为直角方形见一卷卅四】若庚在丙外即以庚为心丁巳为界作丁辛巳半圜末从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等
论曰试自庚至辛作直线其丁巳线既两平分于庚又任两分于丙则丁丙偕丙巳矩内直角形【即乙丁直角形葢丙己与乙丙等故】及庚丙上直角方形并与等庚巳之庚辛上直角方形等【本篇五】夫庚辛上直角方形等于庚丙丙辛上两直角方形并【一卷四七】即乙丁直角形及庚丙上直角方形并与庚丙丙辛上两直角方形并等次各减同用之庚丙上直角方形则丙辛上直角方形与乙丁直角形等
増题凡先得直角方形之对角线所长于本形边之较而求本形边
法曰直角方形之对角线所长于本形边之较为甲乙而求本形边先于甲乙上作甲丙直角方形次作乙丁对角线又引长之为丁戊线而丁戊与甲丁等即得乙戊
线如所求
论曰试于乙戊作戊己垂线从乙甲线引长之遇于己其乙戊己既直角而戊乙己为半直角【一卷卅二】即戊己乙亦半直角而戊乙与戊己两边等【一卷六】次作己庚与戊乙平行作乙庚与戊己平行即戊庚形为戊乙边上直角方形也末作戊甲线即丁戊甲丁甲戊两角等也【一卷五】夫乙戊己丁甲己既两皆直角试每减一相等之丁戊甲丁甲戊角即所存己戊甲己甲戊两角必等而己戊己甲两边必等【一卷六】则乙己对角线大于乙戊边之较为甲乙矣 此増不在本书因其方形故类附于此
几何原本卷二
钦定四库全书
几何原本卷三之首
西洋利玛窦译
界説十则
第一界
凡圜之径线等或从心至圜界线等为等圜
三卷将论圜之情故先为圜界説此解圜之等者如上图甲乙乙丙两径等或丁己戊庚从心至圜界等即甲己乙乙庚丙两圜等若下图甲乙乙丙两径不
等或丁己戊庚从心至圜界不等则两圜亦不等矣第二界
凡直线切圜界过之而不与界交为切线
甲乙线切乙己丁圜之界乙又引长之至丙而不与界交其甲丙线全在圜外为切线若戊己线先切圜界而引之至庚入圜内则交线也
第三界
凡两圜相切而不相交为切圜
甲乙两圜不相交而相切于丙或切于外如第一图
或切于内如第三图其第二
第四图则交圜也
第四界
凡圜内直线从心下垂线其垂线大小之度即直线距心逺近之度
凡一点至一直线上惟垂线至近其他即逺垂线一而已逺者无数也故欲知点与线相去逺近必用垂线为度试如前图甲点与乙丙线相去逺近必以甲丁垂线为度为甲丁一线独去直线至近他若甲戊甲己诸线愈大愈逺乃至无数故如后图
説甲乙丙丁圜内之甲乙丙丁两线其去戊心逺近等为己戊庚戊两垂线等故若辛壬线去戊心近矣为戊癸垂线小故
第五界
凡直线割圜之形为圜分
甲乙丙丁圜之乙丁直线任割圜之一分如甲乙丁及乙丙丁两形皆为圜分凡分
有三形其过心者为半圜分函心者为圜大分不函心者为圜小分又割圜之直线为所割圜界之一分为弧
第六界
凡圜界偕直线内角为圜分角
以下三界论圜角三种本界所言杂
圜也其在半圜分内为半圜角在大
分内为大分角在小分内为小分角
第七界
凡圜界任于一点出两直线作一角为负圜分角甲乙丙圜分甲丙为底于乙点出两直线作甲乙丙角形其甲乙丙角为负甲乙丙圜分
角
第八界
若两直线之角乘圜之一分为乘圜分角
甲乙丙丁圜内于甲点出甲乙甲丁两线其乙甲丁角为乘乙丙丁圜分角
圜角三种之外又有一种为切边角或直线切圜或两圜相切其两圜相切者又或内或外如上图甲乙线切丙丁戊圜于丙即甲丙丁乙丙戊两角为切边角又丙丁戊己戊庚两圜外相切于戊及己戊庚己辛壬两
圜内相切于己即丙戊己戊己辛壬己庚三角俱为切边角
第九界
凡从圜心以两直线作角偕圜界作三角形为分圜形甲乙丙丁圜从戊心出戊甲戊丙两线偕甲丁丙圜界作角形为分圜形
第十界
凡圜内两负圜分角相等即所负之圜分相似
甲乙丙丁圜内有甲乙己与丁丙戊两负圜分角等则所负甲乙丁己与丁丙甲戊两圜分相似
又有两圜或等或不等其负圜分角等即圜分俱
相似如上三图三
圜之甲乙丙丁戊
己庚辛壬三负圜分角等即所负甲乙丙丁戊己庚辛壬三圜分相似【相似者如云同为几分圜之几也】
几何原本卷三之首
钦定四库全书
几何原本卷三
西洋利玛窦撰
第一题
有圜求寻其心
法曰甲乙丙丁圜求寻其心先于圜之两界任作一甲丙直线次两平分之于戊【一卷】
【十】次于戊上作乙丁垂线两平分之于己即己为圜心
论曰如云不然令言心何在彼不得言在己之上下何者乙丁线既平分于己离平分不能为心故必言心在乙丁线外为庚即令自庚至丙至戊至甲各作直线则甲庚戊角形之甲戊既与丙庚戊角形之丙戊两边等戊庚同边而庚甲庚
丙两线俱从心至界宜亦等即对等边之庚戊甲庚戊丙两角宜亦等【一卷八】而为两直角矣【一卷界説十】夫乙戊甲既直角而庚戊甲又为直角可不可也
系因此推显圜内有直线分他线为两平分而作直角即圜心在其内
第二题
圜界任取二点以直线相联则直线全在圜内
解曰甲乙丙圜界上任取甲丙二点作直线相聨题言甲丙线全在圜内
论曰如云在外若甲丁丙线令寻取甲乙丙圜之戊心【本篇一】次作戊甲戊丙两直线次于甲丁丙线上作戊乙丁线而与圜界遇于乙即戊甲丁丙当为三角形以甲丁丙为底戊甲戊丙两腰等其戊甲丙戊丙甲两角宜等【一卷五】而戊丁甲为戊丙丁之外角宜大于戊丙丁角即亦宜大于戊甲丁角【一卷十六】则对戊丁甲大角之戊甲线宜大于戊丁线矣【一卷十九】夫戊甲与戊乙本同圜之半径等据如所论则戊乙亦大于戊丁不可通也若云不在圜外而
在圜界依前论令戊甲大于戊乙亦不可通也第三题
直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分
解曰乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁线为两平分于己题言甲己必是垂线而
己旁为两直角又言己旁既为两直角则甲己分乙丁必两平分
先论曰试从甲作甲乙甲丁两线即甲乙己角形之乙己与甲丁己角形之丁己两边等甲己同边甲乙甲丁两线俱从心至界又等即两形等则其对等边之甲己乙甲己丁亦等【一卷八】而为两直角矣
后论曰如前作甲乙甲丁两线甲乙丁角形之甲乙甲丁两边既等则甲乙丁甲丁乙两角亦等【一卷五】又甲乙己角形之甲己乙甲乙己两角与甲丁己角形之甲己丁甲丁己两角各等而对直角之甲乙甲丁两边又等则己乙己丁两边亦等【一卷廿六】
欲显次论之防又有一説如甲丁上直角方形与甲己己丁上两直角方形并等【一卷四七】而甲乙上直角方形与甲己乙己上两直角方形并亦等即甲己己乙上两直角方形并与甲己己丁
上两直角方形并亦等此二率者每减一甲己上直角方形则所存乙己己丁上两直角方形自相等而两边亦等
第四题
圜内不过心两直线相交不得俱为两平分
解曰甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线俱不过己心【若一过心一不过心即两线不得俱为两平分其理易显】
而交于戊题言两直线或有一线为两平分不得俱为两平分
论曰若云不然而甲乙丙丁能俱两平分于戊试令寻本圜心于己【本篇一】从己至戊作甲乙之垂线其己戊既分甲乙为两平分即为两直角【本篇三】而又能分丙丁为两平分亦宜为两直角是己戊甲为直角而己戊丙亦直角全与其分等矣
第五题
两圜相交必不同心
解曰甲乙丁戊乙丁两圜交于乙于丁题言两圜不同心
论曰若言丙为同心令自丙至乙至甲各作直线其丙乙至圜交而丙甲截两圜之界于戊于甲夫丙既为戊乙丁圜之心则丙乙与丙
戊等而又为甲乙丁圜之心则丙乙与丙甲又等是丙戊与丙甲亦等而全与其分等也
第六题
两圜内相切必不同心
解曰甲乙丙乙两圜内相切于乙题言两圜不同心
论曰若言丁为同心令自丁至乙至丙各作直线其丁乙至切界而丁丙截两圜之界于甲于丙夫丁既为甲乙圜之心则丁乙与丁甲等而又为丙乙圜之心则丁乙与丁丙又等是丁甲与丁丙亦等而全与其分等也
第七题
圜径离心任取一点从点至圜界任出几线其过心线最大不过心线最小余线愈近心者愈大愈近不过心线者愈小而诸线中止两线等
解曰甲丙丁戊乙圜其径甲乙其心己离心任取一点为庚从庚至圜界任出几线为庚丙庚丁庚戊题先言从庚所出诸线惟过心庚甲最大次言不过心庚乙最小三言庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊愈近心愈大愈近庚乙愈小后言庚乙两旁止
可出两线等
先论曰试从已心出三线至丙至丁至戊其丙己庚角形之丙己己庚两边并大于丙庚一边【一卷二十】而丙己己庚等于甲己己庚则庚甲大于庚丙依显庚丁庚戊俱小于庚甲是庚甲最大
次论曰己庚戊角形之己戊一边小于己庚庚戊两边并【一卷二十】而己戊与己乙等则己乙小于己庚庚戊并矣次各减同用之己庚则庚乙小于庚戊依显庚戊小于庚丁庚丁小于庚丙是庚乙最小
三论曰丙己庚角形之丙己与丁己庚角形之丁己两边等己庚同边而丙己庚角大于丁己庚角【全大于分】则对大角之庚丙边大于对小角之庚丁边【一卷廿四】依显庚丁大于庚戊而愈近心愈大愈近庚乙愈小后论曰试依戊己乙作乙己辛相等角而抵圜界为己辛线次从庚作庚辛线其戊己庚角形之戊己腰与庚己辛角形之辛巳腰既等己庚同腰两腰间角又等则对等角之庚戊庚辛两底亦等【一卷四】而庚乙两旁之庚戊庚辛等矣此外若有从庚出线在辛之上即依第三论大于庚辛在辛之下即小于庚辛故云庚乙两旁止可出庚戊庚辛两线等
第八题
圜外任取一防从防任出几线其至规内则过圜心线最大余线愈离心愈小其至规外则过圜心线为径之余者最小余线愈近径余愈小而诸线中止两线等
解曰乙丙丁戊圜之外从甲防任
出几线其一为过癸心之甲壬其
余为甲辛为甲庚为甲己皆至规
内【规内线者如车辐之指牙】题先言过心之甲
壬最大次言近心之甲辛大于离心之甲庚甲庚又大于甲己三反上言规外之甲乙为乙壬径余者【规外线者如车辐之凑毂】最小四言甲丙近径余小于甲丁甲丁又小于甲戊后言甲乙两旁止可出两线等
先论曰试从癸心至丙丁戊己庚辛各出直线其甲癸辛角形之甲癸癸辛两边并大于甲辛一边【一卷二十】而甲癸癸辛与甲壬等则甲壬大于甲辛依显甲壬更大于甲庚甲己而过心之甲壬最大
次论曰甲癸辛角形之癸辛与甲癸庚角形之癸庚两边等甲癸同边而甲癸辛角大于甲癸庚角【全大于分】则对大角之甲辛边大于对小角之甲庚边【一卷廿四】依显甲庚大于甲己而规内线愈离心愈小
三论曰甲癸丙角形之甲癸一边
小于甲丙丙癸两边并【一卷二十】次每
减一相等之乙癸丙癸则甲乙小
于甲丙矣依显甲乙更小于甲丁
甲戊而规外甲乙最小
四论曰甲丁癸角形之内从甲与癸出甲丙丙癸两边并小于甲丁丁癸两边并【一卷廿一】此二率者每减一相等之丙癸丁癸则甲丙小于甲丁矣依显甲丙更小于甲戊而愈近径余甲乙者愈小
后论曰试依乙癸丙作乙癸子相等角抵圜界次作甲子线其甲子癸角形之甲癸癸子两腰与甲癸丙角形之甲癸癸丙两腰各等而两腰间角又等则对等角之甲子甲丙两底亦等也【一卷四】此外若有从甲出线在子之上即依第四论小于甲丙在子之下即大于甲丙故云甲乙两旁止可出甲丙甲子两线等第九题
圜内从一防至界作三线以上皆等即此防必圜心解曰从甲防至乙丙丁圜界作甲乙甲丙甲丁三直线若等题言甲防为圜心三以上等者更不待论
论曰试于乙丙丙丁界作乙丙丙丁两直线相聨此两线各两平分于戊于己从甲出两直线为甲戊为甲己其甲乙戊角形
之甲乙与甲戊丙角形之甲丙两腰既等甲戊同腰乙戊戊丙两底又等即甲戊乙与甲戊丙两角亦等【一卷八】为两直角依显甲己丙甲己丁亦等为两直角则甲戊甲己之分乙丙丙丁俱平分为直角而此两线俱为函心线【本篇一之系】定相遇于甲甲为圜心矣又
【打 印】 【来源：读书之家-dushuzhijia.com】
