地当角说见三卷廿増题】
后论曰试于乙丙圜分内作乙丑丙角次于丙壬圜分内作丙寅壬角此两角所乗之乙甲壬丙与丙乙甲壬两圜分既等【三卷廿七】即两角亦等而乙丑丙与丙寅壬两圜小分亦相似亦相等【乙丙与丙壬两合圜线等故见三卷廿四】次每加一相等之乙丁丙丙丁壬角形即乙丁丙丙丁壬两分圜形等【一卷四】则乙丁壬分圜形倍乙丁丙分圜形之数如乙丙壬圜分倍乙丙圜分之数依显己辛子分圜形倍己辛庚分圜形之数亦如己庚癸子圜分倍己庚圜分之数然则乙丙壬圜分若等于己庚癸子圜分者即乙丁壬分圜形亦等于己辛子分圜形矣若大亦大若小亦小矣【五卷界说六】是乙丙壬圜分之倍一乙丙圜分乙丁壬分圜形之倍三乙丁丙分圜形偕己庚癸子圜分之倍二己庚圜分己辛子分圜形之倍四己辛庚分圜形等大小
皆同类也则一乙丙圜分与二己庚圜分之比例若三乙丁丙分圜形与四己辛庚分圜形也【五卷界说六】一系在圜心两角之比例皆若两分圜形
二系在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗圜分与全圜界四直角与在圜心角之比例若全圜界与圜心角所乗之圜分
丁先生言欧几里得六卷中多研察有比例之线竟不及有比例之靣故因其义类増益数题用补阙如左云窦复増一题窃弁于首仍以题防从先生旧题随类附演以广其用俱称今者以别于先生旧増也
今増题圜与圜为其径与径再加之比例
解曰甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己题言甲
乙丙与丁戊己为甲丙与丁
己再加之比例
论曰如云不然当言甲乙丙
圜与小于丁戊己之庚辛壬
圜或大于丁戊己之癸子丑
圜为甲丙与丁己再加之比
例也【五卷界说二十増】若言庚辛壬是者试置庚辛壬圜于丁戊己圜内为同心次于外圜内作丁亥戊未己申酉戌多邉切形其多邉为偶数又等而全不至内圜也【四卷十六补题】次于甲乙丙圜内作甲午乙寅丙夘辰己多邉切形与丁戊己圜内切形相似【四卷十六补题可推】其两圜内两径上有丁亥戊未己与甲午乙寅丙相似之两多邉形则为两相似邉再加之比例也【本篇二十】而甲丙与丁己两线为两形之相似邉据如彼论即甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形甲乙丙与庚辛壬两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也甲乙丙半圜大于甲午乙寅丙形将庚辛壬半圜亦大于丁亥戊未己形乎则分大于全乎若言癸子丑是者亦如前论甲午乙寅丙与丁亥戊未己两形甲乙丙与癸子丑两圜同为甲丙与丁己两线再加之比例也反之即癸子丑与
甲乙丙两圜之比例为丁己
与甲丙两径再加之比例也
设他圜干兊离令癸子丑与
甲乙丙之比例若丁戊己与
干兊离【五卷界说増】则丁戊己与
干兊离两圜亦宜为丁己与
甲丙两径再加之比例也癸子丑既大于丁戊己即甲乙丙亦大于干兊离而丁戊己与小于甲乙丙之干兊离两圜能为丁己与甲丙两径再加之比例乎【前己驳有两圜其第一与他圜之小于第二者不得为元圜两径再加之比例】夫甲乙丙不得与圜之大于丁戊己者小于丁戊己者为甲丙与丁己再加之比例则止有元两圜为其元两径再加之比例
一系全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等葢诸比例皆两径再加之比例故二系三边直角形对直角边为径所作圜与余两邉为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等【本篇卅一可推】
三系三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者【本篇十九二十之系可推】
一増题直线形求减所命分其所减所存各作形
与所设形相似而体势等
法曰如甲直线形求减三分之一其所减所存各作形与所设乙形相似而体势等先作丙丁形与甲等与乙相似而体势等【本篇廿五】次任于其一邉如丙戊上
作丙己戊半圜次分丙戊为三平分而取其一庚戊次从庚作己庚为丙戊之垂线【本篇九】次作己丙己戊两线末于己丙己戊上作己辛己壬两形各与丙丁相似而体势等【本篇十八】即所求
论曰丙己戊角形既负半圜为直角【三卷卅一】即丙丁直线形与己辛己壬相似之两形并等【本篇卅】而于等甲之丙丁形减己壬存己辛两形各与丙丁相似而体势等则与乙相似而体势等今欲显己壬为丙丁三分之一者试观丙庚己丙己戊两角形既相似【本篇八】即丙庚与庚己之比例若丙己与己戊也【本篇四】夫丙庚庚己庚戊三线为连比例即丙庚与庚戊为丙庚与庚己再加之比例【本篇八之系】而己辛与己壬两形亦为丙己与己戊两相似邉再加之比例【本篇十九二十】即丙庚与庚戊两线之比例若己辛与己戊两形也【两比例为两同理比例之再加故】合之则丙戊与庚戊之比例若等己辛己壬两形并之丙丁与己壬矣丙戊三倍于庚戊则丙丁亦三倍于己壬而己壬为等甲之丙丁三分之一
若直线形求减之不论所减所存何形其法更易
如甲形求减三分之一先作乙丙平
行线形与甲等【一卷四一】次分乙丁为三
平分而取其一戊丁末从戊作己戊线与丙丁平行即戊丙形为等甲之乙丙形三分之一【本篇一】今附若于大圜求减所设小圜则以圜径当形邉
余法同前如
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