此防外相遇
解曰甲乙线为底于甲于乙各出一线至丙防相遇题言此为一定之处不得于甲上更出一线与甲丙等乙上更出一线与乙丙等
而不于丙相遇
论曰若言有别相遇于丁者即问丁当在丙内邪丙外邪若言丁在丙内则有二説俱不可通何者若言丁在甲丙元线之内则如第一图丁在甲丙两界之间矣如此即甲丁是甲丙之分而云甲丙与甲丁等也是全与其分等也【公论九】若言丁在甲丙乙三角顶间则如第二图丁在甲丙乙之间矣即令自丙至丁作丙丁线而乙丁丙甲丁丙又成两三角形次从乙丁引出至己从乙丙引出至戊则乙丁丙形之乙丁乙丙两腰等者其底线两端之两角乙丁丙乙丙丁宜亦等也其底之外两角己丁丙戊丙丁宜亦等也【本篇五】而甲丁丙形之甲丁甲丙两腰等者其底线两端之两角甲丙丁甲丁丙宜亦等也【本篇五】夫甲丙丁角本小于戊丙丁角而为其分今言甲丁丙与甲丙丁两角等则甲丁丙亦小于戊丙丁矣何况己丁丙又甲丁丙之分更小于戊丙丁可知何言底外两角等乎若言丁在丙外又有三説俱不可通
何者若言丁在甲丙元线外是丁甲即在丙甲元线之上则甲丙与甲丁等矣即如上第一説驳之若言丁在甲丙乙三角顶外即如上第二説驳之若言丁在丙外而后出二线一在三角形内一在其外甲丁线与乙丙线相交如第五图即令将丙丁相联作直线是甲丁丙又成一三角形而甲丙丁宜与甲丁丙两角等也【本篇五】夫甲丁丙角本小于丙丁乙角而为其分据如彼论则甲丙丁角亦小于丙丁乙角矣又丙丁乙亦成一三角形而丙丁乙宜与丁丙乙两角等也【本篇五】夫丁丙乙角本小于甲丙丁角而为其分据如彼论则丙丁乙角亦小于甲丙丁角矣此二説者岂不自相戾乎
第八题
两三角形若相当之两腰各等两底亦等则两腰间角必等
解曰甲乙丙丁戊己两三角形其甲乙与丁戊两腰甲丙与丁己两腰各等乙丙与戊己两底亦等题言甲与丁两角必等
论曰试以丁戊己形加于甲乙丙形之上问丁角在甲角上邪否邪若在上即两角等矣【公论八】或谓不然乃在于庚即问庚当在丁戊
线之内邪或在三角顶之内邪或在三角顶之外邪皆依前论驳之【本篇七】
系本题止论甲丁角若旋转依法论之即三角皆同可见凡线等则角必等不可疑也
第九题
有直线角求两平分之
法曰乙甲丙角求两平分之先于甲乙线任截一分为甲丁【本篇三】次于甲丙亦
截甲戊与甲丁等次自丁至戊作直线次以丁戊为底立平边三角形【本篇一】为丁戊己形末自己至甲作直线即乙甲丙角为两平分
论曰丁甲己与戊甲己两三角形之甲丁与甲戊两线等甲己同是一线戊己与丁己两底又等【何言两底等初从戊丁底作此三角平形此二线为腰各等戊丁故】则丁甲己与戊甲己两角必等【本篇八】
用法如上截取甲丁甲戊即以丁为
心向乙丙间任作一短界线次用元
度以戊为心亦如之两界线交处得己【本篇一】
第十题
一有界线求两平分之
法曰甲乙线求两平分先以甲乙为底作甲乙丙两边等三角形【本篇一】次以甲丙乙角两
平分之【本篇九】得丙丁直线即分甲乙于丁
论曰丙丁乙丙丁甲两三角形之丙乙丙甲两腰等而丙丁同线甲丙丁与乙丙丁两角又等【本篇九】则甲丁与乙丁两线必等【本篇四】
用法以甲为心任用一度但须长于甲乙线之半向上向下各作一短界线次
用元度以乙为心亦如之两界线交处即丙丁末作丙丁直线即分甲乙于戊
第十一题
一直线任于一防上求作垂线
法曰甲乙直线任指一防于丙求丙上作垂线先于丙左右任用一度各截一界为丁为戊【本篇二】次以丁戊为底作两边等角形【本篇一】为丁己戊末自己至丙作直线即己丙为甲
乙之垂线
论曰丁己丙与戊己丙两角形之己丁己戊两腰等而己丙同线丙丁与丙戊两底又等即两形必等丁与戊两角亦等【本篇五】丁己丙与戊己丙两角亦等【本篇八九】则丁丙己与戊丙己两角必等矣等即是直角直角即是垂线【界説十 此后三角形多称角形省文也】
用法于丙防左右如上截取丁与戊即以丁为心任用一度但须长于丙丁线
向丙上方作短界线次用元度以戊为心亦如之两界线交处即己
又用法于丙左右如上截取丁与戊
即任用一度以丁为心于丙上下方
各作短界线次用元度以戊为心亦
如之则上交为己下交为庚末作己庚直线视直线交于丙防即得是用法又为尝巧之法
増若甲乙线所欲立垂线之防乃在线末甲界上甲外无余线可截则于甲乙线上任取一防为丙如前法于丙上立丁丙垂线次以甲丙丁角两平分之【本篇九】为己丙线次以甲丙为度于丁丙垂线上截戊丙线【本篇三】次于戊上如前法
立垂线与己丙线相遇为庚末自庚至甲作直线如所求
论曰庚甲丙与庚丙戊两角形之甲丙戊丙两线既等庚丙同线戊丙庚与甲丙庚两角又等即甲庚戊庚两线必等【本篇四】而对同边之甲角戊角亦等【本篇四】戊既直角则甲亦直角是甲庚为甲乙之垂线【界説十】
用法甲防上欲立垂线先以甲为心向元线上方任抵一界作丙防次用元度
以丙为心作大半圜圜界与甲乙线相遇为丁次自丁至丙作直线引长之至戊为戊丁线戊丁与圜界相遇为己末自己至甲作直线即所求【此法今未能论论见第三卷第三十一题】
第十二题
有无界直线线外有一防求于防上作垂线至直线上法曰甲乙线外有丙防求从丙作垂线至甲乙先以丙为心作一圜令两交于甲乙线为丁为戊次从丁戊各作直线至丙次
两平分丁戊于己【本篇十】末自丙至己作直线即丙己为甲乙之垂线
论曰丙己丁丙己戊两角形之丙丁丙戊两线等丙己同线则丙戊己与丙丁己两角必等【本篇八】而丁丙己与戊丙己两角又
等则丙己丁与丙己戊等皆直角【本篇四】而丙己定为垂线矣
用法以丙为心向直线两处各作短
界线为甲为乙次用元度以甲为心
向丙防相望处作短界线乙为心亦如之两界线交处为丁末自丙至丁作直线则丙戊为垂线
又用法于甲乙线上近甲近乙任取
一防为心以丙为界作一圜界于丙
防及相望处各稍引长之次于甲乙
线上视前心或相望如前图或进或
退如后图任移一防为心以丙为界
作一圜界至与前圜交处得丁末自
丙至丁作直线得戊【若近界作垂线无可截取亦用此法】
第十三题
一直线至他直线上所作两角非直角即等于两直角解曰甲线下至丙丁线遇于乙其甲乙丙与甲乙丁作两角题言此两角当是直角若非直角即是一鋭一钝而并之等于两直角论曰试于乙上作垂线为戊乙【本篇十一】令戊乙
丙与戊乙丁为两直角即甲乙丁甲乙戊两鋭角并之与戊乙丁直角等矣次于甲乙丁甲乙戊两鋭角又加戊乙丙一直角并此三角定与戊乙丙戊乙丁两直角等也【公论十八】次于甲乙戊又加戊乙丙并此鋭直两角定与甲乙丙钝角等也次于甲乙戊戊乙丙鋭直两角又加甲乙丁鋭角并此三角定与甲乙丁甲乙丙鋭钝两角等也夫甲乙丁甲乙戊戊乙丙三角既与两直角等则甲乙丁与甲乙丙两角定与两直角等【公论一】
第十四题
一直线于线上一防出不同方两直线偕元线每旁作两角若每旁两角与两直角等即后出两线为一直线
解曰甲乙线于丙防上左出一线为丙丁右出一线为丙戊若甲丙戊甲丙丁两角与两直角等题言丁丙与丙戊是一直线
论曰如云不然令别作一直线必从丁丙更引出一线或离戊而上为丁丙己或离戊而下为丁丙庚也若上于戊则甲丙线至丁丙己直线上为甲丙己甲丙丁两角此两角宜与两直角等【本篇十三】如此即甲丙戊甲丙丁两角与甲丙己甲丙丁两角亦等矣试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙己两角较之果相等乎【公论三】夫甲丙己本
小于甲丙戊而为其分今曰相等是全与其分等也【公论九】若下于戊则甲丙线至丁丙庚直线上为甲丙庚甲丙丁两角此两角宜与两直角等【本篇十三】如此即甲丙庚甲丙丁两角与甲丙戊甲丙丁两角亦等矣试减甲丙丁角而以甲丙戊与甲丙庚较之果相等乎【公论三】夫甲丙戊实小于甲丙庚而为其分今曰相等是全与其分等也【公论九】两者皆非则丁丙戊是一直线
第十五题
凡两直线相交作四角每两交角必等
解曰甲乙与丙丁两线相交于戊题言甲戊丙与丁戊乙两角甲戊丁与丙戊乙两角各等论曰丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙
两角与两直角等【本篇十三】甲戊线至丙丁线上则甲戊丙甲戊丁两角与两直角等【本篇十三】如此即丁戊乙甲戊丁两角亦与甲戊丁甲戊内两角等【公论十】试减同用之甲戊丁角其所存丁戊乙甲戊丙两角必等【公论三】又丁戊线至甲乙线上则甲戊丁丁戊乙两角与两直角等【本篇十三】乙戊线至丙丁线上则丁戊乙丙戊乙两角与两直角等【本篇十三】如此即甲戊丁丁戊乙两角亦与丁戊乙丙戊乙两角【公论十】试
减同用之丁戊乙角其所存甲戊丁丙戊乙必等一系推显两直线相交于中防上作四角与四直角等
二系一防之上两直线相交不论几许线几许角定与四直角等【公论十八】
増题一直线内出不同方两直线而所作两交角等即后出两线为一直线
解曰甲乙线内取丙防出丙丁丙戊两线而所作甲丙戊丁丙乙两交角等或
甲丙丁戊丙乙两交角等题言戊丙丙丁即一直线
论曰甲丙戊角既与丁丙乙角等每加一戊丙乙角即甲丙戊戊丙乙两角必与丁丙乙戊丙乙两角等【公论二】而甲丙戊戊丙乙与两直角等【本篇十三】则丁丙乙戊丙乙亦与两直角等是戊丙丙丁为一直线【本篇十四】
第十六题
凡三角形之外角必大于相对之各角
解曰甲乙丙角形自乙甲线引之至丁题言外角丁甲丙必大于相对之内角
甲乙丙甲丙乙
论曰欲显丁甲丙角大于甲丙乙角试以甲丙线两平分于戊【本篇十】自乙至戊作直线引长之从戊外截取戊巳与乙戊等【本篇三】次自甲至己作直线即甲戊己戊乙丙两角形之
戊己与戊乙两线等戊甲与戊丙两线等甲戊己乙戊丙两交角又等【本篇十五】则甲己与乙丙两底亦等【本篇四】两形之各边各角俱等而己甲戊与戊丙乙两角亦等矣夫己甲戊乃丁甲丙之分则丁甲丙大于己甲戊亦大于相等之戊丙乙而丁甲丙外角不大于相对之甲丙乙内角乎次显丁甲丙大于甲乙丙试自丙甲线引长之至庚次以甲乙线两平分于辛【本篇十】自丙至辛作直线引长之从辛外截取辛壬与丙辛等【本篇三】次自甲至壬作直线依前论推显甲辛壬辛丙乙两角形之各边各角俱等则壬甲辛与辛乙丙两角亦等矣夫壬甲辛乃庚甲乙之分必小于庚甲乙也庚甲乙又与丁甲丙两交角等【本篇十五】则甲乙丙内角不小于丁甲丙外角乎其余乙丙上作外角俱大于相对之内角依此推显
第十七题
凡三角形之每两角必小于两直角
解曰甲乙丙角形题言甲乙丙甲丙乙两角丙甲乙甲乙丙两角甲丙乙丙甲乙两角皆小于两直角
论曰试用两边线丙甲引出至戊丙乙引出至丁即甲乙丁外角大于相对之甲丙乙内角矣【本篇十六】此两率者每加一甲乙丙角则甲乙丁甲乙丙必大于甲丙乙甲乙丙矣【公论四】夫甲乙丁甲乙丙与两直角等也【本篇十三】则甲丙乙甲乙丙小于两直角也余二仿此第十八题
凡三角形大边对大角小边对小角
解曰甲乙丙角形之甲丙边大于甲乙边乙丙边题言甲乙丙角大于乙丙甲角乙甲丙
角
论曰甲丙边大于甲乙边即于甲丙线上截甲丁与甲乙等【本篇三】自乙至丁作直线则甲乙丁与甲丁乙两角等矣【本篇五】夫甲丁乙角者乙丙丁角形之外角必大于相对之丁丙乙内角【本篇十六】则甲乙丁角亦大于甲丙乙角而况甲乙丙又函甲乙丁于其中不又大于甲丙乙乎如乙丙边大于甲乙边则乙甲丙角亦大于甲丙乙角依此推显
第十九题
凡三角形大角对大边小角对小边
解曰甲乙丙角形乙角大于丙角题言对乙角之甲丙边必大于对丙角之甲乙边
论曰如云不然令言或等或小若言甲丙与甲乙等则甲丙角宜与甲乙角等矣【本篇五】何设乙角大于丙角也若言甲丙小于甲乙则甲丙边对甲乙大角宜大【本篇十八】又何言小也如甲角大于丙角则乙丙边大于甲乙边依此推显
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