直角也
后论乙与戊俱不小于直角者曰如云不然依先论乙角与丙庚乙角等即丙庚乙亦不小于直角夫丙庚乙丙乙庚同为角形内之两角乃俱不小于直角【一卷十七】何也则甲丙乙不得不等于丁己戊也而其余乙与戊角等矣【一卷卅二】
第八题
直角三邉形从直角向对邉作一垂线分本形为两直角三邉形即两形皆与全形相似亦自相似
解曰甲乙丙直角三邉形从乙甲丙直角作甲丁垂线题言所分甲丁丙甲丁乙两三邉形皆与全形相似亦自相似
论曰甲乙丙甲丁丙两形既各以乙甲丙甲丁丙为直角而丙角又同即其余甲乙丙丁甲丙两角必等【一卷三】则甲乙丙甲丁丙两形必为等角形而等角旁之各两邉比例必等等者谓乙丙与甲丙若甲丙与丙丁也甲丙与甲乙若丙丁与甲丁也乙丙与甲乙若甲丙与甲丁也即甲丁丙角形与甲乙丙全形相似矣【本篇四】依显甲丁乙角形与甲乙丙全形亦相似也何者丙甲乙甲丁乙两皆直角而乙角又同即其余甲丙乙丁甲乙两角必等【一卷卅二】甲乙丙甲丁乙两形必为等角形而等角旁之各两邉比例必等故也依显甲丁乙甲丁丙两角形亦相似也何者两形各与全形相似即两形自相似【五卷十一】
系从直角作垂线即此线为两分对邉线比例之中率而直角旁两邉各为对角
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