己乙与戊乙
亦若辛丁与庚丁也【五卷廿二】又转之戊
乙与戊己若庚丁与庚辛也又分之
己乙与戊己若辛丁与庚辛也此后解也又甲戊与戊乙既若丙庚与庚丁而戊乙与戊己又若庚丁与庚辛即平之甲戊与戊己若丙庚与庚辛也此前觧也
又简论曰如后圗聨甲于丙作乙甲丁角次作丁乙辛己庚戊三线相聨其甲戊与戊乙之比例既若丙庚与庚丁即庚戊与丁乙平行【本篇二】甲己与己乙既若丙辛与辛丁即辛己与丁乙平行【本篇二】而庚戊与辛己亦平行【一卷三十】是甲戊与戊己若丙庚与庚辛也己乙与戊己亦若辛丁与庚辛也【本篇二】
第十一题
两直线求别作一线相与为连比例
法曰甲乙甲丙两线求别作一线相与为连比例者合两线任作甲角而甲乙与甲丙之比例若甲丙与他线也先于甲乙引长之为乙
丁与甲丙等次作丙乙线相聨次从丁作丁戊线与丙乙平行末于甲丙引长之遇于戊即丙戊为所求
线【如以甲丙为前率仿此】
论曰甲丁戊角形内之丙乙线既与戊丁邉平行即甲乙与乙丁之比例若甲丙与丙戊
也【本篇二】而乙丁甲丙元等即甲乙与甲丙若甲丙与
丙戊也【五卷七】
注曰别有一法以甲乙乙丙两线列作甲乙丙直角次以甲丙线聨之而甲乙引长
之末从丙作丙丁为甲丙之垂线遇引长线于丁即乙丁为所求线
论曰甲丙丁角形之甲丙丁既为直角而从直角至甲丁底有丙乙垂线即丙乙为甲乙乙丁比例之中率【本篇八之系】则甲乙与乙丙若乙丙与乙丁也既从一二得三即从二三求四以上至于无穷俱仿此
第十二题
三直线求别作一线相与为断比例
法曰甲乙乙丙甲丁三直线求别作一线相与为断比例者谓甲丁与他线之比例若甲乙与乙丙也先以甲乙乙丙作直线为甲丙
次以甲丁线合甲丙任作甲角次作丁乙线相聨次从丙作丙戊线与丁乙平行末自甲丁引之遇丙戊于戊即丁戊为所求线
论曰甲丙戊角形内之丁乙线既与丙戊边平行即甲丁与丁戊之比例若甲乙与乙丙【本篇二】
第十三题
两直线求别作一线为连比例之中率
法曰甲乙乙丙两直线求别作一线为中率者谓甲乙与他线之比例若他线与乙丙也先以两线作一直线为甲丙次以甲丙两平
分于戊次以戊为心甲丙为界作甲丁丙半圜末从乙至圜界作乙丁垂线即乙丁为甲乙乙丙之中率论曰试从丁作丁甲丁丙两线即甲丁丙为直角【三卷卅一】而直角所下乙丁垂线两分对邉线甲丙其甲乙与乙丁若乙丁与乙丙也【本篇八之系】则乙丁为甲乙乙丙之中率
注曰依此题可推凡半圜内之垂线皆为分径线之中率线如甲乙丙半圜其乙丁为甲丁丁丙之中率己戊为甲戊戊丙之
中率辛庚为甲庚庚丙之中率也何者半圜之内从垂线作角皆为直角【三卷卅一】故依前论推显各为中率也
増题一直线有他直线大于元线二倍以上求分他线为两分而以元线为中率
法曰甲乙线大于甲丙二倍以上求两分甲乙而以甲丙为中率先以甲乙甲丙聨为丙甲乙直角而两平分甲乙于下次以
丁为心甲乙为界作甲戊乙半圜次从丙作丙戊线与甲乙平行而遇半圜界于戊末从戊作戊己垂线而分甲乙于己即戊己为甲己己乙两分之中率
论曰试作戊甲戊乙两线依本题论即戊己为甲己己乙之中率而甲丙戊己为平行方形即丙甲与戊己等【一卷卅四】则丙甲亦甲己己乙之中率也
第十四题【二支】
两平行方形等一角又等即等角旁之两邉为互相视之邉两平行方形之一角等而等角旁两邉为互相视之邉即两形等
先解曰甲乙丙辛乙戊己庚两平行方形等甲乙丙戊乙庚两角又等题言此两角各两旁之两邉为互相视之邉者
甲乙与乙庚之比例若戊乙与乙丙也
论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙庚为一直线其甲乙丙与戊乙庚既等角卽戊乙乙丙亦一直线【一卷十五增题】次从辛丙己庚各引长之遇于丁其辛乙乙己两平行方形既等即辛乙与乙丁两形之比例若乙己与乙丁
也【五卷七】而辛乙与乙丁俱在两平行线之内等髙即辛乙与乙丁两形之比例若其底甲乙与乙庚也【本篇一】依显乙己与乙丁两形亦若其底戊乙与乙丙也则甲乙与乙庚亦若戊乙与乙丙也
后觧曰甲乙丙戊乙庚等角两旁之各两邉为互相视之邉者甲乙与乙庚若戊乙与乙丙也题言辛乙乙己两平行方形等
论曰依上论以两等角相聨其甲乙与乙庚之比例既若戊乙与乙丙而甲乙与乙庚两底之比例若平行等髙之辛乙与乙丁两形【本篇一】戊乙与乙丙两底之比例若平行等髙之乙己与乙丁两形则辛乙与乙丁若乙己与乙丁矣而辛乙乙己两形安得不等【五卷九】
第十五题【二支】
相等两三角形之一角等即等角旁之各两邉互相视两三角形之一角等而等角旁之各两邉互相视即两三角形等
先解曰甲乙丙乙丁戊两角形等两乙角又等题言等角旁之各两邉互相视者谓甲乙与乙戊之比例若丁乙与乙丙也
论曰试以两等角相聨于乙令甲乙乙戊为
一直线其甲乙丙丁乙戊既等角即丁乙乙丙亦一直线【一卷十五増题】次作丙戊线相聨其甲乙丙乙丁戊两角形既等即甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊也【五卷七】夫甲乙丙与乙丙戊两等髙形之比例若其底甲乙与乙戊也而乙丁戊与乙丙戊两等髙形亦若其底丁乙与乙丙也则甲乙与乙戊若丁乙与乙丙
后解曰两乙角等而乙旁各两边甲乙与乙戊之比例若丁乙与乙丙题言甲乙丙乙丁戊两角形等论曰依前列两形令等角旁两邉各为一直线其甲乙与乙戊之比例既若丁乙与乙丙而甲乙与乙戊两底又若其上甲乙丙乙丙戊两等髙角形丁乙与乙丙两底又若其上乙丁戊乙丙戊两等髙角形则甲乙丙与乙丙戊之比例若乙丁戊与乙丙戊矣而甲乙丙与乙丁戊岂不相等【五卷九】
第十六题【二支】
四直线为断比例即首尾两线矩内直角形与中两线矩内直角形等首尾两线与中两线两矩内直角形等即四线为断比例
先解曰甲乙己庚戊己乙丙四直线为断比例者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾两线矩内直角形戊己庚辛为戊己己庚
中两线矩内直角形题言甲丙戊庚两形等
论曰两形之乙与己既等为直角而甲乙与己庚之比例若戊己与乙丙是乙己等角旁之各两邉互相视而甲丙戊庚两直角形必等【本篇十四】
后解曰甲丙戊庚两直角形等题言四线之比例等者谓甲乙与己庚若戊己与乙丙也
论曰甲丙戊庚两形之乙与己既等为直角即等角旁之各两邉互相视而甲乙与己庚之比例若戊己与乙丙也【本篇十四】则四线为断比例矣
注曰若平行斜方形而等
角亦同此论如上圗
以上二题即筭家句股法三数筭法所頼也
第十七题【二支】
三直线为连比例即首尾两线矩内直角形与中线上直角方形等首尾线矩内直角形与中线上直角方形等即三线为连比例
先解曰甲乙戊己乙丙三线为连比例者甲乙与戊己若戊己与乙丙也而甲乙丙丁为甲乙乙丙首尾线矩内直角形戊己庚辛为戊己上直角方形题言甲丙戊庚两形等
论曰试作己庚线与戊己等即甲乙乙丙己庚戊己为比例等等者谓甲乙与戊己若己庚与乙丙也则戊己己庚矩内直角形【即戊己上直角方形】与甲乙乙丙首尾线矩内之甲丙形等矣【本篇十六】
后解曰甲丙直角形与戊庚直角方形等题言甲乙与戊己之比例若戊己与乙丙
论曰甲丙戊庚既皆直角形即甲乙与戊己之比例若己庚与乙丙也【本篇十六】而己庚与乙丙亦若等己庚之戊己与乙丙【五卷七】则甲乙与戊己若戊己与乙丙矣
注曰若平行斜方形而等
角亦同此论如上圗
系凡直线上直角方形与他两线所作矩内直角形等即此线为他两线之中率何者依上后论甲乙乙丙矩内直角形与戊己上直角方形等即可推甲乙与戊己若戊己与乙丙而戊己为甲乙乙丙之中率故
第十八题
直线上求作直线形与所设直线形相似而体势等法曰如甲乙线上求作直线形与所设丙丁戊己庚形相似而体势等先于设形任从一角向各对角各作直线而分本形为若干角形如上设形则从己向丙向丁作两直线而分为丙丁己丁己戊丙己庚三三角形也
次于元线上作乙甲壬甲乙壬两角与丁丙己丙丁己两角各等其甲壬乙壬两线遇于壬即甲壬乙与丙己丁两角亦等而甲壬乙与丙己丁两形为等角形矣【一卷卅二】次作乙壬辛壬乙辛两角与丁己戊己丁戊两角各等其壬辛乙辛两线遇于辛即乙辛壬与丁戊己两角亦等而乙壬辛与丁己戊两形为等角形矣末依上作甲壬癸与丙己庚亦为等角形即甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚两形等角则相似而体势等凡设多角形俱仿此
论曰壬甲乙角与己丙丁角既等而壬甲癸角与己丙庚角又等即乙甲癸全角与丁丙庚全角等依显甲乙辛与丙丁戊两全角亦等而其余各全角俱等则甲乙辛壬癸与丙丁戊己庚为等角形矣又甲乙与乙壬之比例既若丙丁与丁己而乙壬与乙辛亦若丁己与丁戊【本篇四】平之即甲乙与乙辛亦若丙丁与丁戊也【五卷廿二】则甲乙辛丙丁戊两等角旁各两边之比例等
也而辛戊两等角旁各两边之比例亦等也【两形等角即等角旁各两边之比例等见本篇四】又辛壬与壬乙之比例既若戊己与己丁而壬乙与壬甲亦若己丁与己丙壬甲与壬癸亦若己丙与己庚平之即辛壬与壬癸亦若戊己与巳庚也【五卷廿二】则辛壬癸戊己庚两等角旁各两边之比例等也依显余角俱如是则两形为等角形而各等角旁各两边之比例俱等是两形相似而体势等注曰凡线上形相当之各角等即形相似而体势等如上甲乙丙丁戊己两角形其乙丙戊己线上之乙角丙角与戊角己角相当相等者是也若两形在乙丙丁戊两线上则虽相似而体势不等又如上甲丙戊庚两直角形其甲丁与丁丙之比例若戊辛与辛庚而余邉之比例俱等亦形相似而体势等若甲丙壬庚两直
角形虽角旁比例等而在丁丙庚
辛线上不相当则体势不等
増作本题别有一简法如设甲乙
丙丁戊己直线形求于庚线上作
直线形与相似而体势等先于甲角旁之甲乙甲己两线任引出之为甲辛甲丑次从甲向各角各任作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取甲辛与庚线末从辛作辛壬线与乙丙平行作壬癸与丙丁癸子与丁戊子丑与戊己各平行即所求
论曰两形之甲角既同甲乙丙甲己戊两角与甲辛壬甲丑子两角各等【一卷廿九】而甲丙乙甲丙丁两角与甲壬辛甲壬癸两角各等即乙丙丁与辛壬癸两全角亦等依显丙丁戊丁戊己与壬癸子癸子丑各全角各等则甲乙丙丁戊己与甲辛壬癸子丑两直线形为等角形矣又甲辛壬甲壬癸甲癸子甲子丑四三角形与甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形各相似【本篇四之系】即甲乙与乙丙之比例若甲辛与辛壬也而乙丙与丙甲若辛壬与壬甲也丙甲与丙丁若壬甲与壬癸也平之则乙丙与丙丁亦若辛壬与壬癸也依显余邉俱如是则两形相似而体势等也
第十九题
相似三角形之比例为其相似邉再加之比例
解曰如甲乙丙丁戊己两角形等角其乙与戊丙与己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己题言两形之比例为乙丙与戊己两邉再加之比例
先论曰若两角形等即乙丙与戊己两邉亦等而各两等邉为相同之比例即两形亦相同之比例就令作再加之比例亦未免为相同之比例则相等之两形即可为
两等邉再加之比例矣
后论曰若乙丙邉大于戊己邉即于乙丙线上截取乙庚为连比例之第三率令乙丙与戊己之比例若戊己与乙庚也【本篇十一】次作甲庚直线其甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己更之即甲乙与丁戊若乙丙与戊己也而乙丙与戊己若戊己与乙庚则甲乙与丁戊若戊己与乙庚也夫甲乙庚与丁戊己两角形有乙戊两
等角而各两旁之两邉又互相视【本篇十五】即两形等则甲乙丙形与丁戊己形之比例若甲乙丙形与甲乙庚形矣【五卷七】又甲乙丙与甲乙庚两等髙角形之比例若乙丙底与乙庚底【本篇一】则甲乙丙形与丁戊己形之比例亦若乙丙底与乙庚底也既乙丙戊己乙庚三线为连比例则一乙丙与三乙庚之比例为一乙丙与二戊己再加之比例矣是甲乙丙与丁戊己两形之比
例为乙丙与戊己再加之比例也
系依本题可显凡三直线为连比例即第一线上角形与第二线上角形之比例若第一线与第三线之比例如上甲乙丙三直线为连比例
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